1998考研数学一真题详解

1998年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题一、填空题(此题共5小题,每题3分,满分15分.)(1)1x1x2limx2.x0(2)设z1f(xy)y(xy),f,拥有二阶连续导数,则2z.xxy(3)设L为椭圆x2y21,其周长记为a,则?L(2xy3x24y2)ds.43(4)设A为n阶矩阵,A0,A*为A的陪伴矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特点值,则(A*)2E必有特点值.(5)设平面地区D由曲线y1及直线y0,x1,xe2所围成,二维随机变量(X,Y)在x地区D上听从均匀散布,则(X,Y)对于X的边沿概率密度在x2处的值为_.二、选择题(此题共5小题,每题3分,共15分.)(1)设f(x)连续,则dxt2)dt()tf(x2dx0(A)xf(x2)(B)xf(x2)(C)2xf(x2)(D)2xf(x2)(2)函数f(x)(x2x2)x3x不行导点的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数yy(x)在随意点x处的增量yx,且当x0时,是x的高yx21阶无量小,y(0),则y(1)等于()(A)2(B)(C)e4(D)e4a1b1c1是满秩的,则直线xa3yb3zc3(4)设矩阵a2b2c2与直线a3b3c3a1a2b1b2c1c2xa1yb1zc1()a2a3b2b3c2c3(A)订交于一点(B)重合优选(C)平行但不重合(D)异面(5)设A、B是两个随机事件,且0P(A)1,P(B)0,P(B|A)P(B|A),则必有()(A)P(A|B)P(A|B)(B)P(A|B)P(A|B)(C)P(AB)P(A)P(B)(D)P(AB)P(A)P(B)三、(此题满分5分)求直线L:x1yz1在平面:xy2z10上的投影直线L0的方程,并求111L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(此题满分6分)确立常数,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(x4y2)ix2(x4y2)j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).五、(此题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确立仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还遇到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比率系数为k(k0).试成立y与v所知足的微分方程,并求出函数关系式y=yv.六、(此题满分7分)计算axdydz(za)2dxdy,此中为下半球面2x2y2的上侧,a为大(x2y21zaz2)2于零的常数.七、(此题满分6分)sinsin2sin求limnnn.n111nn2n八、(此题满分5分)优选设正项数列an单一减少,且(1)nan发散,试问级数(1)n能否收敛？并说n1n1an1明原因.九、(此题满分6分)设yf(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0(0,1),使得在区间0,x0上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间x,10上以yf(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f(x)2f(x)中的x0是独一的.,证明(1)x十、(此题满分6分)已知二次曲面方程x2ay2z22bxy2xz2yz4,能够经过正交变换xPz化为椭圆柱面方程2424,求a,b的值和正交矩阵P.十一、(此题满分4分)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx0有解向量,且Ak10,证明：向量组,A,L,Ak1是线性没关的.十二、(此题满分5分)已知线性方程组a11x1a12x2a1,2nx2n0,a21x1a22x2a2,2nx2n0,(I)an1x1an2x2an,2nx2n0的一个基础解系为(b11,b12,,b1,2n)T,(b21,b22,,b2,2n)T,,(bn1,bn2,,bn,2n)T,试写出线性方程组优选b11y1b12y2b1,2ny2n0,b21y1b22y2b2,2ny2n0,(II)bn1y1bn2y2bn,2ny2n0的通解,并说明原因.十三、(此题满分6分)设两个随机变量X,Y互相独立,且都听从均值为0、方差为1的正态散布,求随机变量2Y的方差.十四、(此题满分4分)从正态整体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,假如要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n起码应取多大？z1t2附表：标准正态散布表(z)e2dt2z1.281.6451.962.33(z)0.9000.9500.9750.990十五、(此题满分4分)设某次考试的学生成绩听从正态散布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得均匀成绩为66.5分,标准差为15分,问在明显性水平0.05下,能否能够以为此次考试全体考生的均匀成绩为70分？并给出查验过程.附表：t散布表P{t(n)tp(n)}pptp(n)0.950.975n351.68962.0301361.68832.0281优选1998年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题分析一、填空题(此题共5小题,每题3分,满分15分.)1(1)【答案】4【分析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无量小替代,原式lim1x1x21x1x22x0x1x1x2221x211x1x4lim1x1x2lim4x2x0x2x011x211x21:2lim22x2x2.x04方法2：采纳洛必达法例.1x1x211原式洛limlim21x21xx2x0x02x11lim1x1xlim1x1x洛lim21x21xx04x1x2x04xx04lim1121x21x1x04.4方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式睁开至x2项,1x11x1x2o1x2,1x11x1x2o2x2,282811x1x2o1x211x1x2o2x22进而原式lim28228x0x1x2ox2ox21lim412x2.x04(2)【答案】yf(xy)(xy)y(xy)优选【剖析】因为z1f(xy)y(xy),f,拥有二阶连续导数,利用混淆偏导数在连续x的条件下与求导序次没关,先求z或z均可,但不一样的选择可能影响计算的繁简.xy方法1：先求z.xz1f(xy)y(xy)1f(xy)y(xy)y(xy),xxxx2fx2z1yf(xy)y(xy)xyyx2f(xy)x1f(xy)x1(xy)y(xy)x(xy)y(xy)x2ffxx1f(xy)1f(xy)yf(xy)(xy)y(xy)xxyf(xy)(xy)y(xy).方法2：先求z.yzy1f(xy)y(xy)1f(xy)x(xy)y(xy)yxxf(xy)(xy)y(xy),2z2zf(xy)(xy)y(xy)xyyxxyf(xy)(xy)y(xy).方法3：对两项分别采纳不一样的次序更简单些：2z1f(xy)y(xy)xyxyxyx1(xy)xy(xy)xfxyxf(xy)y(xy)yyf(xy)(xy)y(xy).评注：此题中,f,中的中间变量均为一元,所以此题实质上是一元复合函数的求导,只需注意到对x求导时,y视为常数；对y求导时,x视为常数就能够了.(3)【答案】12a【分析】L对于x轴(y轴)对称,2xy对于y(对于x)为奇函数20.L优选又在L上,x2y213x24y212(3x24y2)ds12ds12a.43LL所以,原式2xyds(3x24y2)ds12a.LL【有关知识点】对称性：平面第一型曲线积分fxyds,设fx,y在l上连续,假如l关l,于y轴对称,l1为l上x0的部分,则有结论：2fx,yds,fx,y对于x为偶函数,fx,ydsl1l0，fx,y对于x为奇函数.近似地,假如l对于x轴对称,l2为l上y0的部分,则有结论：2fx,yds,fx,y对于y为偶函数,fx,ydsl2l0，fx,y对于y为奇函数.2(4)【答案】A1【分析】方法1：设A的对应于特点值的特点向量为,由特点向量的定义有A,(0).由A0,知0(假如0是A的特点值A0),将上式两头左乘A,得AAAAA,进而有A*A,(即A的特点值为A).将此式两头左乘A,得A*AA*2.2A22又E,所以A*2EA1,故(A*)2E的特点值为A1.方法2：由A0,A的特点值0(假如0是A的特点值A0),则A1有特点值优选A21,A的特点值为E的特点值为A；(A*)21.【有关知识点】1.矩阵特点值与特点向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特点值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.由为A的特点值可知,存在非零向量使A,两头左乘A1,得A1.因为0,故0,于是有A11.按特点值定义知1是A1的特点值.若AXX,则(AkE)XAXkX(k)X.即假如A的特点值,则AkE的特点值是k.2.矩阵A可逆的充要条件是A0,且A11A.A【答案】14y1(X,Y)的联合概率密度f(x,y).【分析】第一求yxD(x,y)|1xe2,0y1,(2,1x)2地区D的面积为SDe21dxe2lnx12.1xO122x1ef(x,y),(x,y)D,2其余.0,其次求对于X的边沿概率密度.当x1或xe2时,fX(x)0；当1xe2时,fX(x)f(x,y)dy1x1dy1.022x1故fX(2).4二、选择题(此题共5小题,每题3分,共15分.)【答案】(A)【分析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换ux2t2,t:0xu:x20,dudx2t22tdtdt1du,2t优选xtf(x2t2)dtux2t201dt0x2tf(u)2t011x22f(u)duf(u)du,x220dxt2)dt1dx2tf(x2f(u)dudx02dx01f(x2)x21f(x2)2xxf(x2),22选(A).F(t)(t)【有关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若f(x)dx,(t),(t)均一阶(t)可导,则F(t)(t)f(t)(t)f(t).【答案】(B)【分析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不行导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.f(x)(x2x2)xx21,当x0,1时f(x)可导,因此只需在x0,1处观察f(x)能否可导.在这些点我们分别观察其左、右导数.(x2x2)x(1x2),x1,由f(x)(x2x2)x(x21),1x0,(x2x2)x(1x2),0x1,(x2x2)x(x21),1x,f(1)limfxf1lim(x2x2)x(1x2)00,x1x1x1x1f(1)limfxf1lim(x2x2)x(1x2)00,x1x1x1x1即f(x)在x1处可导.又f(0)limfxf0(x2x2)x(x21)0xlimx2,x0x0f(0)limfxf0(x2x2)x(1x2)02,xlimxx0x0所以f(x)在x0处不行导.近似,函数f(x)在x1处亦不行导.所以f(x)只有2个不行导点,故应选(B).优选评注：此题也可利用以下结论进行判断：设函数f(x)xa(x),此中(x)在xa处连续,则f(x)在xa处可导的充要条件是(a)0.【答案】(D)【分析】由yyx,有yy.1x2x1x2x令x0,得是x的高阶无量小,则lim0,x0xlimylimyyyxlimlimx0xx01x2x01x2x0x1x2dyy即dx1x2.分别变量,得dy1dxyx2,两边积分,得lnyarctanxC,即yC1earctanx.代入初始条件故

y(0),得y0C1earctan0C1.所以,yearctanx.y(1)earctanxearctan1e4.x1【有关知识点】无量小的比较：设在同一个极限过程中,(x),(x)为无量小且存在极限lim(x)l,(x)(1)若l0,称(x),(x)在该极限过程中为同阶无量小；(2)若l1,称(x),(x)在该极限过程中为等价无量小,记为(x):(x)；(3)若l0,称在该极限过程中(x)是(x)的高阶无量小,记为(x)o(x).(x)若lim(x)

不存在(不为),称(x),(x)不行比较.(4)【答案】(A)【分析】设L1:xa3yb3zc3,L2:xa1yb1zc1,题设矩阵a1a2b1b2c1c2a2a3b2b3c2c3优选a1b1c1a2b2c2是满秩的,则由队列式的性质,可知a3b3c3a1b1c1a1a2b1b2c1c2a2b2c21行减2行，2行减3行a2a3b2b3c2c30,a3b3c3a3b3c3故向量组(a1a2,b1b2,c1c2)与(a2a3,b2b3,c2c3)线性没关,不然由线性有关的定义知,必定存在k1,k2,使得k1(a1a2,b1b2,c1c2)k2(a2a3,b2b3,c2c3)0,这样上边队列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.(a1a2,b1b2,c1c2)与(a2a3,b2b3,c2c3)分别为L1,L2的方向向量,由方向向量线性有关,两直线平行,可知L1,L2不平行.又由xa3yb3zc3得a1a2b1b2c1c2xa31yb3zc31,a1a2b1b21c2c1即xa3a1a2yb3b1b2zc3c1c2.a1a2b1b2c1c2相同由xa1yb1zc1,得a2a3b2b3c2c3xa11yb1zc11,a2a3b2b31c3c2即xa1a2a3yb3b2b3zc3c2c3,a2a3b2b3c2c3可见L1,L2均过点a2a1a3,b2b1b3,c2c1c3,故两直线订交于一点,选(A).【答案】C【剖析】由题设条件P(B|A)P(B|A),知A发生与A不发生条件下B发生的条件概率相等,即A发生不发生不影响B的发生概率,故A,B互相独立.而此题选项(A)和(B)是考虑P(A|B)与P(A|B)能否相等,选项(C)和(D)才是事件A与B能否独立.优选【分析】由条件概率公式及条件P(B|A)P(B|A),知PABPABPBPAB,PAPA1PA于是有可见应选(C).

PAB1PAPAPBPAB,PABPAPB.PAB【有关知识点】条件概率公式：PB|A.PA三、(此题满分5分)【分析】方法1：求直线L在平面上的投影L0：x1t,方法1：先求L与的交点N1.以L:yt,代入平面的方程,得z1t(1t)t2(1t)10t1.进而交点为N1(2,1,0)；再过直线L上点M0(1,0,1)作平面的垂线L:x1yz1,112x1t,即yt,z12t.并求L与平面的交点N2：(1t)(t)2(12t)10t1,3211).交点为N2(,,333N1与N2的连结线即为所求L0:x2y1z.421方法2：求L在平面上的投影线的最简方法是过L作垂直于平面的平面0,所求投影线就是平面与0的交线.平面0过直线L上的点(1,0,1)与不共线的向量l(1,1,1)(直线L的方向向量)及n(1,1,2)(平面的法向量)平行,于是0的方程是优选x1yz11110,即x3y2z10.112投影线为L0xy2z10,:3y2z10.x下边求L0绕y轴旋转一周所成的旋转曲面S的方程.为此,将L0写成参数y的方程：x2y,1(y1).2按参数式表示的旋转面方程得S的参数方程为x(2y)2(1(1y))2cos,2yy,z(2y)2(1(1y))2sin.221(y2消去得S的方程为x2z22y1),即4x217y24z22y10.2四、(此题满分6分)【分析】令P(x,y)2xy(x4y2),Q(x,y)x2(x4y2),则A(x,y)(P(x,y),Q(x,y))在单联通地区右半平面x0上为某二元函数u(x,y)的梯度PdxQdy在x0上原函数u(x,y)QP,x0.xy此中,Q2x(x4y2)x2(x4y2)14x3,xP2x(x4y2)2xy(x4y2)12y.y由QP,即知足xy2x(x4y2)x2(x4y2)14x32x(x4y2)2xy(x4y2)12y,4x(x4y2)(1)01.优选可见,当1时,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求u(x,y),采纳折线法,在x0半平面内任取一点,比方点(1,0)作为积分路径的起点,则依据积分与路径没关,有(x,y)2xydxx2dyCu(x,y)x4y2(1,0)x2x0yx22dyC(折线法)4dx4y1x00xyx20x4y2dyCyx22dyC(第一类换元法)0yx4(1)x22x2y1yyxydC2d2C0220yxyxx4(1)(1)x2x2yarctanC(基本积分公式)2x此中C为随意常数.【有关知识点】1.二元可微函数u(x,y)的梯度公式：graduui+uj.xy定理：设D为平面上的单连通地区,函数P(x,y)与Q(x,y)在D内连续且有连续的一阶偏导数,则以下六个命题等价：(1)QP,(x,y)D；xy(2)?LPdxQdy0,L为D内随意一条逐项圆滑的关闭曲线；PdxQdy仅与点A,B有关,与连结A,B什么样的分段圆滑曲线没关；LAB存在二元单值可微函数u(x,y),使duPdxQdy(即PdxQdy为某二元单值可微函数u(x,y)的全微分；微分方程PdxQdy0为全微分方程；(6)向量场Pi+Qj为某二元函数u(x,y)的梯度graduPi+Qj.优选换言之,此中任一组条件成即刻,其余五组条件皆成立.当条件成即刻,可用试图法或折线法求函数u(x,y).五、(此题满分6分)【分析】先成立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,此中重力大小：mg,浮力的大小：F浮B；阻力：kv,则由牛顿第二定律得d2ymgBgkv,yt00,vt00.mdt2(*)由dyd2ydvdvdydvdydtv,dt2dtdydtvdyvdv,代入(*)得y与v之间的微分方程dy1mvmgBkv,vy00.dv分别变量得两边积分得

mvdydv,mgBkvmvdydv,mgBkvmvBmm2gBmm2gkkkkydvmgBkvm(mgBkv)Bmm2gkmgBkvkkdvmm2gBmkdvkmgBkvmdvm(mgB)dvkk(mgBkv)mvm(mgB)(1)k(mgBkd(mgBkv)(第一类换元法)kkv)mvm(mgB)ln(mgBkv)C.kk2优选再依据初始条件v|y00,即m(mgB)C0m(mgB)k2ln(mgB)C2ln(mgB).k故所求y与v函数关系为ymmmgBlnmgBkvvk2mg.kB六、(此题满分7分)【分析】方法1：此题属于求第二类区面积分,且不属于关闭区面,则考虑增添一平面使被积,但因为被积函数分母中包括(x2y212,所以不可以立地区关闭后用高斯公式进行计算z2)x2y2a2,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：即加、减协助面1:0zIaxdydz(za)2dxdy1axdydz(z2dxdy.2221aa)2(xyz)增添协助面1:x2y2a2,其侧向下(因为为下半球面za2x2y2的上z0侧,而高斯公式要求是整个界限区面的外侧,这里我们取协助面的下侧,和的上侧构成整个界限区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有1212Iaòaxdydz(za)dxdyaaxdydz(za)dxdy111((ax)(za)2)dVa2dxdy.zaxD第一个积分前面加负号是因为我们取界限区面的内侧,第二个积分前面加负号是因为1的方向向下；此外由曲面片1在yoz平面投影面积为零,则axdydz0,而1上z0,1则za2a2.I1(a2(za))dVa2dxdy,aD此中为与1所围成的有界闭地区,D为1在xoy面上的投影D{(x,y)|x2y2a2}.进而,优选I13adv2zdva2dxdyaD13a2a322dardr0zdza2a2.00a2r2a3第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.I12a422ar1z20dra4a0d02a2r2a4r2)dr12dar1(a2a22001a42a2rr3)drd(aa001a2r2r4a1a2a2a4a42a42a240a241a42a43a4a2方法2：逐项计算：Iaxdydz(za)2dxdy1axdydz(z2dxdy(x2y21aa)z2)2xdydz1(za)2dxdyI1I2.a此中,I1xdydza2x2y2dydza2x2y2dydzDyzDyz2a2x2y2dydz,Dyz第一个负号是因为在x轴的正半空间地区的上侧方向与x轴反向；第二个负号是因为被积函数在x取负数.Dyz为在yoz平面上的投影域Dyz{(y,z)|y2z2a2,z0},用极坐标,得I12ar2rdr2da2021a2r2d(a2r2)a202(a23a2(0a3)2a3,r2)23033优选1a)2dxdy1a2x2y22I2(zadxdyaaDxy12a22aa2r2r2)rdrd(2aa002a(2a2r2ara2r2r3)dra02a2a2rdr2aara2r2dra00r3dra021r4aa2r2a2a30aa3402(a424a43,aa)6a34此中Dyz为在yoz平面上的投影域Dyz{(y,z)|y2z2a2}.故II1I2a3.2【有关知识点】高斯公式：设空间闭地区是由分片圆滑的闭曲面所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上拥有一阶连续偏导数,则有PQRdvPdydzQdzdxRdxdy,xyzò或PQRdvòPcosQcosRcos,xyzdS这里是的整个界限曲面的外侧,cos、cos、cos是在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(此题满分6分)【剖析】这是n项和式的极限,和式极限往常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式变换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法联合到一同来求极限.当各项分母均相同是n时,n项和式sinsin2sinnxnnnLnnnn是函数sinx在[0,1]1xdx求得极限limxn.区间上的一个积分和.于是可由定积分sin0nsinisinisinin,i【分析】因为nnn1,2,,n,n11ni优选nsininsininnsinin.于是,ni1n1i1n1i1ninsini1ni12limnlimsinxdx因为nni1nsin,ni1n0nsinin1ni1nsini12limnlimsinlimsinxdxni1n1nn1ni1nnni1n0依据夹逼定理知,limnsinin2.ni1n1i【有关知识点】夹逼准则：若存在N,当nN时,ynxnzn,且有limynlimzna,nn则limxna.n八、(此题满分5分)【分析】方法1：因正项数列an单一减罕有下界0,知极限liman存在,记为a,则ana且na0.又(1)nan发散,依据莱布尼茨鉴别法知

,必有a0(不然级数(1)nan收敛).n1又正项级数an单一减少,有

n1

n11n11,级数(1)n,而0an1

a1a1n1a1收敛.依据正项级数的比较鉴别法,知级数(1)n也收敛.n1an1n方法2：同方法1,可证明limana0.令bn1,则nan1limnbnlim111,an1a1nn依据根值鉴别法,知级数(1)n也收敛.n1an1【有关知识点】1.交织级数的莱布尼茨鉴别法：优选设交织级数(1)n1un知足：n1(1)unun1,n1,2,L;(2)limun0.n则(1)n1un收敛,且其和知足0(1)n1unu1,余项rnun1.n1n1反之,若交织级数(1)n1un发散,不过知足条件(1),则能够反证说明此级数必定不知足n1条件(2)limun0,所以有limun0.(不然级数(1)n1un收敛)nnn1正项级数的比较鉴别法：设un和vn都是正项级数,且limvnA,则n1n1nun(1)当0A时,un和vn同时收敛或同时发散；n1n1(2)当A0时,若un收敛,则vn收敛；若vn发散,则un发散；n1n1n1n1(3)当A时,若vn收敛,则un收敛；若un发散,则vn发散.n1n1n1n1根值鉴别法：时,un收敛，1n1设un0,则当limnun时,un发散，且limun0,1nn1n时,此鉴别法无效.1九、(此题满分6分)x0(0,1),使x0f(x0)11【分析】(1)要证f(x)dx；令(x)xf(x)f(t)dt,要证x0xx0(0,1),使(x0)0.能够对x(t)dt使用罗尔定理：(x)的原函数(x)00,优选(1)1111(x)dxxf(x)dx0(f(t)dt)dx00x分部11x11xxf(x)dx0,xf(x)dxf(t)dt00xx0又由f(x)在[0,1]连续(x)在[0,1]连续,(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导.依据罗尔定理,x0(0,1),使(x0)(x0)0.(2)由(x)xf(x)f(x)f(x)xf(x)2f(x)0,知(x)在(0,1)内单一增,故(1)中的x0是独一的.评注：若直接对(x)使用零点定理,会碰到麻烦：(0)10,(1)f(1)0.f(t)dt0当f(x)0时,对任何的x0(0,1)结论都成立；当f(x)0时,(0)0,但(1)0,若(1)0,则难以说明在(0,1)内存在x0.当直接对(x)用零点定理碰到麻烦时,不如对(x)的原函数使用罗尔定理.【有关知识点】1.罗尔定理：假如函数f(x)知足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)f(b),那么在(a,b)内起码有一点(ab),使得f()0.十、(此题满分6分)【分析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相像.由题设知,1b1二次曲面方程左端二次型对应矩阵为Aba1,则存在正交矩阵P,使得111000P1AP010记B,004优选即A与B相像.由相像矩阵有相同的特点值,知矩阵A有特点值0,1,4.进而,1a1014,A(b1)2a3,b1.B0.111进而,A131.111当10时,1111110EA131行分别加到，行020111uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur000于是得方程组(0EA)x0的同解方程组为x1x2x30,2x20.r(0EA)2,可知基础解系的个数为nr(0EA)321,故有1个自由未知量,选x1为自由未知量,取x11,解得基础解系为1(1,0,1)T.当21时,011011EA加到行011110uuuuuuuuuuuuuuuuur110011011行加到行，行交换,uuuuuuuuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuur110000于是得方程组(EA)x0的同解方程组为x2x30,x1x20.r(EA)2,可知基础解系的个数为nr(EA)321,故有1个自由未知量,选x1为自由未知量,取x11,解得基础解系为2(1,1,1)T.当34时,优选3111114EA111，行交换311uuuuuuuuuur1131131111111行的3,(-1)倍分别加到2，3行0242行加到3行024,uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuur024000于是得方程组(4EA)x0的同解方程组为x1x2x30,2x24x30.r(4EA)2,可知基础解系的个数为nr(4EA)321,故有1个自由未知量,选x2为自由未知量,取x22,解得基础解系为3(1,2,1)T.由实对称矩阵不一样特点值对应的特点向量互相正交,可知1,2,3互相正交.将1,2,3单位化,得11(1,0,1)T,12222(1,1,1)T,233333(1,2,1)T.3666111236所以所求正交矩阵为P012.36111236评注：利用相像的必需条件求参数时,aiibii是比较好用的一个关系式.亦可用EAEB比较同次方的系数来求参数.nn【有关知识点】1.特点值的性质：iaiii1i12.相像矩阵的性质：若矩阵A与B相像,则AB.十一、(此题满分4分)优选【分析】用线性没关的定义证明.设有常数0,1,,k1,使得01Ak1Ak10.()两边左乘Ak1,则有Ak101Ak1Ak10,即0Ak11Akk1A2(k1)0.上式中因Ak0,可知Ak1LA2k10,代入上式可得0Ak10.由题设Ak10,所以00.将00代入(),有1Ak1Ak10.两边左乘Ak2,则有Ak21Ak1Ak10,即1Ak1k1A2k30.相同,由Ak0,Ak1LA2k10,可得1Ak10.由题设Ak10,所以10.近似地可证明2k10,所以向量组,A,,Ak1是线性没关的.【有关知识点】向量组线性有关和线性没关的定义：存在一组不全为零的数k1,k2,L,km使k11k22Lkmm0,则称1,2,L,m线性有关；不然,称1,2,L,m线性没关．十二、(此题满分5分)【分析】(II)的通解为k11k22knn,此中,1(a11,a12,,a1,2n)T,2(a21,a22,,a2,2n)T,L,n(an1,an2,,an,2n)T,k1,k2,,kn为随意常数.原因：可记方程组(I)An2nX0,(II)Bn2nY0,(I),(II)的系数矩阵分别记为A,B,由于B的每一行都是T0.BTAn2nX0,AB的列是(I)的基础解系,故由基础解系的解故优选的定义知,BT的列向量是线性没关的,所以r(B)n.故基础解系所含向量的个数n2nr(A),得r(A)2nnn.所以,A的行向量线性没关.对ABT0两边取转置,有ABTT0,则有AT的列向量,即A的行向