2014年高考江西理科数学试题及答案(word解析版)

年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年江西，理1，5分】是的共轭复数，若，（为虚数单位），则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由于，可得①又②由①②解得，故选D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题．（2）【2014年江西，理2，5分】函数的定义域为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】要使函数有意义，则，即或，故函数的定义域为，故选C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．（3）【2014年江西，理3，5分】已知函数，，若，则（）（A）1（B）2（C）3（D）【答案】A【解析】，若，则，即，则，解得，故选A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．（4）【2014年江西，理4，5分】在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（）（A）3（B）（C）（D）【答案】C【解析】由题意得，，又由余弦定理可知，，∴，即．∴，故选C．【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．（5）【2014年江西，理5，5分】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（） （A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．（6）【2014年江西，理6，5分】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）（A）成绩（B）视力（C）智商（D）阅读量【答案】D【解析】表1：；表2：；表3：；表4：，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．（7）【2014年江西，理7，5分】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）（A）7（B）9（C）10（D）11【答案】B【解析】由程序框图知：的值，∵，而，∴跳出循环的值为9，∴输出，故选B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（8）【2014年江西，理8，5分】若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】若，则：，则，显然A不正确；若，则∴，显然B正确；若，则∴，显然C不正确；若，则∴，显然D不正确，故选B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法．（9）【2014年江西，理9，5分】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】∵为直径，，∴点必在圆上，由向直线做垂线，垂足为，则当恰为圆与直线的切点时，此时圆的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O到直线的距离为，则圆的面积为：，故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．用数形结合的思想，解决问题较为直观．（10）【2014年江西，理10，5分】如右图，在长方体中，，，，一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置【解析】设，，则，，∵过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，是线段的中点，∴两式相减可得，∴，∴，∴．【点评】本题考查椭圆C的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年江西，理16，12分】已知函数，其中，．（1）当，时，求在区间上的最大值与最小值；（2）若，，求的值．解：（1）因，，故．又，故，因此，从而，．（2），又，故，．，故，得，从而．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（17）【2014年江西，理17，12分】已知首项都是1的两个数列，（），满足．（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）因，且，故，即，所以是首项为，公差为2的等差数列，从而．（2）因，，有，．所以，从而．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．（18）【2014年江西，理18，12分】已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围．解：（1）当时，的定义域为，．令，解得，．当和时，，所以在和上单调递减；当时，，所以在上单调递增．所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值．（2）在上单调递增且不恒等于0对恒成立．，故，因此．因，故．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．（19）【2014年江西，理19，12分】如图，四棱锥中，为矩形，平面平面．（1）求证：；（2）若，，，问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因面面，面面，，故面．又面，故．（2）过作，由（1）有面，作，连接，作．设，则，故即时，．如图建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，，．设面、面的法向量分别为，．由得．设，则，故．同理可得．故，从而平面与平面夹角的余弦值为．【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．（20）【2014年江西，理20，13分】如图，已知双曲线的右焦点，点分别在的两条渐近线上，轴，，(为坐标原点）．（1）求双曲线的方程；（2）过上一点的直线：与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．解：（1）因，，故且，因此，．所以所求方程为．（2）由（1）知，，，，．故．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．（21）【2014年江西，理21，14分】随机将这个连续正整数分成两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，．（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令表示事件与的取值恰好相等，求事件发生的概率．（3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明