导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义【课标要求】1．理解导函数的概念；理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．【核心扫描】1．求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．导数的几何意义的综合应用．(重难点)切线

f′(x0)

(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的

．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是

．相应地，切线方程为

．斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)2．导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x处都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新函数，我们把这个函数称为函数f(x)的导函数，简称为导数．

注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数． (2)函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f′(x)． (3)函数y＝f(x)在x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x＝x0处的导数值．3．利用导数的几何意义求过某点的切线方程 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．拓展：若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行或是y轴；若f′(x0)>0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴．题型一已知过曲线上一点求切线方程【例1】

求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程． [思路探索]经验证P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋2x－1上，求出f(x)在x＝1处的导数f′(1)，由导数的几何意义即可写出曲线在P(1,2)处的切线方程．若题记中所兽给点(x0，y0)不在头曲线殿上，稍首先甜应设泥出切微点坐知标，营然后境根据搅导数锡的几香何意滚义列番出等竞式，耽求出驰切点谱坐标兽，进托而求跪出切盛线方竞程．题型炕三近求切愤点坐渔标【例3】已知抛涨物线y＝2x2＋1，求(1词)抛物众线上斤哪一第点的木切线汤的倾界斜角尊为45稻°？(2闲)抛物墓线上扁哪一驰点的猾切线盐平行猴于直融线4x－y－2＝0?(3麻)抛物延线上仇哪一弱点的秩切线深垂直绍于直涉线x＋8y－3＝0?【题后怨反思】解答雅此类超题目默时，落所给牧的直现线的漆倾斜腊角或查斜率宝是解甩题的众关键稳，由藏这些贝信息原得知辱函数遣在某币点处狭的导挑数，增进而菠可求羊此点织的横职坐标迫．解遗题时梁要注笔意解婶析几愧何知然识的婶应用杠，如悉直线虚的倾适斜角节与斜阶率的芒关系笋，平辽行，权垂直右等．方法傲技巧康数步形结吸合思夕想在谦导数舍的几烦何意饿义中的没应用数形结芹合解屿题就瓣是解赏决与其几何虾图形艳有关执的问蜻题时啊，将袭图形朝信息肾转换楼成代孟数的杜信息月，利渡用数也量特春征，诞将其昏转化佩为代肾数问邪题．农在解痰决与撞数量票有关行的问丢题时赤根据激数量疯结构密特征锁，构刷造出暂相应去的几短何图与形，懂即化佳为几已何问奔题，祖从而台利用陈数形茄的各屈自优理势尽尘快得忍到解聪题途偏径，游这对裁提高旁分析浪和解成决问桐题的笋能力屈将有随极大草的帮峡助．导数剩的几饶何意美义就务是切俱线的虫斜率左，涉雷及此更类问胁题可刻借助卧数形亚结合弟思想糕来解足决．【示例】如图所嘉示，再物体披运动帝的位脸移随痒时间辟变化兆的函雀数f(t)＝－t2＋4t＋5的图啄象，腥试根航据图封象，糟描述废、比解较曲柱线f(t)在t＝－1,灯2,托3,而4附近葛的变炸化情质况．[思路削分析]由于闲函数y＝f(t)在某耳处的仍导数眠，就革是曲福线y＝f(t)在某扑处的脸切线望的斜霉率，袭因此画可借银助图霞象上桑某点王切线且斜率萌的大详小来耻说明轿曲线赴在某璃点附旷近的歪变化饰情况狭．解用曲线f(t)在－1,和2,凑3,荐4处的牧切线顷斜率秧的大叶小来南刻画植曲线f(t)在－1,个2,葛3,粗4附近懂的变栗化情豆况．(1透)当t＝－1时，怨曲线f(t)在－1处的顷切线l1的斜氧率f′(－1)搂>0，在t＝－1附近续曲线课上升秤，即鼠函数f(t)在t＝t1附近讽单调侮递增妇．(2蒙)当t＝2时，刻曲线f(t)在2处的址切线l2平行梨于t轴，f′(好2)＝0，说熔明在t＝2附近乖曲线祸比较夜平坦稍，几罪乎没吸有升写降．(3捆)当t＝3,系4时，幸曲线f(t)在3,昆4处的教切线l3，l4的斜销率f′(3决)<肾0，f′(4舌)<兼0，说僻明在t＝3,播4附近昏曲线穿下降慕，即捧函数f(t)在3,绳4附近事都是亩单调呀递减惜的．但从