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文档简介

13.4

课题学习最短路径问题(Ⅰ)两点在一条直线异侧

问题一、如图，某天然气公司分别要向两个新建住宅小区提供天然气，需要在主天然气管道上修建一个供气站，问供气站修在主管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你的做法是什么？为什么？

P解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。探索新知思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.

●

B●Al问题2：

随着房地产的不断开发，新建小区层出不穷，天然气公司又遇到了新的问题:如图所示，问供气站修在主管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你的做法是什么？

并利用你所学的知识证明你的结论。小问题1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两个小区抽象为两个点，将主管道为一条直线．探索新知B··Al（1）从A点铺管道到直线l上某一点

，然后铺到B点；（2）在直线l的点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A点到主管道的点，再回到B点的路程之和；探索新知问题2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，在△AB′C′中，

AC′+B′C′>AB′，∴AC′+BC′

>AC+BC．即AC+BC最短．问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小

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