河北省衡水中学2022届高三上学期期末考试理科数学(解析版)

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1．【题干】=-+2022

)11(i

i（）

A．

B．－

C．

D．－

【答案】A

【解析】

21(1)2,1(1)(1)2

iii

iiii++===--+2022202221002().iiiiii=?=?=故选A

2．【题干】设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上单调，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为A．f(b－2)＝f(a＋1)B．f(b－2)>f(a＋1)C．f(b－2)1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；当0f(2)＝f(b－2)．综上，可知f(b－2)b

C．a＝b

D．a＋b＝0【答案】A【解析】

∵(－cosx)′＝sinx，(sinx)′＝cosx，∴a＝

22

sinxdxπ

?

＝－cos2＋cos

2

π

＝－cos2，b＝

1

cosxdx?＝sin1.

∴b－a＝sin1＋cos2＝－2sin21＋sin1＋1＝9/8－2(sin1－1/4)2，∵00，a0，－2π0)的图象向左平移

6π个单位得到f(x)＝Asin(ωx＋6

π

)，该函数仍是奇函数，所以

6

π

W＝kπ，φ＝6k，k∈Z，ω的值可以为6.答案：D8．【题干】在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）=ax2（a＞0），使得

???

?

?

?+

?=||||OQOQOAOAOPλ（λ为常数），这里点P、Q的坐标分离为P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为（）A、（2，+∞）B、（3，+∞）C、[4，+∞）D、[8，+∞）【答案】A【解析】

由题设知，点P（1，a），Q（k，ak2），A（5，0），

∴向量OP=（1，a），OA=（5，0），OQ=（k，ak2），

∴

|

|OA=（1，0），

|

|OQ=（

2

2

11k

a+，

2

2

1k

aak+），

∵???

?

?

?+?=||||OQOQOAOAλ（λ为常数），．∴1=λ（1+

2

2

11k

a+），a=2

2

1k

aak+λ，

两式相除得，k-1=221ka+，

k-2=a2k＞0

∴k（1-a2）=2，且k＞2．

∴k=2

12

a-，且0＜1-a2＜1．∴k=2

12

a

-＞2．故选A．

9．【题干】对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），，…，fn

（x）=f（fn-1（x）），n=1，2，3，…．满足fn（x）

=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f（x）=???

????

≤<-≤≤121,22210,2xxxx，则f的n阶周期点的个数是（）A、2nB、2（2n-1）C、2nD、2n2【答案】C【解析】

当x∈[0，

21

]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（21，1]时，f1（x）=2-2x=x，解得x=3

2

∴f的1阶周期点的个数是2

当x∈[0，

41

]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0当x∈（41，21]时，f1（x）=2x，f2（x）=2-4x=x解得x=52

当x∈（21，43]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=-2+4x=x解得x=32

当x∈（43，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x解得x=5

4

∴f的2阶周期点的个数是22依次类推

∴f的n阶周期点的个数是2n故选C．

10．【题干】平面上三条直线，假如这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为．【答案】

11．【题干】边长是2√2的正三角形ABC内接于体积是4√3π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为_____.【答案】

4√3

3

【解析】

边长是2√2的正三角形ABC的外接圆半径r＝2√6

3

．由于球O的体积为4√3，所以半径R＝√3．∴球心O到平面ABC的距离d＝√R2?r2=

√33

．

∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d＝4√3

3

．

故答案为：4√3

3

．

12．【题干】双曲线2

2

24byx-

=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.【答案】1【解析】

设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜

317,又∵c2=4+b2＜317

,∴b2＜3

5,∴b2=1.答案：113．【题干】已知函数f(x)=3sin2x+2√3sinxcosx+5cos2x．（1）若f(α)=5，求tanα的值；

（2）设ΔABC三内角A,B,C所对边分离为a,b,c,且a2+c2?b2

a2+

b2?

c2=c

2a?c，求f(x)在(0,B]上的值域．【答案】（1）tanα=0或tanα=√3；（2）[5,6].【解析】∴3

1?cos2α

2

+√3sin2α+5

1+cos2α

2

=5．∴√3?sin2α+cos2α=1，

210,10,0xyxxky-+=-=+=k{}0,1,2--

即√3?sin2α=1?cos2α?2√3?sinαcosα=2sin2αsinα=0或tanα=√3，∴tanα=0或tanα=√3．（2）由正弦定理可得2accosB

2abcosC=c

2a?c,即cosB

bcosC=1

2a?c,再由正弦定理得

cosBsinBcosC

=

12sinA?sinC

,

化为2sinAcosB=sin(B+C)=sinA则cosB=1

2

即B=π

3

，

又f(x)=3sin2x+2√3sinxcosx+5cos2x=√3sin2x+cos2x+4＝2sin(2x+π6)+4由0<x?π

3

，则1

2

?sin(2x+π6

)?1，故5?f(x)?6，即值域是[5,6].

14．【题干】如图，在梯形ABCD中，//,1,60ABCDADDCCBABC?

===∠=，四边形ACFE为矩

形，平面ACFE⊥平面ABCD，1CF=.

（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为()0

90θθ≤，试求cosθ的取值范

围.

【答案】(1)详见解析；(2)1

]2

.【解析】

(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.

又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC?平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.

(2)由(1)知,可分离以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

令FM=λ(0≤λ

则C(0,0,0),A

B(0,1,0),M(λ,0,1),∴ABuuur=(

,1,0),BMuuuur

=(λ,-1,1).设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,

由11·0·

0ABBM?=??=??uuuruuuu

rnn,

得0

0yxyzλ?+=??-+=??,取x=1,则n1

-λ)为平面MAB的一个法向量,易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴cosθ

=

1212

··=

=

nnnn.

∵0≤λ

∴当λ=0时,cosθ

,当λ

,cosθ有最大值12,∴cosθ∈

,1

2

].

15．【题干】已知函数f(x)=2lnx?x2.(I)求函数y=f(x)在[1

2,2]上的最大值.

(II)假如函数g(x)=f(x)?ax的图像与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)，且0<x1<x2.y=g′(x)是y=g(x)的导函数，若正常数p,q满足p+q=1,q≥p.求证：g′(px1+qx2)<0.【答案】(Ⅰ)-1；(Ⅱ)证实见解析.【解析】

(Ⅰ)由f(x)=2lnx?x2得到：f′(x)=

2(1?x)(1+x)

x

，

，故

在t<1有唯一的极值点，∵g′(x)

=2

x?2x?a，

，∴(2p?1)(x2?x1)≤0，

且知，所以最大值为．

(Ⅱ)，又u(t)<u(1)=0有两个不等的实根t<1，则，两式相减得到:

于是

，

要证：，只需证：

只需证：x2?x1

px1+qx2+lnx1

x2

<0①

令，只需证：在t?1<0上恒成立，又∵

∵，则，于是由可知t∈(0,1)，

故知在上为增函数，

则，从而知x2?x1

px1+qx2+lnx1

x2

<0，即①成立，从而原不等式成立.

16．【题干】已知C点在圆O直径BE的延伸线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．

（Ⅰ）求的度数．

（Ⅱ）若AB=AC，求AC:BC．

【答案】（1）；（2）

【解析】AC为圆O的切线,∴又知,DC是的平分线,∴∴

即又由于BE为圆O的直径,∴

∴

（2）,,∴∽∴

又AB="AC,"∴,