2023版高考数学一轮复习讲义：第十二章复数、推理与证明、算法

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第十二章复数、推理与证明、算法第一节数系的扩充与复数的引入·最新考纲·1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示及其几何意义．4．能进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．·考向预测·考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若______________，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________________．复数集C和复平面内的______________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以______________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝____________．2．复数的几何意义3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________________．②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________________．③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________．④除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic−dic+dic−di(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、必明3个常用结论1．(1±i)2＝±2i；1+i1−i＝i；1−i2．－b＋ai＝i(a＋bi)；3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i等．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．()(二)教材改编2．[选修2－2·P103例题改编]已知z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－1，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)3．[选修2－2·P116复习参考题A组T1(2)改编]复数z＝2+i1−i(三)易错易混4．(对复数的虚部认识不清)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数，则z1的虚部为________，m＋n＝________．5．(复数的几何意义出错)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z2(四)走进高考6．[2021·全国卷Ⅰ]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C．2D．2提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一复数的有关概念[基础性]1．若复数z满足zi＝3－5i，则z的虚部为()A．－3B．3C．5D．－52．[2022·广东深圳市高三质量评估]若复数z＝1+ia+i－i为纯虚数，则实数aA．－1B．－123．已知z为复数，i为虚数单位．若复数z−iz+i为纯虚数，则|zA．2B．2C．1D．2反思感悟求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．考点二复数的代数运算[基础性][例1](1)[2021·北京卷]在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝()A．2＋iB．2－iC．1－iD．1＋i(2)[2021·全国乙卷]设2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，则z＝()A．1－2iB．1＋2iC．1＋iD．1－i(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A．－1－32iB．－1＋3C．－32＋iD．－3听课笔记：反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式【对点训练】1．设复数z满足1+2z1−z＝i，则zA.15+35iC.－15+32．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|z＋i2021|＝()A.45B．655C．3．[2022·浙江省舟山中学高三月考]若z＝2＋i，则|z|＝________，2iz·考点三复数的几何意义[基础性、应用性][例2](1)复数2−i1−3iA.第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限(2)[2022·开封市模拟考试]在复平面内，复数a+i1+i对应的点位于直线y＝x的左上方，则实数aA.(－∞，0)B．(－∞，1)C.(0，＋∞)D．(1，＋∞)听课笔记：反思感悟复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[提醒]|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2+y2，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1【对点训练】1．[2022·重庆市高三月考]在复平面内，复数2i1−iA.(－1，1)B．(1，－1)C.(－1，i)D．(i，－1)2．[2022·合肥市教学质量检测]设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.y＝－xB.y＝xC.(x－1)2＋(y－1)2＝1D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1第十二章复数、推理与证明、算法第一节数系的扩充与复数的引入积累必备知识一、1．(1)实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(2)a＝c且b＝d(3)a=c，b=−d(4)x轴y轴除去原点实数纯虚数实部不为0的虚数点原点(5)a3．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iac+bd+三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．解析：要使复数z对应的点在第四象限，应满足m+1＞0m−1＜0，解得－1＜m答案：A3．解析：因为z＝2+i1−i＝2+i1+i1−i1+i＝1+3i2答案：124．解析：由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝6+2i2−i＝6+2i2+i2−i2+i＝10+10i5＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n答案：235．解析：由题图得：z1＝－2－i，z2＝i，所以z2z1＝i−2−i＝i−2+i−2−i答案：－156．解析：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.答案：D提升关键能力考点一1．解析：由复数的运算法则，可得z＝3−5ii＝−3i+5i2答案：A2．解析：化简原式可得：z＝1+ia+i－i＝1+ia−ia2+1－i＝a+1+a−a2−2ia2+1.z答案：A3．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以复数z−iz+i＝＝a+＝a2+b2−1−2aia2+b+12.因为复数z−iz+i为纯虚数，所以a2答案：C考点二例1解析：(1)由题意可得：z＝21−i＝21+i1−i(2)设z＝a＋bi，则z＝a－bi，则2(z＋z)＋3(z－z)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以，4a=46b=6，解得a＝b＝1，因此，z(3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝3+2i−2i＝3+2i·i−2i·i＝−2+3i答案：(1)D(2)C(3)B对点训练1．解析：由1+2z1−z＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝−1+i2+i＝−1+i2−i答案：C2．解析：由z(1＋2i)＝(1＋i)2得复数z＝1+i21+2i＝2i1−2i∴z＝4−2i5.z＋i2021＝4−2i5＋i＝∴|z＋i2021|＝4+3i5＝4答案：D3．解析：因为z＝2＋i，所以|z|＝22+12iz·z−i＝2i2+i·2−i−i＝2i答案：5考点三例2解析：(1)2−i1−3i＝2−i1+3i10＝5+5i10＝(2)因为a+i1+i＝a+i1−i1+i1−i＝a+1+1−ai2，复数a+i1+i对应的点在直线y＝x的左上方，所以1－a答案：(1)A(2)A对点训练1．解析：由2i1−i＝2i1+i1−i1+i＝答案：A2．解析：z在复平面内对应的点为(x，y)，则z＝x＋yi(x，y∈R)，又|z－1|＝|z－i|，所以(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，所以y＝x.答案：B

第二节合情推理与演绎推理·最新考纲·1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．2．体会合情推理在数学发现中的作用．3．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异，掌握演绎推理“三段论”．能运用“三段论”进行一些简单推理．·考向预测·考情分析：以类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题．学科素养：通过合情推理与演绎推理的应用考查逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理________，2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的________________________的推理，或者由个别事实概括出________的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的____________，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由____到____、由____到____的推理由____到____的推理3.演绎推理(1)定义：从____________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由____到____的推理．(3)模式：三段论①大前提：已知的____二、必明2个常用结论1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．三、必练2类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()(二)教材改编2．[选修1－2·P38练习T1改编]已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－1B．an＝4n－3C.an＝n2D．an＝3n－13．[选修1－2·P34例4改编]类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论()①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A.①②B．②③C．③④D．①④提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一类比推理[基础性、应用性]1．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2+2+2+…中，“…”代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2+x＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋A．−5−1C．1+522．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布菜士·帕斯卡的著作介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle)，17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“菜布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：Cnr+Cnr＋1＝Cn+1反思感悟(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．考点二归纳推理[基础性]角度1与数字有关的推理[例1]有一个奇数组成的数阵排列如下：1371321…591523……111725………1927…………29……………则第30行从左到右第3个数是________．听课笔记：角度2与不等式有关的推理[例2]观察下列式子：1×2＜2，1×2+2×3＜92，1×2+2×3+3×4＜8，1×2+2×3+听课笔记：角度3与图形有关的推理[例3]分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图；记图乙中第n行黑圈的个数为an，则(1)a4＝________；(2)2an＝________．听课笔记：反思感悟1．归纳推理的常见类型及求解策略(1)数的归纳，包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳，主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系．2．运用归纳推理的思维步骤【对点训练】1.观察下列不等式：1＋122＜1＋122+1＋122+…照此规律，第五个不等式为________________．2．[2022·陕西咸阳模拟]古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，……)若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为()A．66B．55C．45D．38考点三演绎推理[应用性][例4]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n+2n·Sn(n∈N＋(1)数列Sn(2)Sn＋1＝4an.听课笔记：反思感悟演绎推理的论证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．【对点训练】[2021·八省市新高考适应性考试]关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁微专题39归纳推理中的核心素养逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．[例][2019·全国卷Ⅱ]在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙解析：三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；(2)若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；(3)若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.答案：A名师点评本题体现数学素养中的逻辑推理，表现为人们在数学活动中进行交流的基本思维品质，处理此类问题常采用辨证推理的思想．[变式训练][2022·河南部分重点高中联考]为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同的组．某次数学建模考试中三人的成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低顺序，则排序正确的是()A．乙、丙、甲B．丙、乙、甲C．乙、甲、丙D．甲、丙、乙第二节合情推理与演绎推理积累必备知识一、1．(2)合情推理演绎推理2．全部对象都具有这些特征一般结论某些已知特征部分整体个别一般特殊特殊3．(1)一般性的原理(2)一般特殊(3)一般原理特殊情况三、1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；a4＝a3＋2×4－1＝16，所以an＝n2.答案：C3．解析：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，也可能是相交直线、异面直线，故不正确；③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，也可能是相交平面，如墙角，故不正确；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确．答案：D提升关键能力考点一1．解析：令1＋11+11+…＝x(x>0)，即1＋1x＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝1+52(x答案：C2．解析：类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1Cn+1所以类比式子Cnr+Cnr＋1＝答案：1Cn+1考点二例1解析：观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×2+602－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n答案：1051例2解析：根据所给不等式可得第n个不等式是1×2+2×3＋…＋n×n+1答案：1×2+2×3＋…＋n×例3解析：(1)根据题图甲所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x个，黑圈y个为(x，y)，则第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)，第四行记为(14，13)，故a4＝13.(2)前五行的黑圈数乘2，分别是0，2，8，26，80，即1－1，3－1，9－1，27－1，81－1，∴第n行的黑圈数的2倍为2an＝3n－1－1.答案：(1)13(2)3n－1－1对点训练1．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122+答案：1＋1222．解析：∵“三角形数”可写为1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，∴“三角形数”的通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn+1∵三角锥垛有10层，∴该堆垛第10层球的个数为a10＝10×答案：B考点三例4证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n+2nSn∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn+1n+1＝2·故Sn(2)由(1)可知Sn+1n+1＝4·Sn−1n−1∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn−1n−1＝4·n−1+2n−1·Sn－1＝4an(又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.对点训练解析：结合选项可知，若甲、乙都是真的，那么x1＝1，x2＝3，则丙和丁都错了，因此假命题必是甲或乙，再结合丙和丁，若甲为真命题，乙为假命题，则另一个根也是1，故丁不成立，若乙为真命题，甲为假命题，则另一个根是－1，丁也成立．因此甲是假命题．答案：A微专题39归纳推理中的核心素养变式训练解析：因为在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低，所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组．假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲．假设甲在C组，乙在A组，与题意矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲．答案：A

第三节直接证明和间接证明·最新考纲·1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．·考向预测·考情分析：直接证明与间接证明是高中数学的重要推理方法，它们仍是高考的考点，题型将是选择或填空题．学科素养：通过直接证明和间接证明的应用考查逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从____推导到____的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从____追溯到产生这一结果的____的思维方法特点从“____”看“____”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的____条件从“____”看“____”，逐步靠拢“____”，其逐步推理，实际上是要寻找它的____条件2.间接证明——反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去____________(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明非Q是________的，从而断定结论Q是________的，这种证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取________(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对____________________都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．二、必明2个常用结论1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．2．利用反证法证明的特点：要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．三、必练2类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(二)教材改编2．[选修1－2·P42练习T2改编]若P＝a+6+a+7，Q＝a+8+a+5(a≥0)，则A．P＞QB．P＝QC.P＜QD．不能确定3．[选修1－2·P52T2改编]6－22与5−提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一综合法的应用[综合性][例1]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤13(2)a2b听课笔记：一题多变(变问题)若例1条件不变，证明：a2＋b2＋c2≥13反思感悟综合法证题的思路与方法【对点训练】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝2π3，求证：5a＝3b考点二分析法的应用[综合性][例2]已知a＞0，证明：a2+1a2听课笔记：反思感悟分析法的证题思路分析法的证题思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．【对点训练】设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1考点三反证法的应用[综合性][例3]已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：1a听课笔记：反思感悟反证法证明问题的一般步骤(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——把“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．应用反证法时，当原命题的结论的反面有多种情况时，要对结论的反面的每一种情况都进行讨论，从而达到否定结论的目的．【对点训练】设a＞0，b＞0，且a＋b＝1a(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．考点四数学归纳法的应用[综合性]角度1用数学归纳法证明不等式[例4]用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12+13＋…＋12n≤听课笔记：反思感悟数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.角度2归纳——猜想——证明[例5]设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．听课笔记：反思感悟归纳—猜想—证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N*)成立；第三步：假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立；第四步：下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N*成立．【对点训练】1．数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n−12．已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有an2≤an－an(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与1n第三节直接证明和间接证明积累必备知识一、1．原因结果结果原因已知可知必要未知需知已知充分2．假设Q不成立矛盾错误正确3．(1)第一个值n0(2)n＝k＋1从n0开始的所有正整数n三、1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：假设P＞Q，只需P2＞Q2，即2a＋13＋2a+6a+7＞2a＋13＋2a+8a+5，只需a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40.因为42＞40成立，所以P＞答案：A3．解析：假设6－22＞5−要证6－22＞5−7，只需证6+7＞即证13＋242＞13＋410，即42＞210.因为42＞40，所以6－22＞5−答案：6－22＞5提升关键能力考点一例1证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，故a2b+b2c+c2a＋(a＋b＋即a2b+b2c+c2a一题多变证明：因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.因为2ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，2ac≤a2＋c2，当且仅当“a＝b＝c”时等号成立，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13对点训练证明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以ab＝35，即5a＝3考点二例2证明：要证a2+1a2只需证a2+1a2＋2因为a＞0，故只需证(a2+1a2＋2)2≥(a＋1a+2)2，即a2＋1a2＋4a2+1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，从而只需证2a2+1a2对点训练证明：由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1只要证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只要证明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，只要证明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，只要证明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.由于x≥1，y≥1，上式显然成立，所以原命题成立．考点三例3证明：假设1a则2b＝1所以2ac＝bc＋ab，①又a，b，c成等差数列且公差d≠0，所以2b＝a＋c，②所以把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b，所以b2＝ac，③由②平方，得4b2＝(a＋c)2，④把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.代入②，得b＝a，故a＝b＝c，所以数列a，b，c的公差为0，这与已知矛盾，所以1a对点训练证明：由a＋b＝1a+1b＝a+bab，a(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．考点四例4证明：①当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝1所以32≤1＋1②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12+13＋…则当n＝k＋1时，1＋12+13＋…＋12k+12k+1+1又1＋12+13＋…＋12k+12k+1+12k+2＋即n＝k＋1时，命题成立．由①②可知，命题对所有n∈N*都成立．例5解析：由题设得g(x)＝x1+x(x≥(1)由已知，g1(x)＝x1+xg2(x)＝g(g1(x))＝x1+x1+xg3(x)＝x1+3x，…，可猜想gn(x)＝x下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，g1(x)＝x1+x②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即gk(x)＝x1+kx则当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gkx1+gk即n＝k＋1时结论成立．由①②可知，结论对n∈N*都成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1+x设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1+x(x≥则φ′(x)＝11+x−a当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，所以φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以当a≤1时，ln(1＋x)≥ax1+x恒成立(当且仅当x当a＞1时，对x∈[0，a－1]，有φ′(x)≤0，所以φ(x)在[0，a－1]上单调递减，所以φ(a－1)＜φ(0)＝0.即当a＞1时，存在x＞0，使φ(x)＜0，所以ln(1＋x)≥ax1+x综上可知，a的取值范围是(－∞，1].对点训练1．证明：①当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝因为左边＞右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k−1则当n＝k＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k−1)·1+12k+1−1＞2k+12＝2k+32k+122k+1所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．2．证明：(1)由an2≤an－an得an+1因为在数列{an}中，an＞0，所以an＋1＞0，所以an所以0＜an＜1.故数列{an}中的任意一项都小于1.(2)由(1)知0＜a1＜1＝11那么a2≤a1−a12＝－(a1－由此猜想an＜1n下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N*时猜想正确．①当n＝2时已证；②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时，有ak＜1k那么1＝－(ak－12)2＋14＜－(1k−12)2＋14＝1所以当n＝k＋1时，猜想正确．综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜1n

第四节算法初步·最新考纲·1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．·考向预测·考情分析：依据程序框图直接得出结论，填写部分内容以及程序框图与其他知识交汇是高考考查点，题型仍将是选择与填空题为主．学科素养：通过程序框图算法功能的识别及应用考查逆向推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照________解决某一类问题的________和________的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机________，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种________、流程线及________来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构及相应语句名称示意图相应语句顺序结构输入语句：INPUT“提示内容”；变量输出语句：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句：变量＝表达式条件结构①________语句体②________③________语句体1④________语句体2ENDIF循环结构当型循环结构⑤________循环体⑥________直到型循环结构⑦________循环体⑧________条件二、必明2个常用结论1．赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值．2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)算法的每一步都有确定的意义，且可以无限地运算．()(2)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．()(3)一个循环结构一定包含条件结构．()(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．()(二)教材改编2．[必修3·P33习题B组T3改编]执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为()A．－2B．16C.－2或8D．－2或163．[必修3·P25例5改编]如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________．(三)易错易混4．(把握不好控制循环的条件)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A.s≤34？B．s≤5C.s≤1112？D．s≤255．(把握不好控制循环的条件)秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入整数n的值为________．(四)走进高考6．[2020·全国卷Ⅱ]执行下面的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为()A.2B．3C．4D．5提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一顺序结构与条件结构[基础性]1．[全国卷Ⅱ]为计算S＝1－12+13−A.i＝i＋1B．i＝i＋2C．i＝i＋3D．i＝i＋42．[2022·大同市高三测试]以下程序框图的功能是解方程12＋22＋…＋n2＝(n＋1)(n＋2)，则输出的i为()A．3B．4C．5D．6反思感悟应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．考点二循环结构[综合性]角度1由程序框图求输出结果[例1](1)[2022·云南省统一检测]如图所示的程序框图，则输出的n＝()A．2B．3C．4D．5(2)执行如图所示的程序框图，输出的s的值为()A．53B．85C．13听课笔记：反思感悟已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．角度2完善程序框图[例2](1)[2022·江西高三六校联考]如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n＜2021，输出A的值为()A．12C．－1D．－2(2)如图所示程序框图是为了求出满足3n－2n＞2020的最小偶数n，那么在

和ＦＫ两个空白框中，可以分别填入()A．A＞2020？和n＝n＋1B．A＞2020？和n＝n＋2C．A≤2020？和n＝n＋1D．A≤2020？和n＝n＋2听课笔记：反思感悟完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．角度3辨析程序框图的功能[例3]如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则()A．A＋B为a1，a2，…，aN的和B．A+B2为a1，a2，…，aNC．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数听课笔记：反思感悟对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．【对点训练】1．[2022·合肥市高三检测]执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，x＝3，则输出y的值为()A．16B．45C．48D．522．[2022·山西省六校高三阶段性测试]执行如图所示的程序框图，若输出结果为2019505，则

A．i<2019?B．i>2019?C．i≥2019?D．i≤2019?3．有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是()A．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数nB．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数nC．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数n＋2D．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数n＋2考点三基本算法语句[综合性][例4][2022·宁夏银川一中段测]运行如图所示的算法程序，结果为()A．3B．4C．5D．6听