高一数学人教版A版必修二课件：第二章　点、直线、平面之间的位置关系

章末复习课第二章点、直线、平面之间的位置关系1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.要点归纳题型探究达标检测学习目标要点归纳

主干梳理点点落实1.四个公理公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：过__________________的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_____.2.直线与直线的位置关系答案————共面直线异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点两点不在同一条直线上一条过该点的公共直线平行平行相交任何3.平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质答案

判定性质定义定理图形条件______________________________________________________结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥ba∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b(2)面面平行的判定与性质答案

判定性质定义定理图形条件______________________________________________，_________，_________α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥αα∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直答案

图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的______直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，___________a⊥α任意m∩n＝O答案判定a∥b，______b⊥α性质a⊥α，______a⊥ba⊥α，b⊥α______a⊥αb⊂αa∥b(2)平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条_____，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥αα⊥β，α∩β＝a，l⊂β，l⊥a垂线答案(3)空间中的垂直关系的内在联系.答案5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.锐角(或直角)(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在______________所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角.②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为__________.(3)二面角的有关概念①二面角：从一条直线和由这条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.返回答案平面内的射影90°和0°两个半平面垂直于棱类型一几何中共点、共线、共面问题题型探究

重点难点个个击破例1

如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E、F、G、H四点共面；证明

∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面.解析答案(2)GE与HF的交点在直线AC上.证明

∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.又EF∥GH，∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.反思与感悟⇒M在面ABC与面ACD的交线上，又面ABC∩面ACD＝AC⇒M∈AC.∴GE与HF的交点在直线AC上.解析答案反思与感悟1.证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合.2.证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上.3.证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.跟踪训练1如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证：O、M、A1三点共线.证明

∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1.又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，所以O、M、A1三点共线.解析答案类型二空间中的平行关系例2如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；证明

如图，取B1D1中点O，连接GO，OB，解析答案∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形.∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明

由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.解析答案反思与感悟反思与感悟1.判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.2.判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).跟踪训练2如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明

∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.解析答案例3如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；证明

在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.类型三空间中的垂直关系解析答案(2)PD⊥平面ABE.证明

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.解析答案反思与感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).反思与感悟反思与感悟(3)面面垂直的判定方法：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；解

如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，解析答案解

当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.解析答案(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.类型四空间角问题解析答案例4如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明：AE⊥平面PCD；证明在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.解析答案(3)求二面角A—PD—C的正弦值.解析答案反思与感悟解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.由已知，可得∠CAD＝30°.设AC＝a，可得在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，反思与感悟1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).3.二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法.反思与感悟解析答案跟踪训练4如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；解

∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.解析答案(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；解

如图，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.解析答案(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.解

∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.返回123达标检测

解析答案1.下列四个结论：(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行.(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.34解析

(1)两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.答案

A1234解析答案2.设有不同的直线m、n和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是(

)A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC.若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α1234解析选项A中当m∥α，n∥α时，m与n可以平行、相交、异面；选项B中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；选项C中，当α⊥β，m⊂α时，m与β可以垂直，也可以平行等.故选项A、B、C均不正确.D解析答案3.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点.求证：(1)C1O∥面AB1D1；证明

如图，连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，∴四边形AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1.1234解析答案(2)A1C⊥面AB1D1.证明

∵CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1CA，即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又B1D1∩AB1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1.1234解析答案12344.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.(1)证明：△PBC是直角三角形.解

因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，又PA∩A