高中数学必修1-5新课程创新教学设计案例(共50课时)

1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，很多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论与其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了确定的感性相识．这节内容是初中有关内容的深化和延长．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最终介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简洁的集合．教学目标1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集与其记法．2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．3.驾驭集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培育学生的理解、化归、表达和处理问题的实力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了确定的了解，这里主要依据实例引出概念．介绍集合的概念采纳由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生简洁接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生驾驭．教学设计一、问题情境1.在初中，我们学过哪些集合？2.在初中，我们用集合描述过什么？学生探讨得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的全部解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生探讨得出：“全体”、“一类”、“一群”、“全部”、“整体”，……4.请写出“小于10”的全部自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5.什么是集合？二、建立模型1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．2.集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无依次．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的数集与其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内解除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4.集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的全部解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．5.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：对于无限集，不宜采纳列举法．三、说明应用［例题］1.用适当的方法表示下列集合．（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的全部点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集．2.用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．3.已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1.用适当的方法表示下列集合．（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2.用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）四、拓展延长把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例留意新、旧学问的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有学问、阅历动身，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，驾驭集合的表示方法．特别留意实例的运用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和驾驭．例题、练习由浅入深，对培育学生的理解实力、表达实力、思维实力大有裨益．拓展延长留意数学语言的转化和训练，留意区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和相识．2集合之间的关系教材分析集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具．这节内容是对集合的基本概念的深化，延长，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种状况．这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区分．教学目标1.通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培育学生的抽象、概括实力．2.了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培育学生对数学的理解实力．3.通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学学问发生、发展、运用的过程，培育学生的科学思维方法．任务分析这节内容是在学生已经驾驭了集合的概念和表示方法以与两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和探讨两个集合之间的关系，采纳从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，学问的产生、发生比较自然，易于学习、接受和驾驭；采纳分类探讨的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种状况，这可以使学生更好地相识子集、真子集、等集三者之间的内在联系．教学设计一、问题情境1.元素与集合之间的关系是什么？元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为xA．2.集合有哪些表示方法？列举法，描述法，Venn图法．数与数之间存在着大小关系，则，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？二、建立模型1.引导学生分析探讨集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2.与学生共同归纳，明晰子集的定义对于上述问题，老师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．子集：对于两个集合A，B，假如集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA），就说集合A是集合B的子集．用符号语言可表示为：假如随意元素x∈A，都有x∈B，则AB．规定：空集是任何集合的子集，即对于随意一个集合A，有A．3.提出问题，组织学生探讨给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．（1）A是B的子集吗？B是A的子集吗？（2）A是C的子集吗？C是A的子集吗？4.老师给出真子集与两集合相等的定义上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相同，这时，我们就说集合A与集合C相等．真子集：假如集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一个元素不属于集合A，则集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BA．AB的Venn图为两集合相等：假如集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即AB，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A中的元素，即BA，则就说集合A等于集合B，记作A＝B．A＝B的Venn图为思索：设A，B是两个集合，AB，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的？5.子集、真子集的有关性质由子集、真子集的定义可推知：（1）对于集合A，B，C，假如AB，BC，则AC．（2）对于集合A，B，C，假如AB，BC，则AC．（3）AA．（4）空集是任何非空集合的真子集．三、说明应用［例题］1.用适当的符号（∈，，＝，，）填空．（1）3___________｛1，2，3｝．（2）5___________｛5｝．（3）4___________｛5｝．（4）｛a｝___________｛a，b，c｝．（5）0___________．（6）｛a，b，c｝___________｛b，c｝．（7）___________｛0｝．（8）___________｛｝．（9）｛1，2｝___________｛2，1｝．（10）G＝｛x｜x是能被3整除的数｝___________H＝｛x｜x是能被6整除的数｝．2.写出集合｛a，b｝的全部子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.说出下列每对集合之间的关系．（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．（3）N，N*．（4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．［练习］1.用适当的符号（∈，，＝，，）填空．（1）a___________｛a｝．（2）b___________｛a｝．（3）___________｛1，2｝．（4）｛a，b｝___________｛b，a｝．（5）A＝｛1，2，4｝___________B＝｛x｜x是8的正约数｝．2.求下列集合之间的关系，并用Venn图表示．A＝｛x｜x是平行四边形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，D＝｛x｜x是正方形｝．拓展延长填表表2-1集合集合中元素的个数子集的个数真子集的个数｛a｝1

｛a，b｝2

｛a，b，c｝3

｛a，b，c，d｝4

……

（1）你能找出“集合中元素的个数”与“子集的个数”、“真子集的个数”之间关系吗？（2）假如一个集合中有n个元素，你能写出计算它的全部子集个数与真子集个数的公式吗？（用n表达）点评这篇案例结构严谨，思路清晰，概念和关系的引出留意从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的相识过程．具体地说就是，先结合实例探讨两个具体集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例说明AB，包括AB，A＝B两种状况，再给出真子集、等集的定义．这样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练习由浅入深，留意数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解．拓展延长留意培育学生从特殊到一般地解决数学问题的实力．值得留意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的“大小”关系实质上就是包含关系．3逻辑联结词教材分析在初中阶段，学生已接触了一些简洁命题，对简洁的推理方法有了确定程度的了解．在此基础上，这节课首先从简洁命题动身，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出推断复合命题的真假的方法．在中学数学中，逻辑联结词是学习、驾驭和运用数学语言的基础，是中学数学学习的动身点．因此，在教学过程中，除了关注和初中学问亲密的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和驾驭逻辑联结词．教学重点是推断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．教学目标1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、“且”、“非”的复合命题的构成．2.能娴熟推断一些复合命题的真假性．3.通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，精确性，并在今后数学学习和沟通中，能够精确运用逻辑联结词．任务分析在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步学问，但是，对命题和开语句的区分往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其驾驭复合命题．由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义不完全相同，故要干脆讲清晰它们的意义，比较困难．因此，起先时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生依据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这样处理有利于驾驭重点，突破难点．为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最终应设计一系列的习题加以巩固、深化对学问的相识程度．教学设计一、问题情境生活中，我们要常常用到很多有自动限制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，假如“到达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满意时，就会停机．与此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满意时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以探讨．二、建立模型在初中，我们已学过命题，知道可以推断真假的语句叫作命题．试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．（1）12＞5．（2）3是12的约数．（3）是整数．（4）是整数吗？（5）x＞．（6）10可以被2或5整除．（7）菱形的对角线相互垂直且平分．（8）不是整数．（可以让学生回答，老师给出点评）我们可以看出，（1）（2）是真命题；（3）是假命题；因为（4）不涉与真假；（5）不能推断真假，所以（4）（5）都不是命题；（6）（7）（8）是真命题．其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．像（1）（2）（3）这样的命题，不含逻辑联结词，叫简洁命题；像（6）（7）（8）这样，由简洁命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题．假如用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题（这里应明确（6）（7）（8）三个命题中p，q分别代表什么），则上述复合命题（6）（7）（8）的构成形式分别是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否定．对于以上三种复合命题，如何推断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生回答状况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真值表用一句话总结：（1）“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反．（2）“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他状况时为假．（3）“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他状况时为真．三、说明应用［例题］1.分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：2＋2＝5，q：3＞2．（2）p：9是质数，q：8是12的约数．（3）p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．（4）p：｛0｝，q：＝｛0｝．注：引导学生进一步熟识真值表．2.说出下列复合命题的形式，并推断其真假．（1）5≥5．（2）5≥1．解：（1）p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5为真命题．（2）p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真命题．［练习］1.命题：方程x2－1＝0的解是x＝±1，运用逻辑联结词的状况是（）．A.没用运用逻辑联结词B.运用逻辑联结词“且”C.运用逻辑联结词“或”D.运用逻辑联结词“非”（C）2.由下列命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题均为真命题的是（）．A.p：4＋4＝9，q：7＞4B.p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝C.p：15是质数，q：4是12的约数D.p：2是偶数，q：2不是质数（B）四、拓展延长在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题．例：小李参与全国数学联赛，有三名同学对他作如下揣测：甲：小李非第一名，也非其次名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名．竞赛结束后发觉，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去找寻解题思路．例：曾经在校内内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，突然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的；丙：确定不是我打破的；丁：乙在撒谎．现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话．分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．点评这篇案例的突出特点是对学问的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的全部例子均结合学生的数学水平取自学生驾驭的学问范围之内或者干脆源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和驾驭．假如在“建立模型”的结束时与时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简洁命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．4四种命题教材分析在初中，学生接触的简洁的逻辑推理与命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何学问，有很强的几何直观性，便于驾驭．中学学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题与四者之间的关系，以适应中学数学学习的须要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础．这节课的重点是四种命题间的关系．学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简洁几何学问，但是新的学问体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深化，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．教学目标通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题与其关系，进而使学生驾驭简洁的推理技能，发展学生的思维实力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．任务分析在这节课的教学过程中，要留意限制教学要求，即只探讨比较简洁的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不探讨含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．教学设计一、问题情境在以前的数学学习中，有这样的学问：菱形的对角线相互垂直．则，这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“假如一个四边形对角线相互垂直，则它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．二、问题解决首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题．（学生回答，老师补充完整）例：假如原命题是（1）同位角相等，两直线平行．让学生说出它的逆命题．（2）两直线平行，同位角相等．再看下面的两个命题：（3）同位角不相等，两直线不平行．（4）两直线不平行，同位角不相等．在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．换句话说：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若非p则非q．逆否命题：若非q而非p．下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，随意两个是什么关系？（学生回答，老师补充，最终出示下图）给出一个命题：“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并推断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．不难发觉如下关系：（1）原命题为真，它的逆命题不确定为真．（2）原命题为真，它的否命题不确定为真．（3）原命题为真，它的逆否命题确定为真．三、说明应用［例题］1.把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别推断它们的真假．（1）负数的平方是正数．（2）正方形的四条边相等．分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．2.设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别推断它们的真假．分析：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应当保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．［练习］1.命题“若a＞b，则ac2＞bc2，（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（）．A.3B.2C.1D.0（B）2.在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（）．A.三命题都真B.三命题都假C.否命题真D.逆否命题真（D）四、拓展延长在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否定：“随意的”、“全部的”、“都是”和“全是”等．下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，明显“全是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部分．因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全不是”．同样，“随意的”否定应是“某个”，“全部的”否定应是“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”．例如，命题：若x2＋y2＝0，则x，y全是0．其否命题是：若x2＋y2≠0，则x，y不全是0．点评这篇案例涉与两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的相识，这篇案例突出了“学生参与”，即让学生通过例子相识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中驾驭的学问．再者，这篇案例中全部例子都特别简洁，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能主动地参与到课堂活动中去的一个必要条件．美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例”的运用稍显单薄．5充分条件与必要条件教材分析充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容．学习数学须要全面地理解概念，正确地进行表述、推断和推理，这就离不开对充分条件与必要条件的驾驭和运用，而且它们也是相识问题、探讨问题的工具．这节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，总结出了充分条件、必要条件和充要条件的概念，给出了推断充分条件、必要条件的方法和步骤．教学的重点与难点是关于充要条件的推断．教学目标1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2.理解充要条件，驾驭推断充要条件的方法和步骤．3.通过充要条件的学习，培育学生对数学的理解实力和逻辑推理实力，逐步提高学生分析问题、解决问题的实力．任务分析这节内容是学生在学习了“四种命题”、会推断一个命题的真假的基础上，主要依据“pq”给出了充分条件、必要条件与充要条件．虽然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解，特殊是对必要条件的理解有确定困难．对于本节内容的学习，首先要分清谁是条件，谁是结论，其次要进行两次推理或推断．（1）若“条件结论”，则条件是结论的充分条件，或称结论是条件的必要条件．（2）若“条件结论”，则条件是结论的不充分条件，或称结论是条件的不必要条件．教学设计一、问题情境［提出问题］1.写出命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别推断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假．原命题：若x＞0，则x2＞0．真命题．逆命题：若x2＞0，则x＞0．假命题．否命题：若x≤0，则x2≤0．假命题．逆否命题：若x2≤0，则x≤0．真命题．2.“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．“若p则q”为真，即假如p成立，则q确定成立，记作pq或qp．“若p则q”为假，即假如p成立，则q不确定成立，即由p推不出q，记作pq．［进一步的问题］“若x＞0，则x2＞0”，为真，可记作“pq”．（1）x＞0是x2＞0的什么条件？（2）x2＞0是x＞0的什么条件？二、建立模型1.学生分析探讨，老师点拔（1）x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么条件？在这个问题中，“x＞0”是“条件”，“x2＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“条件”成立，则“结论”确定成立，说明“条件”蕴涵“结论”，说明“条件”是“结论”的充分条件．（2）x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么条件？在这个问题中，“x2＞0”是“条件”，“x＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“结论”成立，则“条件”确定成立，说明“结论”蕴涵“条件”，即若“条件”成立，则“结论”不确定成立，说明“结论”是“条件”的必要条件．2.师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义假如已知pq，则，p是q的充分条件，q是p的必要条件．3.充要条件问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等．问：p是q的什么条件？解：（1）pq，即p是q的充分条件．（2）qp，即p是q的必要条件．综合（1）（2），我们就说p是q的充要条件．假如pq，且qp，记作pq，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．4.提出问题，组织学生探讨如何推断充要条件？（1）分清谁是条件p，谁是结论q．（2）进行两次推理或推断，即推断pq是否成立，qp是否成立．（3）依据（2）写出结论．三、说明应用［例题］1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．（1）p：x＞0；q：x2＞0．（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）（2）p：x＝y；q：x2＝y2．（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形全等．（p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件）（4）p：两直线平行；q：内错角相等．（p是q的充要条件，q是p的充要条件）（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1．（p是q的既不充分又不必要条件，q是p的既不充分又不必要条件）2.指出下列各组命题中，p是q的什么条件．（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．（2）p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形．（3）p：a≠0；q：a·b≠0．（4）p：a＋5是无理数；q：a是无理数．（5）p：x≤5；q：x≤3．［练习］1.下列各组命题中的p是q的什么条件？（1）p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．（2）p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有实数根．（3）p：a＞b；q：a2＞b2．（4）p：x2＝3x＋4；q：x＝（5）p：x＞-1；q：x＞1．（6）p：a，b都是偶数；q：a＋b是偶数．2.（1）假如原命题若p则q为真而逆命题为假，则p是q的条件．（2）假如原命题若p则q为假而逆命题为真，则p是q的条件．（3）假如原命题若p则q与其逆命题都为真，则p是q的条件．（4）假如原命题若p则q与其逆命题都为假，则p是q的条件．四、拓展延长1.已知p，q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，则，（1）S是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？2.“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的充要条件是什么？3.“3x2－10x＋k＝0有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么？点评这篇案例留意新、旧学问的内在联系，以旧引新，过渡自然．首先，复习已学过的学问“四种命题”和推断命题的真假，并以此奇妙地引出了推断符号pq，pq．其次，在此基础上，通过实例，创设问题情境，引出课题p是q的什么条件．最终，明确充要条件，并给出推断充要条件的方法和步骤．环环相扣，层层深化，重点突出，抓住了关键．例题与练习由浅入深，符合学生的认知规律．拓展延长富有新意，有利于培育学生的探究实力和创新意识，有利于培育学生的思维实力和思维品质，整个设计圆满地完成了教学任务．6函数的概念教材分析与传统课程内容相比，这节内容的最大变更就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上接着深化学习函数，连接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；其次，干脆进入函数概念的学习更有利于学生将留意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其相识映射与函数的关系后才能理解函数的概念．函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的视察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念．对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他学问的联系以与不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解．教学目标1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域．3.了解映射的概念．任务分析学生在初中对函数概念有了初步的相识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点相识函数，了解构成函数定义的三要素，相识映射与函数是一般与特殊的关系．教学设计一、问题情景1.一枚炮弹放射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t的变更规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）．2.近几十年来，大气层中的臭氧快速削减，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变更状况．3.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的凹凸，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间（年）变更的状况表明，“八五”支配以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变更．表6-1“八五”支配以来我国城镇居民恩格尔系数变更状况时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9问题：分析以上三个实例，对任一个给定的ｔ，射高ｈ、臭氧层空洞面积Ｓ、恩格尔系数是否有值与之对应？若有，有几个？二、建立模型1.在学生充分分析和探讨的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点在三个实例中，变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集Ａ中的任一个ｘ，依据某个对应关系，在数集Ｂ中都有唯一确定的值与之对应．2.老师明晰通过学生的探讨归纳出函数的定义：设A，B是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，则就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y叫作函数值，函数值的集合：｛y｜y＝f（x），x∈A｝叫作函数的值域．留意：（1）从函数的定义可以看出：函数由定义域、对应法则、值域三部分组成，它们称为函数定义的三要素．其中，y＝f（x）的意义是：对任一x∈A，依据对应法则f有唯一y与之对应．（2）在函数定义的三个要素中，核心是定义域和对应法则，因此，只有当函数的对应关系和定义域相同时，我们才认为这两个函数相同．思索：函数f（x）＝与g（x）＝是同一函数吗？三、说明应用［例题］1.指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么？如何用集合与对应的观点描述它们？（1）y＝1，（x∈R）．（2）y＝ax＋b，（a≠0）．（3）y＝ax2＋bx＋c，（a＞0）．（4）y＝kx，（k≠0）．解：（3）定义域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝对应法则f：自变量→a（自变量）2＋b·（自变量）＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c（1），（2），（4）略．2.已知：函数f（x）＝（1）求函数的定义域．（2）求f（－3），f（）的值．（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．目的：深化对函数概念的理解．3.求下列函数的值域．（1）f（x）＝2x．（2）f（x）＝1－x＋x2，（x∈R）．（3）y＝3－x，（x∈N）．解：（1）｛y｜y≠0｝．（2）｛y｜y≥｝．（3）｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．4.（1）已知：f（x）＝x2，求f（x－1）．（2）已知：f（x－1）＝x2，求f（x）．目的：深化对函数符号的理解．解：（1）f（x－1）＝（x－1）2．（2）f（x－1）＝x2＝［（x－1）＋1］2＝（x－1）2＋2（x－1）＋1．∴f（x）＝x2＋2x＋1．［练习］1.求下列函数的定义域．2.已知二次函数f（x）＝x2＋a的值域是［－2，＋∞），求a的值．3.函数f（x）＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，求：（1）f（3.5），（2）f（－3.5）．四、拓展延长在函数定义中，将数集推广到随意集合时，就可以得到映射的概念．集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪几个？解：共有4个不同的映射．思索：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少个？点评这篇案例设计完整，条理清晰．案例从三个方面（实际是函数的三种表示方法，为后续内容埋下伏笔）各举一个具体事例，从中概括出函数的本质特征，得出函数概念，体现了由具体到抽象的认知规律，有利于学生理解函数概念，更好地体现了数学从实践中来．例题、练习由浅入深，完整，全面．映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意．“拓展延长”的设计为学生加深对概念的理解，供应了素材．在“问题情景”中的三个事例中，第一个例子中的“对应关系”比较明显，后两个例子则不太明显．假如能在教学设计中加以细致对比说明，效果会更好．7函数的表示方法教材分析函数的表示方法是对函数概念的深化与延长．解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化；既各有侧重和优势，又各有劣势和不足；既相互补充，又使函数随自变量的变更而变更的规律直观和具体．这节内容，是初中有关内容的深化、延长与提高．教材在复习初中三种表示方法定义的基础上，分三个层次对三种表示方法进行了比较．第一个层次：回顾与比较；其次个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较．教学重点：画简洁函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法与其图像的作法．教学目标1.在实际情景中，会依据不同的须要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.通过具体实例，了解简洁的分段函数，并解简洁应用．3.能依据简洁的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义．任务分析学生在初中已经对这节内容有了初步的相识．这节的教学任务是在学生原认知水平的基础上，用对应的观点相识函数，会依据不同须要选择恰当的方法表示函数，明确三种表示方法各有优劣，在确定条件下可以相互转化．为突出依据简洁的实际问题建立函数关系式，画出它们的图像这个重点，除学习教材中的实际问题外，又增加了练习．为突破分段函数这个难点增加了高斯函数作为练习．教学设计一、问题情景1.复习引入（1）复习初中三种函数的表示方法．（2）学生回答函数三种表示方法的定义．2.方法探究（1）复习与比较例：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本须要y元．试用三种表示方法表示函数y＝f（x）．（2）引导学生分析探讨①三种表示方法的各自的特点是什么？全部的函数都能用解析法表示吗？②函数图像上的点满意什么条件？满意函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在什么地方？二、建立模型1.老师明晰函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．采纳解析法的条件：变量间的对应法则明确；采纳图像法的条件：函数的变更规律清晰；采纳列表法的条件：函数值的对应清晰．函数图像上的点满意函数关系式y＝f（x），满意函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在函数图像上，故函数图像即为点集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝．2.比较与分析例：下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成果与班级平均分：表7-1

第一次其次次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三名同学在高一学年度的数学学习状况进行分析．学生分析探讨：本例是用何种方法表示函数的？要分析“成果”与“测试次数”之间的变更规律，用何种方法表示函数？留意：在这里选择何种表示方法，要依据问题的具体状况和三种表示方法的特长来确定．3.老师进一步明晰将“成果”与“测试次数”之间的函数关系用函数图像表示出来，就能比较直观地看到成果的变更状况．4.转化与比较例：画出函数y＝｜x｜的图像．5.老师归纳、整理初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决．y＝｜x｜，若不含“｜｜”号，则是我们初中学过的y＝x，现在含确定值号，故去确定值号，得分段函数而分段函数的图像只要分段作出即可．三、说明应用［练习一］1.作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发觉了什么．2.作出y＝x2＋2｜x｜＋1的图像．3.若x2＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解？三个解？两个解？无解？［例题］某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车不超过5km，票价2元．（2）超过5km，每增加5km，票价增加1元．（不足5km的按5km计算）已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，假如沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请依据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．学生分析探讨：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？老师引导学生写出如下解答过程．解：设票价为y元，路程为xkm．假如某空调汽车运行路途中设21个汽车站，则汽车行驶的路程约为20km，故自变量x的取值范围是x∈（0，20］，且x∈N，函数y的取值范围是y∈｛2，3，4，5｝．由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：依据这个函数解析式，可画出函数的图像函数图像共有20个点构成．像例3、例4这样的函数称为分段函数，分段函数的图像应分段作．［练习二］1.下图都是函数的图像吗？为什么？（D）目的：进一步深化对函数概念和函数图像的理解．2.某人从甲镇去乙村，一起先沿马路乘车，后来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间，纵轴表示此人与乙村的距离，则较符合该人走法的图像是（）．（D）3.小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后休息10min，最终以每小时4km的速度行进了30min到达乙地．（1）试写出速度v（km／h）关于动身时间t（h）的函数关系式，并画出图像．（2）试写出小明离开甲地s（km）关于动身时间t（h）的函数关系，并画出图像．四、拓展延长1.设x是随意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］，问：x与y之间是否存在函数关系？假如存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．答案：存在函数关系，是闻名的高斯函数．现只写出x∈［－1，1］的函数关系：y＝图像略．2.某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤气用量和支付费用如下表所示：表7-2月份用气量煤气费1月份4m4元2月份25m14元3月份35m19元该市煤气的收费方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．若每月量不超过最低限度Am3，则只付基本费3元和每月每户的定额保险C元；若用气量超过Am3，超过部分每立方米付B元，又知保险费C不超过5元．依据上面的表格，求A，B，C．分析：可设每月用气量xm3，支付费用y元，建立函数解析式解之．解：设每月用气xm3，支付费用y元，则由0＜C≤5，得3＋C≤8．由第2和3月份的费用都大于8，得两式相减，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．再分析1月份的用气量是否超过最低限度．不妨令A＜4，将x＝4代入3＋B（x－A）＋C，得3＋0.5［4－（3＋2C）］＋C＝4，由此推出3.5＝4，冲突，∴A≥4，1月份付款方式为3＋C．∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．∴A＝5，B＝0.5，C＝1．点评这篇案例分三个层次对三种表示方法进行了比较：第一层次：用一个简洁的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；其次层次：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数；第三层次：三种表示函数的方法的相互转化．三个层次，层层深化，并对三种表示方法的优、劣进了比较，重点突出．拓展延长通过高斯函数，加深了学生对抽象函数、分段函数的相识．在留意三种表示方法的同时，加强了学生应用意识的培育．8函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变更方向和函数值的变更方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性探讨了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延长和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的精确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中推断函数的增减性，既有从图像上进行视察的直观方法，又有依据其定义进行逻辑推理的严格方法，最终将两种方法统一起来，形成依据视察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以与利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1.通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培育学生从特殊到一般的抽象概括实力．2.驾驭增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学学问推断或证明一些简洁函数的单调性，培育学生对数学的理解实力和逻辑推理实力．3.通过对函数单调性的学习，初步体会学问发生、发展、运用的过程，培育学生形成科学的思维．任务分析这节内容学生在初中已有了较为粗略的相识，即主要依据视察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增加直观性，采纳由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要留意对区间上所取两点x1，x2的“随意性”的理解，多给学生操作与思索的时间和空间．教学设计一、问题情境1.如图为某市一天内的气温变更图：（1）视察这个气温变更图，说出气温在这一天内的变更状况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温渐渐上升或下降”这一特征？2.分别作出下列函数的图像：（1）y＝2x．（2）y＝－x＋2．（3）y＝x2．依据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变更趋势？二、建立模型1.首先引导学生对问题2进行探讨———视察分析视察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发觉：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．则，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“随意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．留意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变更规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变更时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“随意”的．2.在学生探讨归纳函数单调性定义的基础上，老师明晰———抽象概括设函数f（x）的定义域为I：假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．假如函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，则我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．3.提出问题，组织学生探讨（1）定义在R上的函数f（x），满意f（2）＞f（1），能否推断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，推断函数f（s）在R上是否为增函数．（3）视察问题情境1中气温变更图像，依据图像说出函数的单调区间，以与在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的随意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、说明应用［例题］1.证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．注：要规范解题格式．2.证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．思索：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？3.设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．［练习］1.证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．2.推断函数的单调性，并写出相应的单调区间．3.假如函数y＝f（x）是R上的增函数，推断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．四、拓展延长1.依据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变更状况，并对将来100年能源结构的变更趋势作出预料．2.推断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．3.假如自变量的变更量Δx＝x2－x1＜0，函数值的变更量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，则函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？4.函数值的变更量与自变量的变更量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变更率．（1）依据函数的平均变更率推断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延长”的设计有新意，有深度，为学生数学思维实力、创建实力的培育供应了平台．这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：1.强调对基本概念和基本思想的理解和驾驭由于数学高度抽象的特点，留意体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经验从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．2.留意联系，提高对数学整体的相识数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在中学数学的教学中，要留意数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延长”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的主动性和主动性．3.留意数学学问与实际的联系，发展学生的应用意识和实力在数学教学中，应留意发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学学问，引导学生应用数学学问解决实际问题，经验探究、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生相识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．9函数的奇偶性教材分析函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析．教材首先通过对具体函数的图像与函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的精确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最终，为加强前后联系，从各个角度探讨函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是依据定义推断函数的奇偶性．教学目标1.通过具体函数，让学生经验奇函数、偶函数定义的探讨，体验数学概念的建立过程，培育其抽象的概括实力．2.理解、驾驭函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义推断一些简洁函数的奇偶性．3.在经验概念形成的过程中，培育学生归纳、抽象概括实力，体验数学既是抽象的又是具体的．任务分析这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y＝kx，反比例函数，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f（x），确定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的冲突概念———非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延长，可以取得志向效果．教学设计一、问题情景1.视察如下两图，思索并探讨以下问题：（1）这两个函数图像有什么共同特征？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？可以看到两个函数的图像都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．对于函数f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事实上，对于R内随意的一个x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此时，称函数y＝x2为偶函数．2.视察函数f（x）＝x和f（x）＝的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此时，称函数y＝f（x）为奇函数．二、建立模型由上面的分析探讨引导学生建立奇函数、偶函数的定义1.奇、偶函数的定义假如对于函数f（x）的定义域内随意一个x，都有f（－x）＝－f（x），则函数f（x）就叫作奇函数．假如对于函数f（x）的定义域内随意一个x，都有f（－x）＝f（x），则函数f（x）就叫作偶函数．2.提出问题，组织学生探讨（1）假如定义在R上的函数f（x）满意f（－2）＝f（2），则f（x）是偶函数吗？（f（x）不确定是偶函数）（2）奇、偶函数的图像有什么特征？（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？（奇、偶函数的定义域关于原点对称）三、说明应用［例题］1.推断下列函数的奇偶性．注：①规范解题格式；②对于（5）要留意定义域x∈（－1，1］．2.已知：定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表达式．解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．（2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．3.已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，推断f（x）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明如下：任取x1＞x2＞0，则－x1＜－x2＜0．∵f（x）在（－∞，0）上是减函数，∴f（－x1）＞f（－x2）．又f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．思索：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？［练习］1.已知：函数f（x）是奇函数，在［a，b］上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在［－b，－a］上的单调性如何．2.f（x）＝－x3｜x｜的大致图像可能是（）3.函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满意什么条件时，（1）函数f（x）是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．4.设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．四、拓展延长1.有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？2.设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，摸索讨：（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．3.已知a∈R，f（x）＝a－，试确定a的值，使f（x）是奇函数．4.一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？点评这篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像与对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的定义，符合学生的认知规律，有利于学生理解和驾驭．应用深化的设计层层递进，深化了学生对奇、偶函数概念的理解和应用．拓展延长为学生思维实力、创新实力的培育供应了平台．10二次函数教材分析二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有亲密联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的相识．本节先探讨特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的旁边取值画图视察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最终，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性与其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式转化为y＝a（x－h）2＋k的形式．教学目标1.通过一个例子探讨二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培育学生归纳、抽象实力．2.驾驭二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能娴熟地求二次函数的最值．3.能初步运用二次函数解决一些实际问题，培育学生分析问题和解决问题的实力．任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝ax2，（a≠0）的图像与a的关系以与二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过程．教学设计一、复习引申1.什么是二次函数？2.在同一坐标系中作出下列函数的图像．（1）y＝－3x2．（2）y＝－2x2．（3）y＝－x2．（4）y＝－0.5x2．（5）ｙ＝0.5x2．（6）y＝x2．（7）y＝2x2．（8）y＝3x2．3.学生探讨：函数y＝ax2中系数a的取值与它的图像形态有何关系？4.老师明晰：在a从－3渐渐变更到＋3的过程中，抛物线开口向下并渐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并渐渐变小．二、问题情境已知二次函数f（x）＝x2＋4x＋6．（1）求它与x轴的交点坐标．（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量ｘ的值．（3）画出它的图像．（4）它的图像有没有对称轴？假如有，位置如何？（5）确定函数的单调区间．1.先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．（2）将原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝（x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2．∵对随意x∈R，都有（x＋4）2≥0，∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．∴函数有最小值是－2，记作ymin＝－2，此时x＝－4．（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：表10-1ｘ…－7－6－5－4－3－2－1…ｙ…0－－2－0…描点，画图．（4）由上表与图像推想：二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），与y轴平行．（5）视察图像知：二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函数．2.相关问题（1）对称轴与图像（抛物线）的交点叫抛物线的顶点，函数f（x）＝x2＋4x＋6的顶点坐标是（－4，－2）．（2）假如将过点（x1，0）平行于ｙ轴的直线记作x＝x1，则函数f（x）＝x2＋4x＋6的对称轴为x＝－4．（3）把f（x）＝x2＋4x＋6转化为f（x）＝（x＋4）2－2，采纳的是“配方法”．（4）思索：怎样证明函数f（x）＝x2＋4x＋6的图像关于直线x＝－4对称？［提示：证明f（－4＋h）＝f（－4－h）］（5）类似地，再对二次函数f（x）＝－x2－4x＋3研讨上面四个方面的问题．三、建立模型对任何二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）都可以通过配方法化为y＝a（x＋）2＋的形式，并且有如下性质：1.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是（－，）．2.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减，在［－，＋∞）上递增，当x＝－时，［f（x）］min＝．（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上递减，当x＝－时，［f（x）］max＝．思索：（1）二次函数的图像确定与x轴或y轴相交吗？（2）函数y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？四、说明应用［例题］1.求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．注：可利用上面的性质干脆写出答案．2.某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数关系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－，（0≤t≤30，t∈N）．求这种商品的日销售额的最大值．解：设该商品的日销售额为S，则∵t∈N，∴当t＝10或t＝11时，Smax＝808.5．答：这种商品日销额的最大值是808.5．注：本题是应用题，自变量t∈N，不能使．［练习］1.已知函数f（x）＝x2－2x－3，不计算函数值，试比较f（－2）和f（4），f（－3）和f（3）的大小．2.二次函数y＝f（x）满意f（1＋x）＝f（1－x），且方程f（x）＝0有两个实根x1，x2，求x1＋x2．3.已知函数f（x）＝2x2＋（a－1）x＋3在［2，＋∞）上递增，求a的取值范围．4.抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝ax＋b，（ab≠0）的图像（如下图）只可能是（）．四、拓展延长1.假如已知二次函数的图像（抛物线）的顶点坐标为（h，k），则它的解析表达式如何？假如已知二次函数的图像（抛物线）与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），它的解析表达式又如何？2.用函数单调性的定义探讨f（x）＝ax2＋bx＋c，（a＜0）的单调性．3.证明函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像关于直线x＝－对称．点评这篇案例讲解并描述了两个方面的学问点，一是特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像随ａ值变更的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．例题与练习的选配难易适中，代表广泛，并有利于巩固本课重点学问．拓展延长中提出的三个问题都是二次函数的重要特征，好用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果．11指数函数教材分析指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着特别广泛的应用，如细胞分裂、考古中所用的14C教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝（）x，用描点法画其图像，并借助图像，视察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点（1，0）与单调性．最终配备恰当的习题与练习．在学问的形成过程中，体现图像视察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题．教学目标1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解并驾驭指数函数的定义、图像与性质．3.通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学学问的产生和形成的过程，培育学生的抽象概括实力．4.在解决简洁实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培育学生的应用意识．任务分析学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂与其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此确定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重视列表、画图像的过程，这样才有利于视察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出学问的形成过程．教学设计一、问题情境某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……假如1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式．先由学生独立解答，然后老师明晰细胞分裂的规律是：每次每个细胞分裂为2个．当x＝0时，y＝1＝20；当x＝1时，y＝20×2＝21