福建省宁德市第八中学高三数学理测试题含解析

福建省宁德市第八中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中，“”是“”的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C2.已知，且则集合的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：Ｄ3.已知b是实数，若是纯虚数，则b=(

)A．2 B．﹣2 C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：∵==是纯虚数，则b=，解得b=2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了计算能力，属于基础题．4.若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6参考答案：C圆的标准方程为，所以圆心为，半径为。因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，所以，即。点到圆心的距离为，所以当时，有最小值。此时切线长最小为，所以选C.5.设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为(

)A．12

B．16

C．18

D．20参考答案：C略6.使复数为实数的充分而不必要条件是由(

)A．

B．

C．为实数D．为实数参考答案：B

解析：；，反之不行，例如；为实数不能推出

，例如；对于任何，都是实数7.若集合，集合，则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：，，由不能推出，由能推出，“”是“”的必要不充分条件，故答案为B.考点：充分条件、必要条件的判断.8.执行如图的程序框图,若输入的值为,则输出的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48 D．63参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：∵a1+a2=3，a3+a4=12，∴（a1+a2）q2=a3+a4，即q2=4，则a5+a6=（a3+a4）q2=12×4=48，故选：C．10.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A. B.C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若i为虚数单位，则复数＝________．参考答案：12.已知向量a=(1，2)，b=(2，0)，若向量λa+b与向量c=(1，-2)共线，则实数λ=______．参考答案：【知识点】向量共线的意义.F1【答案解析】-1

解析：因为，所以=，又与共线，所以.【思路点拨】根据向量的坐标运算求得的坐标，再由与向量共线得关于的方程，解此方程即可.13.已知O为坐标原点，点M(1,-2)，点N(x,y)满足条件，则的最大值为

。参考答案：1，设，即。作出可行域，平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最大，此时最小，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，所以的最大值为1.14.函数的定义域为____________.参考答案：略15.已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则=

.参考答案：1416.对于函数给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线成轴对称；③图象可由函数的图像向左平移个单位得到；④图像向左平移个单位，即得到函数的图像。其中正确结论是_______参考答案：②④17.在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是

．参考答案：﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，【解答】解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

完成以下问题：

（I）补全频率分布直方图并求n、a、p的值：

（II）从[40．50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望EX．

参考答案：19.．（1）若，求的单调区间及的最小值；（2）若，求的单调区间；（3）试比较与的大小．（且），并证明你的结论．参考答案：(1)0；(2)见解析；(3)见证明.【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣lnx，将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间，进而可得f（x）的最小值；（2）将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间；（3）由（1）可知，lnx≤x﹣1，从而，令x＝n2，可得，再进行叠加，利用放缩法，即可证得结论成立．【详解】(1)当时,，在上递增.当时,,.在上是递减.故时,的增区间为,减区间为,.(2)①若,当时,,,则在区间上是递增的;当时,,,则在区间上是递减的

②若,当时，，,则在上是递增的,在上是递减的;当时,,在区间(0,a)上是递减的,而在x=a处有意义;则在区间上是递增的,在区间(0,1)上是递减的

综上:当时,的递增区间是,递减区间是(0,a);当,的递增区间是,递减区间是(0,1)(3)由(1)可知,当a=1,x时,有即,则有+,故：+

.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中，用放缩法证明不等式是解题的难点．20.不等式选讲设函数.（I）当，解不等式；（II）若的解集为，，求证：.

参考答案：（I）;（II）证明：略.解析：（I）由已知可得，原不等式可化为等价于或或解得或或原不等式的解集为

……5分（II）依题可知，所以，即……7分

…………9分当且仅当，,即时取等号

…………10分【思路点拨】（I）当a=2时，原不等式为，分段讨论去绝对值得：或或解得或或原不等式的解集为.（II）依题可知，所以，即，所以，当且仅当，,即时取等号.

略21.（本题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）

∴（，又，∴，从而的取值范围是.．．．．．．．．．．12分法二：由正弦定理得：.∴，，.∵，∴，22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM?DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM?AC+DM?AB成立．解答： 解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△O