2023届江苏省南通市崇川区等5地高三下学期3月高考适应性考试（一）数学试题

2023届江苏省南通市崇川区等5地高三下学期3月高考适应性考试（一）数学试题一、单选题1．设集合，，若，则实数（

）A．0 B． C．0或 D．1【答案】B【分析】根据交集的结果得出或，分类计算得出的值后再验证，即可得出答案.【详解】，则或.当时，满足条件.当时，不满足条件.故，故选：B.2．若复数z满足（为虚数单位），则（

）A．2 B． C．2 D．4【答案】D【分析】由，已知条件中解出即可计算结果.【详解】复数z满足，则，，，可得.故选：D.3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根据抛物线定义求得点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得的值.【详解】抛物线的焦点为，点在抛物线上，由抛物线的定义可得，，则，，解得或（舍）.故选：B.4．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（

）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．1015【答案】C【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可.【详解】64个格子放满麦粒共需，麦子大约20000粒，1吨麦子大约粒，，故选：C.5．在中，“是钝角三角形”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】注意三角形内角和是，然后讨论哪个角是钝角即可.【详解】若是钝角三角形，或为钝角时，，满足条件，为钝角时，，由于则，满足条件，所以是充分条件.时，当时，或为钝角，为钝角三角形.当时，或，无解，当时，为钝角，为钝角三角形，所以是必要条件.故选：A.6．若向量满足，则向量一定满足的关系为（

）A． B．存在实数，使得C．存在实数，使得 D．【答案】C【分析】对于A,B,D通过举反例即可判断，对于C需分与是否为讨论即可.【详解】，两边同平方得，，对A，时，为任一向量，故A错误，对B，若，时，此时不存在实数，使得，故B错误，对于C，因为，当与至少一个为零向量时，此时一定存在实数,,使得，具体分析如下：当，时，此时为任意实数，，当，时，此时为任意实数，，当，时，为任意实数，当，时，因为，则有，根据，则，此时共线，且同向，则存在实数使得（），令，其中同号，即，即，则存在实数,,使得，故C正确，对于D，当，时，，故D错误，故选：C.7．设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正弦函数的单调性比较，由幂函数的单调性比较即可得解.【详解】在上单调递增，所以，即，，，在上单调递减，，所以，故可得.故选：A8．在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用空间向量法求得面的一个法向量为，从而求得面上的点满足，进而得到棱锥内部整点为满足，再利用隔板法与组合数的性质即可得解.【详解】根据题意，作出图形如下，因为，所以，设面的一个法向量为，则，令，则，故，设是面上的点，则，故，则，不妨设三棱锥内部整点为，则，故，则，易知若，则在面上，若，则在三棱锥外部，所以，当且时，将写成个排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为的取值的方法个数，显然有个方法，所有整点的个数为，因为，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得面上的点满足，从而确定三棱锥内部整点为满足，由此得解.二、多选题9．已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】设，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得的值，从而可求得的值，进而可求得PF的长度．【详解】设，则，，，则，得或，当时，，此时，当时，，此时．故选：AB．10．已知点P是正方体侧面（包含边界）上一点，下列说法正确的是（

）A．存在唯一一点P，使得B．存在唯一一点P，使得面C．存在唯一一点P，使得⊥D．存在唯一一点P，使得⊥面【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，设，写成点的坐标，A选项，根据向量平行得到方程组，得到，存在唯一一点P，使得，A正确；B选项，证明出平面，从而得到，列出方程，解得：，得到点轨迹为线段；C选项，由向量数量积为0列出方程，得到在线段上，满足条件的有无数个；D选项，在平面的基础上，得到重合，D正确.【详解】如图建系，令，则，对于A，，若，则，解得：故满足要求，与重合，存在唯一一点P，使得，A对.对于B，因为，，因为，平面，所以平面，又平面，则，，解得：，故点轨迹为线段，满足条件的有无数个，B错，对于C，，在线段上，满足条件的有无数个，C错.对于D，由B选项可知：平面，而面，又与共线，故重合，D对.故选：AD.11．已知函数，下列说法正确的有（

）A．在上单调递增B．若，则C．函数的图象可以由向右平移个单位得到D．若函数在上恰有两个极大值点，则【答案】BD【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；令，则或，即或，由，则或，，即或，故选项正确；向右平移个单位变为故选项错误；对于，，在上恰有两个极大值点，即，即，故选项正确.故选：12．已知偶函数与奇函数的定义域均为R，且满足，，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．f（1）=3C．g（x）=-g（x+3） D．【答案】AD【分析】根据函数的奇偶性及所给抽象函数的性质，利用换为可判断A，利用赋值可判断B，推理得出后赋值可判断C，由条件推理可得，即可判断D.【详解】由，将换为知，故A对；，奇函数中，则，，由为偶函数，，故B错；，，又，，，，故C错，，则，即.，，，即，为偶函数，，①，②由①②知，故D对.故选：AD.三、填空题13．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，小李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，已知小李骑电动车的概率为0.6，骑自行车的概率为0.4，而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8，则小李准时到单位的概率是___________.【答案】0.86##【分析】根据概率的加法公式可分别计算出骑电动车与骑自行车准时到单位的概率，再相加即可.【详解】由题意可得，小李骑电动车准时到单位的概率为；骑自行车准时到单位的概率为；则小李准时到单位的概率是.14．的展开式中，的系数为___________.【答案】【分析】把看作一项，写出通项即可求出结果.【详解】，要找到展开式中含有的项，需从中找到含有的项，即，故的系数为.故答案为：.15．在平面直角坐标系xOy中，角，的终边分别与单位圆交于点A，B，若直线AB的斜率为，则=______.【答案】##【分析】根据三角函数的概念表示点的坐标A，B，利用同角的三角函数的基本关系式求角的三角函数值，再利用二倍角公式及诱导公式化简求值【详解】由题意，所以.不妨设，则，令，则，所以，所以，所以.故答案为：16．若函数存在最小值，则实数a的取值范围为___________.【答案】【分析】对函数转换成分段函数，对各段求导确定函数的单调性，讨论的大小明确单调性，根据函数存在最小值列不等式即可求得实数a的取值范围.【详解】因为，所以，则.当时，，所以在上单调递增；当时，，得，若时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，要使得存在最小值，则，所以，此时；若时，在上单调递增，在上单调递减，要使得存在最小值，则，此时；若时，在上单调递减，上单调增，则存在最小值.综上，则实数a的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数单调性最值取值情况问题，解题的关键是对含参区间进行讨论，确定区间上与函数的极值点的包含关系，从而可得函数的单调区间，并且要满足函数在区间上存在最小值，还得比较区间端点函数值与极小值的大小，才能确定符合条件的的取值情况.四、解答题17．已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.(1)求公差d；(2)是否存在正整数m，k使得.【答案】(1)(2)存在，理由见解析【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到，且，从而得到，写成符合要求的解.【详解】（1）因为，，所以，所以，即，解得：或.因为，所以.（2）法一：由（1）得，，，时；时；时；时（舍），当时，，不合题意；满足条件的有三组.法二：由（1）得，，故，所以，且，所以，所以，，.存在满足条件的有三组.18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且.(1)求B；(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.【详解】（1）方法一：，所以，所以.方法二：在中，由正弦定理得：，所以，所以.因为，所以，所以，因为.（2）方法一:，当且仅当时取，，.方法二:在中，由余弦定理得：当且仅当取“=”）所以,所以的面积..19．三棱柱中，，，线段的中点为，且.(1)求与所成角的余弦值；(2)若线段的中点为，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角即可，（2）由（1）建立的空间直角坐标系利用法向量求二面角的余弦值即可.【详解】（1）在线段上取一点，使，在三棱柱中，，在中，因为，是的中点，所以，所以，因为平面，所以平面.在中，由余弦定理得：，所以，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，设，因为所以，设直线与所成的角为，所以.（2）因为线段的中点为，所以设平面的一个法向量，因为，所以，令，则，所以.由（1）平面，平面，所以平面平面，又平面平面又，平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，而在轴上，所以取平面的一个法向量，设二面角的平面角为，由图可知：为锐角，所以.所以二面角的余弦值为.20．随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各类APP让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏APP，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352(1)通过散点图分析，可用模型拟合y与x的关系，试求y与x的经验回归方程；，乙每局获胜的概率为，若前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其经验回归直线ŷ=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：，其中.【答案】(1)(2)【分析】（1）先对两边取对数，将其转化为线性回归方程，再利用最小二乘法及参考数据即可得解；（2）利用独立事件概率的乘法公式，结合接下去的对局情况求解即可.【详解】（1）令，由，即，，，，，.（2）记“甲最终赢得比赛”为事件，则事件包含三种情况：一是接下去进行两局比赛，甲都赢了；二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一局，甲赢了剩余两局；三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两局，甲赢了剩余两局；故，所以甲最终赢得比赛的概率为.21．已知，，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，，（为坐标原点）.(1)求的值；(2)证明：直线与斜率之积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，根据向量关系用表示，代入椭圆方程即可求解；（2）用表示，代入斜率公式即可求解.【详解】（1）设，因为，所以解得，又因为，所以解得，因为点在椭圆上，所以，即.（2）设直线与斜率分别为，是定值.22．设函数，.(1)若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；(2)若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义求解即可；（2）由有两个极值点，可得有两个不等的正根，且，可得，要证：，即证.令证