高等数学-第2章课件

高等数学-第2章课件第一节导数的概念第二节导数的求导法那么和根本公式第三节隐函数及参数方程所确定的函数的导数第四节高阶导数第五节函数的微分及其应用第一节导数的概念一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线即为割线MN

的极限位置MT(当时).割线MN

的斜率切线MT的斜率设函数在点的某邻域内有定义,假设存在,那么称函数在点处可导,并称此极限为在点的导数.记作:

定义

即假设上述极限不存在,那么称在处不可导.如果函数在区间(a,b)的内每一点都可导，那么称函数在区间(a,b)内可导，这样就产生了一个新的函数，此函数称为函数的导函数，记作即三、求导数举例用导数定义求导数的步骤如下：四、左、右导数函数f(x)

在点x0

处可导的充分必要条件是左导数和右导数存在且相等.即左导数右导数单侧倒数假设函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且及都存在，那么称f(x)在闭区间[a,b]上可导.五、导数的几何意义切线方程:法线方程:曲线在点的切线斜率为因此,六、函数的可导性与连续性的关系所以函数在该点处连续.定理2.1.1假设函数在点处可导，那么函数在点处必连续.证设函数在点处可导，即存在，那么注意:

函数在点x处连续未必可导.定理2.2.1设函数都在点x处可导，那么函数的和、差、积、商〔除分母为零的点外〕都在点x处可导.且第二节函数的求导法那么和根本公式一、函数求导的四那么运算法那么推论1推论2(C为常数)二、反函数的导数定理证:在

x

处给增量,由反函数的单调性知且由反函数的连续性知时必有，因此常数和根本初等函数的导数三、复合函数的求导法那么定理2.2.3如果函数在点x处可导,而函数在对应的点u处可导,那么复合函数也在点x处可导,且有证:在点

u可导,故（当时)故有定义

一般地，如果变量x和y满足一个方程，在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地，总有满足这一方程的y值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数.第三节隐函数及参数方程所确定

的函数的导数隐函数一、隐函数的导数显函数隐函数的显化二、由参数方程确定的函数的导数假设参数万程确定y与x之间的函数关系，那么称此函数为由参数方程所确定的函数.定义2.3.234再设函数都可导,且.由复合函数及反函数的求导法那么与反函数的求导公式,有在方程中，设函数具有单调连续的反函数，那么.第四节高阶导数定义2.4.1函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍是x的函数,我们称f'(x)的导数为函数f(x)的二阶导数,记作y''

或,即y''=(y')'或.相应地,把y=f(x)的导数f'(x)称为函数y=f(x)的一阶导数.类似地有三阶,四阶,…,

n阶导数，分别记作y'''

,y(4),…,y(n)或,,…,.其中，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.

二、参数方程的二阶导数假设参数方程具有一阶导数，那么由可得到函数的二阶导数公式即一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0+

Δx问此薄片面积改变了多少?

设薄片边长为x,面积为A,那么A=x2,当x在x0取得增量Δx时,面积的增量为关于Δx

的线性主部故一、微分的概念1.引例第五节函数的微分及其应用称为函数在x0的微分

Δx→0时为高阶无穷小2.微分定义定义2.5.1设y=f(x)在x0处的某邻域内有定义,x+Δx是该邻域内的任意一点,如果函数在x0处的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示成Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是仅与x有关的常数,o(Δx)是Δx的高阶无穷小,那么称函数y=f(x)在点x0处可微.并称AΔx为函数y=f(x)在x0处的微分，记作dy,即dy=AΔx,且有A=f'(x),这样dy=f'(x)Δx.函数y=f(x)在点x0处可微的充要条件是函数y=f(x)在x0处可导.当Δy是曲线的纵坐标增量时;dy就是切线纵坐标对应的增量，当|Δx|很小时,在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.二、微分的几何意义三、根本初等函数的微分公式与

微分运算法那么1.根本初等函数的微分公式设函数都可