湖南省永州市瑞华学校高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省永州市瑞华学校高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y＝2x2的准线方程是(

)A.x＝－

B.x＝

C.y＝－

D.y＝参考答案：C略2.已知等比数列的前项和为，，则实数的值是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知，若，则实数取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.设双曲线的实轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）． A． B． C． D．参考答案：D∵易知，，∴，∴渐近线方程为，选择．5.已知R为实数集，M=，，则M∩（?RN）=(

)A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|0≤x≤1}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】先化简集合M、N，再求出?RN，计算M∩（?RN）即可．【解答】解：R为实数集，M=={y|y≥0}，={x|x≥1}，∴?RN={x|x＜1}∴M∩（?RN）={x|0≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题目．6.若集合则“”是“”的（

）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A7.“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（

）充分非必要条件

必要非充分条件

充要条件

既非充分也非必要条件参考答案：A略8.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①的定义域是,值域是;②点是的图像的对称中心,其中;③函数的最小正周期为1;④函数在上是增函数.则上述命题中真命题的序号是

（

）A．①④

B．①③

C．②③

D．②④参考答案：B略9.已知函数，且实数>>>0满足，若实数是函数=的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D10.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （

）A．

B．

C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为虚数单位，则______.参考答案：略12.已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为．参考答案：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=代入导函数即可求出a的值，然后由曲线的方程求出曲线的导函数，把x=1代入导函数即可求出切线的斜率，把x=1代入曲线方程中即可求出切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可．【解答】解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3﹣2sin2x+2cos2x，且由y=x3，得到y′=3x2，则a==3﹣2sin+2cos=1，把x=1代入y′=3x2中，解得切线斜率k=3，且把x=1代入y=x3中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m2，则3m2=，n=m3，解得m=﹣，则切线方程为：3x﹣4y+1=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为

．参考答案：14.已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=

参考答案：略15.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么该几何体的侧面积为

。参考答案：

16.已知全集，集合，则的子集个数是

．参考答案：4

略17.在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.参考答案：1，所以

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.参考答案：（I）证明：连接BD，易知，，又由，故GH∥PD，又因为平面PAD，平面PAD，所以GH∥平面PAD.（II）证明：取棱PC的中点N，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平面.（III）解：连接，由（II）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.

19.已知函数f（x）=ax2﹣（a2+b）x+alnx（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=﹣1，b=0时，证明：f（x）+ex＞﹣﹣x+1（其中e为自然对数的底数）．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：问题转化为证明ex﹣lnx﹣1＞0，设g（x）=ex﹣lnx﹣1（x＞0），问题转化为证明?x＞0，g（x）＞0，根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证明x﹣1≥lnx（x＞0），令h（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当b=1时，…（1分）讨论：1°当a≤0时，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间

…（2分）2°当a＞0时，令或a①当，?′a=1ê±￡?此时此时函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间

…（3分）②当，即a＞1时，此时在和（a，+∞）上函数f'（x）＞0，在上函数f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递增区间为和（a，+∞）；单调递减区间为…（4分）③当，即0＜a＜1时，此时函数f（x）单调递增区间为（0，a）和；单调递减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：（法一）当a=1时

f（x）+ex＞x2+x+1只需证明：ex﹣lnx﹣1＞0设g（x）=ex﹣lnx﹣1（x＞0）问题转化为证明?x＞0，g（x）＞0令，，∴为（0，+∞）上的增函数，且…（8分）∴存在惟一的，使得g'（xo）=0，，∴g（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增…（10分）∴，∴g（x）min＞0∴不等式得证

…（12分）（法二）先证：x﹣1≥lnx（x＞0）令h（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0）∴，∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，∴h（x）≥h（1）?x﹣1≥lnx…（8分）∴1+lnx≤1+x﹣1=x?ln（1+x）≤x，∴eln（1+x）≤ex…（10分），∴ex≥x+1＞x≥1+lnx，∴ex＞1+lnx故ex﹣lnx﹣1＞0，证毕

…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．20.设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a?a?b，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|．所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1．所以a的取值范围﹣1＜a＜1．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．…21.

已知函数．

(I)当a=2时，求曲线在x=1处的切线方程；

(Ⅱ)若a≤0，讨论函数的单调性；

(Ⅲ)若关于x的方程在(0，1)上有两个相异实根，求实数a的取值范围．

参考答案：

略22.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE?BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE?BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA?EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC