概率论与数理统计(郑颖 钱君燕 著)27章 东华大学出版社

概率论与数理统计(郑颖钱君燕著)2-7章东华大学出版社

第二章离散型随机变量及其分布律

第二节一维离散型随机变量及其分布律习题

Page55

1、一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用表示

所得球上的数字，求的分布律。

解答：因为只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以的分布律为：

2、在200表示其中的次品数，

问解答：个元件中的次品数可能为010-k个正品。所以：

3、解答：等于k，则第k1ii的分布律为：P{k}P(A1A2AkAk1)P(A1)P(A2|A1)P(Ak1|A1Ak)

mm1mk1nm,k0,1,,mnn1nk1nk__。

4、汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿

灯显示时间相等。以表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的分布律。解答：因为只有3个路口，因此只可能取0、1、2、3，其中{3}表示没有碰到红灯。以Ai表示第i个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以P(Ai)1/2，又因信号灯出现

什么信号相互独立，所以A1,A2,A3相互独立。因此的分布律为：

P{0}P(A1)

__1，2_P{1}P(A1A2)P(A1)P(A2)

____1，41，8P{2}P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)

______P{3}P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)1/8。

5、一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为

pi1。用表示3个零件合格品的个数，求的分布律。,(i1,2,3)i1

解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3的，以Ai表示第i个零件是合格的，则P(Ai)1/(1i)。因因此的

P{0}，P{1}P{2}P{3}6、解答：因0的常数。试

条件：1、对任意的k，P{k}0，因此可得c0；2、1

P{k}ck!ce，k0kk0所以可得ce。

7、设在每一次试验中，事件A发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3时，指示灯发出

信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n次试验，则事件A在n次试验中发生的次数服从参数为n和pP(A)0.3的二项分布。因为当A在n次试验中发生次数不少于3时，

指示灯发出信号。因此，P{发出信号}P{3}P{k}C

k3k3nnkn0.3k0.7nk。第

一小题中的n等于5，第二小题中的n等于7。计算即可。

8、某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间P{1k}PA1AkBk11BkA1k)PA(P1)B(P)B(1)

+P(A1)_k1______k__k11____k_P(B1)k1P(A1)0.88*0.12k1,k1,2,_

（3）P{2k}PA(1B)PA(B1AkBk11BkAk

_

k

_

______

1)PA(P1)B(P)B(1)

k

_

_

k11

P(A1)P(B1)kP(A1)0.352*0.12k1,k1,2P{20}P(A1)0.6。

11、一交换机每分钟收到的呼叫数服从4的泊松分布。求（1）一分钟内恰好

有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。

484解答：因每分钟受到的呼叫数(4)，因此P{8}而P{e，9}1{P9}

8!

4i4

=e=0.008132。（查表得到）i10i!

12、某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）0.001，

解答：间车事故的车数

B0.5k0.5

则令e，1}

k!i2

13、问月初要备该种零件

解答：小

x10。

14、

解答：因()，即P{1}

1

1!

e

P{2}

2

2!

e，由此可得2，所以

244

P{4}e。

4!

15、

设服从参数为的泊松分布，即P{k}e

k

k!

,k0,1,2,，求使得

P{k}达到极大值的k，并证明你的结论。

P{k1}k1

k

解答：因,因此如果k1，则e/(e)k1P{k}(k1)!k!

P{k1}P{，而若k}k1，则P{k1}P{k}。所以，若存在正整数l使得ll1，则P{l}取得最大；而若存在正整数l，则P{l1}与P{l}同时达到最大。

16、设随机变量B(2,p),B(3,p)，若P{1}5/9，求P{1}。

5P{1}1P{0}1(1p)2，由此可9

11319得p。所以P{1}1P{0}1(1)。3327解答：因B(2,p),B(3,p)，所以

17、

解答：0、1、2，因此

第三节二维离散型随机变量及其分布律习题

Page62

1、设二维随机变量(,)可能取的值为(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0),(2,1/3)，相应的概率

为1/6,1/3,1/12,1/4,1/6。（1）（2）（3）（4）

列表表示其联合分布律；分别求出和的边缘分布律；

分别求在0和1/3条件下的条件分布律；求P{11}。

解答：

2

，5

P(0，

P(（4）P{

123

（3）条2、在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只球，

用和分别表示第一个与第二个球的号码。（1）求(,)的联合分布律；

（2）求在2条件下的条件分布律；（3）问与是否独立？为什么？

（4）把摸球从不放回改成放回抽样，问此时与是否独立？

解答：（1）(,)的联合分布律为：

注：P{2,2}P{2}P{2|2}

。

6530

15，因此，在230

（2）P{2}P{1,2}P{2,3}P{3,2}条件下的条件分布律为：

注：P{（3（43、用的联合分

（1）（2）解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：

7.14m6.86nm14e14

（1）P{n}P{n,m}e

n!m0m0m!(nm)!

n

n

m0

mmnm

C7.146.86n

n

e1414n14n

(7.146.86)e,n0,1,2，n!n!

7.14m6.86nm147.14m14n6.86nm

eeP{m}P{n,m}

m!(nm)!m!(nm)!nmnmm0

7.14m146.867.14m7.14eee,m0,1,2；

m!m!

7.14m6.86nm14

e

P{n,m}6.86nm6.86m!(nm)!

e,nm（2）P{n|m}m

7.14P{m}(nm)!

e7.14

m!7.14m6.86nm14

e

P{n,m}m!(nm)!m7.14m6.86nm

C)()P{m|n}，n(n

1414P{n}1414

en!

m0,1,n。

4、

和独立。

解答：xy

1P{9

5、

（1）（2）（3）解答：以立的，则可得(,)的联合分布律为：

i

j

j

3j

i

3i

其中：P{i,i}C30.60.4C30.70.3

,i,j0,1,2,3。由此可得：

P{}0.0017280.0544320.1905120.0740880.32076

P{}0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.095256

30.24。

第四节离散型随机变量函数的分布律习题

Page66

1、设的分布律如下表所示，试求（1）+2；（2）2；（3）(1)2的分布律。

解答：

（2）

（3）(1)2的分布律为：

2、设与独立，B(m,p),B(n,p),求+的分布律。

解答：因与独立，则P{k}

k

P{i,ki}P{i}P{ki}

i0

i0

k

m(nk)

kk

Cp(1p)

i

m

i

i0

mi

C

kin

p

ki

(1p)

n(ki)

p(1p)

CC

im

i0

k

kin

kk(mn)k

，k0,1,,(mn)，即B(mn,p)。Cnmp(1p)

3、1,2,,n相互独立，都服从0-1分布，其分布律为P{i1}p，P{i0}1p，

i1,2,,n，求证：12nB(n,p)。

解答：因为1,2,,n相互独立，都服从0-1分布，因此

i0

n

i

0,1,n，

事件{

kn)，P{k}

kCnP(14

、设(,）2；（3）2解答：因此：

（1）

注：P{3}P{1,2}P{2,1}（2）2的分布律为：

。303030

注：P{24}P{2}（3）2的分布律为：

P{2,j}

j1

3

66315。30303030

3

注：P{20}P{2}

P{2,j}

j1

66315

。30303030

5

，

j0注：P{j|1}

P{1,j}

,j0,1,,5。

P{1}

（2）Vmax(,)的分布律为：

3

2

注：P{V3}P{max(,)3}（3

）Umin(,)的分布律为：

P{i,3}P{3,j}0.28。

i0

j0

注：0.25。

3

注：P{W5}P{5}

P{i,5i}0.090.060.050.040.24。

i0

6、设随机变量1,2独立，分别服从参数为1与2的泊松分布，试证：

k

P{1k|12n}Cn(

112

)k(1

112

)nk,k0,1,2,,n

1(1),2(2)，1(2)。解答：且1与2相互独立，所以（例2.13）：21

因此：P{1k|12n}P{1k,12n}P{1k,2nk}P{12n}P{12n}

1k

(nk)!P{1k}P{2nk}k!(12)n(12)P{12n}en!e12nke21kCn12k1112nk，k0,1,n。

复习题

Page68

1、掷两粒骰子，用表示两粒骰子点数之和，表示第一粒与第二粒点数之差，试求和

的联合分布律，并讨论与是否独立。

解答：以U表示第一粒骰子的点数、V表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量U

1

,i,j1,2,,6。则和的联合分布律为：6

klkl

P{k,}l}PU{VkU,Vl}PU{V,

22

klkl

P{U}PV{}k,2,3,l,12;5,。4,,5

和V相互独立，且P{Ui}P{Vj}

2：

P{}和P{}。

解答：因,相互独立，则P{}

P{i,i}P{i}P{i}pq

i

i0

i0

i0

i

。

P{}P{i,i}P{i,j}P{i}P{j}

i0

i0j0

i0j0

ii

pq

i

i0j0

i

j

。

3、在盒子中有N只球，分别标上号码1,2,,N，现有放回地随机摸n次球，设是n次

中得到的最大号码，试求的分布律。

解答：令i(i1,2,,n)表示第i次摸到球的号码，则可得P{ik}

k

(k1,,N)。N

由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件{k}{1k,2k,nk}即P{k}P{1{1k1,nk1}。k,nk}

n

n

P{1k1,nk1}

kk1

(P{1k})n(P{1k1})n,k1,2,,N。

NN

4、设在贝努里试验中（成功的概率为p），直到第k

注：P{

2

3

2P{2}

|4}P{2|4}

3P{4}

C5221

5

80

。242

6、设,相互独立，且服从相同分布P{n}P{n}1/2,n1,2,3,。

（1）求12的分布律；（2）求2的分布律。

解答：（1）P{12k}P{22k}P{k}

n

1

,k1,2,；k2

（2）P{2k}P{k}

k1i1

ijk

P{i,j}P{i,ki}

i1

k1i1

k1

P{i}P{ki}

11k1

，k2,3,。ikik

222

7、设随机变量,相互独立，下表列出了二维随机变量(,)的联合分布律及关于和关

于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

1}1

6第三章连续型随机变量及其分布

习题3.1（p.86）

1、设随机变量的分布律如下表所示，

试求的分布函数，并利用分布函数求P02。

x00130x1

111x3解：Fx24

753x8271x2

P02P0P02F2F0F0F0

2、函数sinx在下列范围0

π

⑵0

3π

2⑶03、要使下列函数成为密度函数，问式中的参数a,b,c应满足什么条件（l1,l2是已知数）？

aebxc

⑴fx0

xc；其它

解：1cfxdx1bxcbxcaedxaebccabcaebbb0,a1,c任意。b

axb⑵gx0

l1xl2其它

解：1

gxdxaxbdx

l1

l2

2

xb①bl1，1axbdxa

l2l1

l2

2

，al2bl1b2

2

2

l1

b

l2bx2b

②l1bl2，1abxdxxbdxa

2l1b

xb

2

2l2

l1

b

al2bl1b2

2

2

2

bx1③bl2，1abxdxa

l2l1

l2

2

，abl1bl22

2

2

l1

4、设连续型随机变量的分布函数为

1，P解：⑴F4。

⑵f⑶P3x2dx0.973

P4

5、设随机变量的密度函数为

0,x2x0fx

4Kxe,x0

⑴求未知常数K；⑵求P11。

解：⑴1

fxdx

Kxe

x2

4

dx2Ke

x24

xd42Ke

2

x2

4

2K

K12

1x2

4x⑵P1120dxex2411e014

6、设随机变量的密度函数为

1x,1x0ππ1cosx,xfx⑴fx2⑵1x,0x1220,其它0,其它

求的分布函数Fx，并画出fx和Fx的图形。

解：Fx

ftdt

x⑴xx⑵x1，Fxx

0dt0

x1xx211x0，Fxftdt0dt1tdtx221

x21x0x1，Fxftdt0dt1tdt1tdt2210

x1，Fx

x10xftdt0dt1tdt1tdt0dt1101x101x

02x1x2Fx22x1x221

7、设随机变量的密度函数为x11x00x1x1

0x1x,fx2x,1x20,其它

求P33111，P，P。42222

解：⑴

P⑵P⑶P

8、设k

解：fx倘若方程有实根，则b24ac16k216k216k2k10

13k2或k1舍去Pk2dx552

9、在区间0,a上任意选取一点，用表示该点的坐标，试求坐标的分布函数和密度函

数。5

x是不可能事件，FxPx0解：当x0时，

当0xa时，依题意P0xkx，k是某一常数。而0xa是必然事件，

故P0xaka1，所以k1x，从而P0x，于是aa

xxFxPxP0P0x0aa

当xa时，x是必然事件，FxPx1，故有

0xFxa

11,0xa0xafxa其它0,xax0

10、在ABCFx11、设0xh其它⑴求

⑵解：⑴P1.5P11.510.1250.1250.5498P44

P51P110.50.510.53284

P11P11P00.50.500.19154

P1121P21P0.50.54

10.50.50.617

⑵Pc1PcPcPc0.5P

1c1c10.50.5444c10c14

12、设测量误差的密度函数

fx1

40πex202

3200，x

⑴求测量误差的绝对值不超过30的概率；

⑵

30的概

解：⑴P.4931

⑵设3P0.869813160，若要求P解：P120200P120160160200160404040210.8

40401.28，31.25，即允许最大为31.25。0.9，从而

14、某地会考中学生成绩服从正态分布，现知不及格人数占总数15.9%，96分以上占总数

2.3%，问成绩在60～84之间的占总数多少？

解：P600.159P60600.15960601①0.841

96962②0.977P961P960.023

由①，②得：72,

P6084P126072728472116826121212

15、设某元件寿命是个随机变量，其密度为

问在⑴。解：p⑴16用表示对进行三次独立重复观察中事件2出现的次数

2。⑴求的分布律；⑵求P

2解：⑴

P1

2

02xdxx122014

139⑵P2C324464

17、设随机变量服从在2,5上的均匀分布，现在对进行4次观察，试求至少有2次观

察值大于3的概率。

51

12,2x5解：fx3pP3dx333其它0,

42

P1Cp1pCp1p0

4041413

11211C41、设(⑴⑵求⑶求解：⑴F,AB

ππππ，C1F,ABC0，2222

BCπ1,A22π

211Fx,y162⑵fx,y22222xyππ4x6yxy1123

x,y⑶FxFx,121xπ，fxFxarctanπ4x2π22x

FyF,y131yπ，fyFyarctanπ9y2π32y

2、设(,)的联合密度函数为

21xxy,当0x1,0y2f(x,y)30,其它

⑴求和的边缘密度函数；

⑵求

解：⑴当2x2x3当013⑵P

xy12117fx,ydxdydxx2xydy0x364

P16521fx,ydxdydxxxydy01x372xy112

3、设(,)的联合密度函数为f(x,y)，分别求、的边缘密度函数

2e(y1)

,x1,y1⑴f(x,y)x3

其它0,

解：当x1时，fxfx,ydy12y12dyx3x32fxx3

0

当y1时，fyx1其它

fx,ydx12y1dxey13xy1efy0y1其它

4xye(x

⑵f(x,y)0,2y2),x0,y0其它解：当x0时，fx

2fx,ydy2xex2yeydy2x0222xex

fx0

当y0时，fyx0其它

2fx,ydx2xeeydx2yey0222yey

fy0

⑶f(x,y)y06xy(2xy),00y10,其它

解：当0x1ffx,ydy6xy2xydy4x3x201x3x20x1f其它0

当0y1时，fy

fx,ydx6xy2xydx4y3y2014y3y2

fy0

⑷f(x,y)0y1其它4.8y(2x),0x1,0yx0,其它

解：当0x1时，fx

fx,ydy4.8y2xdy2.4x22x0x2.4x22x0x1fx0其它

当0y1时，fyfx,ydx4.8y2xdx2.4y34yy2y1

22.4y34yy0y1fy0其它

21(x2y2),x2y21⑸f(x,y)π

0,其它

解：当1x1时，fx

fx,y

dy382222

1xydy3π1x38221xfx3π

01x1其它⑹f(x,y)解：fx1y2π1xyf4、设(,0其它

12⑷P3；；⑶P2求下列事件的概率2,2；⑵P⑴P

⑹已知⑸P1时，的概率。2

111112解：⑴P,dx2dy02204

1117⑵P12228

⑶P2

2

x,yG

fx,ydxdydx

1

x

20

xx21dydx

02404

1

1

1112

⑷Pdx1dy

3033

⑸P

111

P,11222

1124

P

22

2

6、第3题各随机变量是否独立？

解

7⑴(,⑵求(解：⑴A当

0

当0y1时，fy

其它

yy

fx,ydx

6dx6yy

6

fy

yy0

0y1其它

2

yx151yx

xx⑵求交点，，；，2122

2y1x2y1x

P15

2

0dx26dyxx115

2dx26dyx1x275222

8、设，相互独立，在0，2上服从均匀分布，的密度函数为

5e5y,y0f(y)y00,

⑴求和的联合密度函数；⑵求P。

1解：⑴fx

0x2

,y0

⑵P9设(,F(x,⑴问⑵求解：⑴F因为Fx,yFxFy，所以和相互独立。

P120P1201F1201F120e120,120⑵P

10、设(,)服从二维正态分布2.4

⑴设参数11，21，15，29，，写出它的联合密度函数和边缘密度函数；

⑵若(,)的联合密度函数为222

f(x,y)

2

e

1

4(x4)26(x4)(y1)9(y1)26

2

求参数1,2,12,2和的值，并写出和的边缘密度函数。

解：⑴2

4

5

22

125x16x1y1y1expfx,y24π5553332

x,y

fx

152π

e

x12

50

,x；fy

132π

e

y12

18

,

⑵

y

12、设(,为二维正态分布。）解：当x0时，fx

fx,ydy

12x2y21

edye2ππ

1122

xy2

x2

e

y22

dy

12π12π

e

x22

当x0时，fx

fx,ydy

1eπ

dy

1eπ

x22

e

y22

dye

x22

（式中高斯积分

e

y22

dy2π，且e

y22

为偶函数，故

e

y22

dy

2π）2

fx1

2πex2

2,x即~N(0,1)，同理，~N(0,1)。

第三章连续型随机变量及其分布

习题3.3（p.122）

1、⑴设的密度函数为

ex,x0fxx00,

求3的密度函数。

解：y3

2。

当y13f⑵若解2⑴求1解：fx1,x0,1，0,其它

y2x，严格单调，由0x1，得0y2。

当0y2时，f1yfhyhy11122

1,f1y20,

y0,2其它⑵求2e的密度函数；

解：fx1,x0,1，

0,其它

yex，xlny严格单调，由0x1，得1ye。当1ye时，f2yfhyhyflnylny111yy

1,f2yy0,y1,e其它

⑶求32ln的密度函数。

解：f

x1,x0,1yyy212当ye2f33、设~⑴1解：fxπyex，xlny严格单调，由xR得y0。当y0时，f1yfhyhyflnylny1

2πyeln2y

2

1lny

2e,y0f1y2π0,其它

⑵221；

22

解：fx1

πex2

2,x

y2x21，x

当y1时，y1分段单调，由xR得y1。2

f2yf

y12y1y1y1y11fe42222πy-1

y11e4,y1f2y2πy1

0,其它⑶求3解：fxy当yf34、设2x1,1x2fx9

其它0,

求的密度函数。

2解：当1x1时，yx，0y1分段单调，xy2

fyfyyfyy92y

2当1x2时，yx，1y4严格单调，xy

fyf1yy1

91y

29y，0y1

11，1y4fy1y90，其它

5、设的密度函数为

3x2π2,0xπ⑴f1x其它0,

⑵f2

x解：⑴在当

⑵0y1。当0y1时，

fyfarccosyarccosyfarccosyπarccosyπ2

πy2

2,0y12fyπy

0,其它

6、设电流I是一个随机变量，它在9~11安培内均匀分布，若电流通过2欧姆的电阻，求

功率WIR的密度函数。

2

1,i9,11解：fIi2，w2i20严格单调，162w242，i其它0,w2

ww1当162w242时，fWwfI2242w

1,162w242fWw42w

其它0

7、设

求解：Fy令xFyf8、设、独立同分布，服从指数分布，密度函数为

ex,x0fx0,x0

求⑴1；

⑵22的密度函数。

解：⑴0xz，当z0，f1z0

当z0，f1z

fxfzxdxexezxdx2zez

z

2zez,z0

f1z

z00,

zzzfe2,z0

⑵f2z222

0,z0

9、设、独立，在0,2上服从均匀分布，服从参数为1的指数分布，求的密度函数。解：f

zzfx

z当z当z当010、设；

⑶3235，求各i的密度函数。解：⑴125~N7,62，f1y

162π

126π

e

y72

72

,y

⑵2~N3,13，f2y

y32

26

e,

y

y12

144

⑶3235~N1,72，f3y

1π

e,y

11、设某种商品每周的需要量是一个随机变量，其密度函数为

tet,t0

ft

0,t0

并设各周的需要量是相互独立的，试求⑴两周需要量的密度函数；

⑵三周需要量的密度函数。解：⑴，与独立同分布z0，fz0；当z0时，fz

fxfzxdx

0z

x0

z

xe

zxe

zx

dxe

z

z0

z3z

xzxdxe

6

2

⑵zfz

12、设,的密度函数为fx,y

12π

2

e

x2y222

22

⑴求1的密度函数。

解：z0，F1z0；当z0时，

F1zP22z

x2y2

fx,ydxdy

x2y2

1

e2

2π

-

x2y22dxdy

极坐标2π

0dz01e2π2r22rdrer22z1e

2z22z2zz

22e2,z0,z0，fzF1z1e21其它0,其它0,

13、在长为a的线段上随机地任取两点，求这两点间距离的密度函数。

解：~U0,a，~U0,a，

a2

az22

a,0za2FzPza0,其它

14、的指

试求电路正常解：FtFTfT15、设1,xx

8fxe,x04x00,2

i的密度函数，并求P4。求max1in

解：1,,n独立同分布，故FiyFy,i1,2,,n

当y0时，Fy0；

当y0时，FyPiy

y

fxdx

x

e4

y

-

x28

dx1e

,

n

-

y28

Fy1e,

0,

y2

-8

y0，FyFyn

y0

y2

-1e8

0,

y0y0

y2y2

--nye81e8

fyFy4

0,

n1

,

y0y0

P41P411e2。

16、设某种元件寿命近似服从N160,202，随机地选取4只，180

解：p

n

11P1、2米之外，就可认为

问该批弹药被接收的概率是多少？

2rer1r2

re解：Pr201e91e9

2

2

20

1e4

91e

1e4

∴所求概率为P1e9

2、设,的联合密度函数为

5

1,当0x1,0yx

f(x,y)

0,其它x,y

试求⑴fx与fy；⑶P1。

解：⑴当0x1时，fxfx,ydyxx1dy2x

2x0x1fx0其它

当y1时，fyfx,ydxdx1yy1

1yfy0

⑵P1y1其它11

1

2dxdy12x1dx1x2x14

3、设

,求,a22解：Px2

4、事件Aa，

B解：fx其它0,

PAPaa

131111xa1，PBPax3aa2222

且事件A、B相互独立，所以

PABPAPBPAPB1

a24a35570，所以a或a9331a13a794

5、设在半径为R的圆周上随机任取两个点P、Q，用表示弦PQ的长度，求的分布函

数和密度函数。

x00,

S扇

解：FxPxp,0x2R，其中p

11S圆x2R2

设PQx，圆心角为2，arcsin

2x2

，S扇R，所以pπ2R

0,x0

2x

Fxarcsin,0x2R，

2R

1x2R

12

,0x2R

fxFxπ4R2x2

0,其它6、设求解：设x

⑴当z

fazea

⑵当时，

xzxxzxxxzz

z10a1a

fz2edxedxeadx2azea

0z4a

4a

1a

aze由⑴，⑵可知，fz24a

z

7、设随机变量的密度函数为

xπ,πxπ

fx2π2

其它0,

求sin的密度函数。

解：sin，ysinx，xarcsiny

当0y1时，x0,π

fyfarcsinyarcsinyfπarcsinyπarcsiny13arcsinyππarcsinyπ2π22π2y22πy2

当1y0时，xπ,0

fyfπarcsinyπ-arcsinyfarcsiny

f8

求解：fx1,0x1，其它0,

z1xzzx,2xz,z2xz1

0其它0zx1zx,fzx2zx,1zx20其它

fzfxfzxdx

当z0时，fz0

当0z1时，fz

12

zxdxz0

z

2

z1x1zx,

当1z2时，fzx2xz,0xz1

0其它

fz当2z3时，fz

32

2xzdxzxdxz3z0z1

2

z1

1

129

2xzdxz3zz2

1

22

12

z,0z12

3z23z1z2

fz

2

129z3z,2z39

表格中p11Px1,x2Px1；p12Px1且x20（不可能事件）；

1x2p21Px1,x2P

p22Px1,x2Px2。

2

1

exdx；

第四章随机变量的数字特征

习题4.1数学期望（P136）

1.一整数等可能性地在1—10中取值，以记除得尽这一正数的正整数地个数，求E()。解：

E114232342.710101010

2.已知随机变量~B(n,p)，验证：E()np。

解：Enp3.f(x)

求E()解：E()0)dx221500(1500)(1500)

1500

4.已知在搜索时间tEtf(t)dtatedt0at0

5.已知连续型随机变量服从柯西分布

f(x)1,(x)(1x2)

x1＝dxlnx2

21x2试验证其数学期望不存在。解：E()

xf(x)dx＝1＝发散

6.已知二维随机变量(,)的联合分布律如表所示，

A[xx2]dx016(x,y)G1f(x,y)60其它

1x12Edx26ydy0x25E1

0dx26xdyxx

8.一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布

（1）随机地取一页，求在这一页上错误不少于2个的概率；

（2）随机地取4页，求在这4页上错误不少于5个的概率；

（3）随机地取8页，求在这8页上错误不少于5个的概率

0.200.21

0.2100解：（1）0.2，P1()e0.01755000!1!

0.800.810.820.830.84

0.8（2）40.20.8，P1()e0.001410!1!2!3!4!

（3）80.21.61.601.611.621.631.64

1.6P1()e0.02370!1!2!3!4!

习题4.2（P146）

1.设随机变量的分布律如表所示

求E(),E(2),E(325)。

解：E20.420.30.2

E2E(32.求(1)解：（1）（2）3.

1解：设直径为，其密度函数为f(x)ba0

球体积axb其它13是一个随机变量。6

E()b

a131(ab)(a2b2)xdx6ba24

4.试求连接以为半径R的圆周上一已知点A与圆周上任意点的弦长的数学期望。解：

设过A的直径为AB，AB与弦的夹角为，则在[,]上服从均匀分布22

1f()0

2x其它22Rcos14RE()22Rcos2

5.公共汽车起点站于每时的10分、30分、55

。

解：601Ex(70x)5515

6.2e2x

f(x)04e4yx0f(y)x00

2y0y0求(1)E();(2)E(2

3)。

解：（1）E()EE2

0xe2xdx40ye4ydy34

11224y（2）E,E4yedy028

3522E(23)2E3E188

7.设,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

e(x5)

f(x)0x52y0y1f(y)0其它其它求(1)E();(2)E(sin);(3)E(esin)。

解：（1）,独立。EEE

5xe(x5)dxy2ydy=601243

(2),独立E(sin)EEsin.

E

5xe(x5)dx6Esinsinyf(y)dy2(sin1cos1)

E(sin)12(sin1cos1)

(3)E(esin)E(e)E(sin)

8.解：

1

f(x,y)dxdydxkdy001xk22

E()2xdx01x0ydy14

9.承习题4.1，第6题，求E()。

解：

设

10.解：E11.将n求有球的盒子数

MM1第i只盒中有球解：设i则i,EEi0第i只盒中无球i1i1

(M1)n1n(1)P{i0}nMM

(M1)n1nP{i1}1P{i0}11(1)MMn

Ei1P{i1}1(11n)M

EEiM[1(1

i1M1n)]M

12.将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去，一只盒子装一只球，将一只球

装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记为配对的个数，求E()。

n1第i只球投入第i只盒中解：设ii,0反之i1

P(i1)

n1n111i1,2,nEi01nnnn

EEinEin

i111n

习题4.3（P159）

1.设离散型随机变量的分布律如表所示

解:EE2D2.求D()解:EE2kpq

k1p[k(k1)qk1kqk1]pq(q)k11p

pq[1121q1]pq2p(1q)2(1q)3pp

2DE(E)2q2p

1。4

23.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过解:设~B(1,p)Dpqp(1p)pp111(p)2424

4.已知随机变量~B(n,p)，且E()3.5,D()1.05，求P(2)。解:Enp3.5Dnpq3.5q1.05q0.3,p0.7,n5

~B(5,0.7)P(2)1P(2)1P(0)P(1)

110.35C50.70.340.96922

5.随机变量的分布函数为

a3F(x)1x3

0

求E(),D()。xaxa

解:

f(x)E226.其中解:E2122DE(E)2

2

7.设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为

xx

22f(x)2e

02x0x0

其中0为常数，求E(),D()。

解:Ex2

0

2x22dx0xdex22分部积分0ex22xdxt22E2x3

02x222分部积分dx22

DE2(E)2422

8.设二维随机变量(,)在区域G:x0,y0,xy1上服从均匀分布，求

E(),E()，D()，D()。

解:

fE9.)2}。解:由10.设随机变量1,2,,n相互独立，都服从参数为的泊松分布，

(1)1i,求E(1)，D(1)。

i1n

(2)2n1，求E(2)，D(2)。

解:(1)E(1)n,D(1)n

(2)E(2)n,D(2)n2

11.某射手每次射击结果可表示为随机变量

1射中，且已知P(X1)0.6,X0未射中

现独立地射击三次，记随机变量Y为三次中射中的次数，

（1）若Z3Y，求E(Z),D(Z)；

（2）若记S为射击9次射中的总次数，求E(S),D(S)。

解:EX1P(X1)0P(X0)0.6EX20.6DX0.24

Y~.40.72

(1)(2)12.k次测量的结果为kn次测量结

1解:E(n1D(n

13.A。甲从A袋中有放回地摸球三次，乙从B袋中有放回地摸球二次。求五次摸球中所摸到的球的号码之和的数学期望和方差。

解:设~A袋中摸球3次号码之和

E9D8

~B袋中摸球3次号码之和

E12D16

EEE21DDD24

14.已知随机变量,相互独立，且它们的分布律分别如表所示

0.42

16.一台设备由10个独立工作的元件组成，每一个元件在时间T发生故障的概率为0.05。设在时间T发生故障的元件数为随机变量，试用契比雪夫不等式来估计和它的数学期望的离差（1）小于2的概率；（2）不小于2的概率。

解:np100.050.5=npq100.050.950.4752

20.4750.88125(1)P{2}1214

20.475(2)P{2}20.118754

17.已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200－－9400之间的概率。

解:7300700270028P{2100}P{52009400}121()21009

32236E01E2D555525

cov(,)E()EEcov(,)1350DD4

2.设随机变量(,)具有概率密度f(x,y)1

0yx,0x1其它

试求E(),E(),cov(,)。

解:

EE)E(3.求E(),解:E002217Edxy(xy)dy0086

2214Edxxy(xy)dy0083

221511E2dxx2(xy)dyD0083362215112Edxy2(xy)dyD008336cov(,)E()EEcov(,)113611DD

4.设随机变量~N(0,1)，且令2，求证,不相关。

解:cov(,)cov(,2)E[(E)(2E2)]

~N(0,1)E0DE2(E)21E21

cov(,)E[(21)]E3E

所以,不相关.

5.已知随机变量(,)服从二维正态分布，E()E()0,D()16,D()25,21x3ex22dx0(奇函数)cov(,)12，求(,)的概率密度。

解:

1f(x6.),D()。解:D(7.ab，a间的相关系数为(a2b2)/(a2b2)。

解:EE0,DD,ED(E),E222222

DDa2Db2D(a2b2)2EE0

cov(,)E()EE(a2b2)2

cov(,)a2b2

22DDab

8.设随机变量,的联合分布律如表所示

验证：和

不相关，但和不是相互独立的。解:EE(1)331088

Ecov(但P(所以

（P177）

1.1,2,3,4,5。任取三个球，用表示取出的三个球的号

)。

解:取球设

E9E284

D3

2.设随机变量的概率密度为

1x1x0f(x)1x0x1

0其它

求E(),D()。

解:E

xf(x)dxx(1x)dxx(1x)dx01001

E2

Dx2f(x)dxx2(1x)dxx2(1x)dx10011616

3.设随机变量的分布函数为

0x1求a,F解:

E1x

1x

x22dx0xsintE

D11x2221sin2t1costdtcost212

4.设散型随机变量仅取两个可能值x1和x2，而且x2x1。这里以概率0.6取x1，还

假定的数学期望E()1.4，方差D()0.24，求随机变量的分布律。

22解:E0.6x10.4x21.4E20.6x10.4x2

22D0.6x10.4x2(0.6x10.4x2)20.24

3x12x27x11(x2x1)

2(x1x2)1x22

5.已知随机变量的概率密度为：

1xf(x)0

又令

0x2其它解:f(EE11f(121y661y6

06y00y66.方向盘有整分度为1C，如果计算角度时是把零头数化为最靠近的正分度计算的，求测

量方位角时误差的数学期望和均方差。

解:设误差为,它在(-0.5,0.5)内服从均匀分布

~(0.5,0.5)E

ab110D(ba)221212D0.2886017.4

7.航海雷达的环视扫描显示器是半径为R的一个圆，由灯塔反射回来的信号光点均匀分布

在这个圆f(x,y)R2

0

Ex2y2R2其它2

xyf(x,y)dxdy

R22极坐标0dr0R12R23RE2极坐标2

0d01R2

r22R2

D8.（1）（2）解:~,(1)(2)4D172,217f21e(z2)2

34z

9.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量是个随机变量，它服从正态分布，其数学期望为50

千克，均方差为2.5千克，问装多少袋水泥能使总重量超过2000千克的概率为0.05。解:E50,D2.5~N(50,2.5)250

2.5~N(0,1)

200050200050P(n2000)0.05P()P()0.95n2.52.5

查表得800201.645n37n

10.设P(E())0.9和D()0.009，用契比雪夫不等式估计的最小值。

20.009解:P(E)1210.92

20.09min0.3

11.已知甲投篮命中率为2，设表示甲在18次投篮中投中的次数，用契比雪夫不等式估3

计家在18次投篮中投中9到15次的可能性。

解:

~BP(912.解:(1)1(2)EE122222Exsin(xy)dxdy200822

同理E22

8

22

DD

2832161E22xysin(xy)dxdy12002

cov(,)

212

1681622832

13.袋中有2只红球，4只黑球，任取3只，设,分别表示取出红球数和黑球书。求E(),E(),D(),D(),。

解:

,)E()EE0cov(

15.已知三个随机变量,,中，E()E()1,E()1,D()D()D()1

0,,1

21，设，求E(),D()。2

解:E()E()EEE1

,)2cov(,)2cov(,)D()DDD2cov(

=32DD2DD2DD3

16.二维随机变量(,)的联合分布律如表所示：

求：,取何值，能使,不相关。

解:

01、设i(i=1,2,,50)是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为0.03的泊松分布。

记1250，试用中心极限定理计算P(3)。

解：由中心极限定理可认为~N(E()D,()N)，(则P(3)P1.)11.531.5)1(1.225)1.51。0.8897

2、一部件包括10部分。每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立且具有同一分布。

其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。

解：由中心极限定理可认为总长度~N(E(),D())N(20,，0则P(19.

920P(51。0.473)2(0.6325)1025

3、一个加法器同时收到20个噪声电压Vk(k1,2,,20)。设它们是相互独立的随机变量，

且都在区间[0,10]上服从均匀分布。V为加法器上受到的总噪声电压，求P(V105)

102500解：由中心极限定理可知V~N(E(V),D(V))

N(205,20)N(100,)，则123

P(V105)P)1(0.39)10.65174、

（1）

（2）？

解：（1

N(0,125)，因此P(||。0.18020

(，

即)/121（2）5、6的概率为p

1，3若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500到30500次纵摇角度大于6的概率为

多少？

解：由中心极限定理可知：在90000次破浪冲击中，纵摇角度大于6的次数

~N(E(),D())N(9000P(2950030500)P1312,90N)33(30000，则,20000)2(3.535)10.9996。6、某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位臵、调换工作等

常需停工，设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的且在开工时需电力1千瓦。问应供应该车间多少千瓦电力才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。

解：由中心极限定理可知：在同一时间开工的车床数

~N(2000.6,2000.60.4)N(120,48)，又由题意可知，供应的电力数x

应满足

：0.9P99x(P128120，

即(48)3.1，x141.5。7、抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到

解：设检查n个产品，则由中心极限定理可知：其中的次品数~N(n0.10.9)，

即：，8、解：

每个

戏院的观众数

：0.01P(n)n537。9、n6000个1这种元件，试问在这6000个元件中，合格品的比例n与之差介于0.01之间的概率6n

是多少？

解：由中心极限定理可知：6000个元件中的合格品的数目~N(6000

N(1000,5000)6，因此P(n

n|1615,6000)636100|P01600)00(

P(|2(2.08)10.9624。第六章数理统计基本概念与抽样分布

第一节数理统计基本概念习题

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1、设总体分布为下述情形（1）B(k,p)；（2）服从参数为的指数分布；（3）

N(,1)，1,4为取自总体n4的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律（或联合密度）。

ll解答：（1）因B(k,p)，所以P{l}Ckp(1p)kl,l0,1,k，故样本空间为

X{(k1,,k4)|k1,,k40,1,,k}，P{1k1,,4k4}P{1k1}P{4k4}Ckk1pk1(1p)kk1Ckk4pk4(1p)kk4，k1,,k40,1,,k；

（2）因()，所以P{k}k

k!e,k0,1,，故样本空间X{(k1

,1k1}P{4k4}k1

k1!e（3）因)，故样本空间X{(k1f(x1,,x1,,x4)。2、

值为

x(1)(2)k((1)(2)(k)12k，(nin)，显)

i1

_1k1k2然有样本均值xnix(i)，样本方差Sni(x(i)x)2。ni1n1i1_

_1k2（1）求证：S[nix(i)n(x)2]；n1i12

_k

（2）有一组n25的样本观察值，其数据如下，试求x、s,b2。2

2

___

1k1k1k222

解答：（1）Sni(x(i)x)ni(x(i)2x(i)x(x))=[nix(2i)n1i1n1i1n1i1

___

1k2

2xnix(i)(x)ni][nix(i)2xnxn(x)2]

n1i1iii1

_

_2

_

1k2

[nix(i)n(x)2]。

n1i1

k

k

（2）x

_

1ni

nixi

1

(8*05*17*33*42*6)2，

85732

326

_

11222

[nixin(x)2](8051723s

n1b2n2

11

22，2)

3

3、设1,已知。问下述样本

（1）1（5）

2

2,3)；

1(22

解答：未知但已知，因4、i1,2,,n，使yi__

n1nxbya

成为较简单的整数以简化运算，求证：。其中：xxi,yyi，

222ni1ni1sxbsy__

1n1n22

s(xix),sy(yiy)2。n1i1n1i12x

_xia1n1n

,所以xiabyi(i1,n,，)xxi(abyi)解答：因为yibni1ni1

___

1n1n1n22

abyiaby；sx(xix)(abyi