一元二次方程实根的分布问题开滦第二中学

一元二次方程实根的分布问题

唐山市开滦第二中学刘红兰一、学习目标：一是熟练掌握一元二次方程实根分布问题的解决方法

；二是培养数形结合、分类讨论、等价转化的能力。

二、学习重点、难点：学习重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布图形问题代数表达式（不等式组）参数取值范围。学习难点：将图形问题转化成不等式组并快速准确求解。三、知识回顾：1.什么叫函数的零点？2.方程的实根、函数的零点、图像之间有什么关系？

四、课堂互动探究：如：关于的方程分别满足下列条件,求参数的取值范围：（1）有两个不等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）没有实根？实根分布问题

★一元二次方程1、当x为全体实数时的根四、课堂互动探究：例1.已知方程有一个正根一个负根，求实数的取值范围.四、课堂互动探究：变式1-1.若方程有两个正实根，求实数的取值范围.变式1-2.若方程有两个负实根，求实数的取值范围.f(x)的图象

题型1小结----零分布一元二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)

的实根分布问题f(x)=0的根记

f(x)=ax2+bx+c(a>0)两个正根两个负根一正一负两根韦达定理法△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

>0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

>0

2abf(0)<

0几何法△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

<0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

<0

2ab四、课堂互动探究：例2.若函数的零点一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围？四、课堂互动探究：变式2-1.若函数的零点都大于1，求实数的取值范围？变式2-2.若函数的两个零点都小于1，求实数的取值范围？f(x)的图象

题型2小结----k（常数）分布一元二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)

的实根分布问题f(x)=0的根记

f(x)=ax2+bx+c(a>0)两根小于k一根大于k一根小于k两根大于k几何法

△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

<k

2abf(k)<0.

△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

>k

2ab四、课堂互动探究：例3.若关于两根均在区间（0,1）内，求实数的取值范围。四、课堂互动探究：变式：

若关于两根中恰有一个在（0,1）内，求实数的取值范围。f(x)的图象题型3小结----开区间分布一元二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)

的实根分布问题f(x)=0的根记

f(x)=ax2+bx+c(a>0)两根在(m,n)内恰好只有一根在(m,n)内几何法

f(m)>0

△=b2-4ac≥0m<

-

<n

2abf(n)>0.f(m)f(n)<0,或f(m)=0m<

-

<,2abm+n

2<

-

<

n.

2abm+n

2f(n)=0或思考方程的两根有且只有一个在区间[m,n]上时等价于?四、课堂互动探究：练习.若关于两根一个在区间（-1，0）内，另一个在区间（1,2）内，求实数的取值范围.五、课堂小结：本节课主要的数学思想方法有：1.数形结合法2.等价转化法3.分类讨论法涉及方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,设f(x)=ax2+bx+c，一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程

f(x)=0的判别式;③

f(x)

图象的对称轴与区间端点的关系;④区间端点处函数值的符号