2022-2023学年湖南省郴州市煤矿职工子弟学校高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年湖南省郴州市煤矿职工子弟学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列各小题中，是的充要条件的是

(

)（1）或；有两个不同的零点。

（2）

是偶函数.

（3）

.

（4）

.A.

B.

C.

D.参考答案：D2.要计算的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017参考答案： B3.已知数列{an}是等差数列，若且数列{an}的前n项和Sn有最大值，则时的最大自然数n等于（

）A．19

B．20

C．21

D．22参考答案：B4.△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则c：sinC等于（）A．3：1 B．：1 C．：1 D．2：1参考答案：D【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用二倍角公式对原式化简整理成关于cosB的方程求得cosB的值，进而求得B，然后利用正弦定理求得答案．【解答】解：cos2B+3cos（A+C）+2=2cos2B﹣3cosB+1=0，∴cosB=或1（舍）∴B=进而利用正弦定理===2故选D．5.已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：D6.设向量，，，则实数的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D试题分析：因为，所以，解得，故选D．考点：向量数量积的坐标运算．7.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

A．8

B．

C．10

D．参考答案：C本题考查了三视图的相关知识，难度中等.由三视图可知，该四面体可以描述为：面,,且,从而可以计算并比较得面的面积最大，为10，故应选C.8.当0<a<b<1时,下列不等式正确的是( )A.

B.C. D.参考答案：B略9.偶函数在区间[0,]（）上是单调函数，且，则方程

在区间[－，]内根的个数是

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：答案：B10.已知、、是共起点的向量，、不共线，且存在m，n∈R使成立，若、、的终点共线，则必有

A．m+n=0

B．m－n=1

C．m+n=1

D．m+n=－1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.几何证明选讲）如图，为△外接圆的切线，平分，

交圆于，共线．若,,，则圆的半径是

参考答案：略12.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．参考答案：613.若，且，则

参考答案：14.三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．参考答案：50π【分析】利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．【详解】由SA，SB，SC两两垂直，以SA，SB，SC为长方体同一顶点出发的三条棱构造长方体，则长方体外接球直径2R为长方体体对角线长可得球直径为，，故答案为：50π．【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题，考查了构造长方体解决问题的方法，属于中档题．15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.参考答案：略16.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数：z=3x-y的最大值是

。参考答案：17.(几何证明选讲选做题)如右图:切于点，,过圆心,且与圆相交于、两点，，则的半径为

．参考答案：3是切线,则即设圆的半径为,由切割线定理得,.解出三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，为直线l的倾斜角），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求时直线l的普通方程；（2）直线l和曲线C交于两点A，B，点P的直角坐标为(2,3)，求的最大值.参考答案：（1）：x2+y2﹣4y＝0，：；（2）【分析】（1）把＝4sinθ两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可．【详解】（1）由＝4sinθ，得2＝4ρsinθ，∴曲线的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．当a＝时，直线过定点（2，3），斜率k＝﹣．∴直线的普通方程为y﹣3＝﹣，即；（2）把直线的参数方程为代入x2+y2﹣4y＝0，得t2+（2sina+4cosa）t+1＝0．设的参数分别为t1，t2.所以t1+t2＝﹣（2sina+4cosa），t1t2＝1，则t1与t2同号且小于0，由△＝（2sina+4cosa）2﹣4＞0，得2sina+4cosa＜﹣2或2sina+4cosa＞2．∴|PA|+|PB|＝﹣（t1+t2）＝2sina+4cosa＝（tanθ＝2）．∴|PA|+|PB|的最大值为．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于中档题．19.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,，点为以为直径的圆上任意一动点,且,点是的中点,且交于点.（I）求证:（II）当时，求二面角的余弦值.

参考答案：(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)(Ⅰ)证明:,,又易知

……2分又,是的中点,,， ……4分又已知,平面.

………………6分(Ⅱ)解法一:如图,以为坐标原点,AB为x轴，AS为z轴,建立空间直角坐标系,

由于,可设,则

………………8分设平面的一个法向量则

即可得

………………10分由（1）可知易求

二面角的余弦值是.

…………12分

20.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦′矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）参考答案：21.[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，是⊙的一条切线，切点为直线,都是⊙的割线，已知求证：

参考答案：因为为切线，为割线，所以，又因为，所以．……………4分所以，又因为，所以∽，所以，又因为，所以，所以．………………………10分略22.（本小题满分14分）已知抛物线，圆．（1）在抛物线上取点，的圆周上取一点，求的最小值；（2）设为抛物线上的动点，过作圆的两条切线，交抛物线于、点，求中点的横坐标的取值范围．参考答案：（1）；（2）【知识点】圆与圆锥曲线的综合．H8解析：（1）．设，则，则，当且仅当是取等号………3分的最小值为的最小值减，为…5分（2）．由题设知，切线与轴不垂直，，设切线设，中点，则将与的方程联立消得即得（舍）或设二切线的斜率为，则，………………………8分又到的距离为1，有，两边平方得……………9分则是的二根，则………………10分则……………………11分在上为增函数，…………13分【思路点拨】（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出｜MC2｜，利用配方法求其最小值，则｜MN｜的最小值为｜MC2｜的