2023年小升初数学易错专项突破《比例的认识及问题解决》

比例的认识【思维导图】【考点梳理】考点梳理知识要点高分妙招比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例比例的基本性质1.组成比例的四个数，叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。2.比例的基本性质:在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用式子表示:若a:b=c:d或(b,d不为0),则ad=bc。1.当比例的形式为时,a和d仍为外项,b和c仍为内项。2.根据比例的基本性质不仅能判断两个比是否能组成比例,还能解比例。3.根据一个比例，可以另外写出几个不同的比例，但内项的积始终和外项的积相等。解比例求比例中的未知项叫做解比例根据比例的基本性质,已知比例中的任何三项,就可以求出比例中的另外一个未知项。正比例与反比例1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用式子表示为:=k(一定)；2.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。用式子表示为:xy=k(一定)。1.正比例的判定:先判断两种量是不是相关的量,即一种量变化,另一种量也随着变化,再判断这两种量相对应的两个数的比值是否一定。正比例关系的图象是一条经过原点的直线。2.反比例的判定:先判断两种量是不是相关的量，再判断这两种量相对应的两个数的乘积是否一定。反比例关系的图象是一条光滑的曲线。正、反比例的应用解决正、反比例的实际问题的方法:1.找出题目中两种相关联的量2.判断它们是不是成正比例或反比例的关系,设未知数3.根据正比例或反比例的意义列出比例4.最后解比例5.检验6.作答根据题目中的数量关系,判断两种量是否成比例，列出对应关系解答。比例尺1.比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。2.公式:图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺。3.比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。比例尺是比,不能带计量单位。求比例尺时，图上距离和实际距离的单位要统一,比例尺一般写成前项为“1”或后项为“1”的形式。【典型例题】1．下面各组中的两个比可以组成比例是（）A．6：9和9：6 B．1.4：2和28：20 C．：和： D．7.5：1.3和5.7：3.1【分析】根据比例的意义，两内项之积等于两外项之积时，能组成比例。据此分析解答即可。【解答】解：A.6：9和9：66×6＝36，9×9＝81，所以不可以组成比例。B.1.4：2和28：201.4×20＝28，2×28＝56，所以不可以组成比例。C.：和：×＝，×＝，所以可以组成比例。D.7.5：1.3和5.7：3.17.5×3.1＝23.25，1.3×5.7＝7.41，所以不可以组成比例。故选：C。【点评】本题是一道有关比例的意义和基本性质的题目，熟练掌握比例的意义和基本性质是解题的关键。2.下列各式中（a、b均不为0），a和b成反比例的是（）A．a×8＝ B．9a＝6b C．a×﹣1÷b＝0 D．＝b【分析】要想判定a和b成什么比例关系，必须根据式子，进行推导．然后根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定哪一个选项a与b成反例关系．【解答】解：A选项：a×8＝，所以b：a＝40（一定），a与b成正比例；B选项：因为9a＝6b，所以a：b＝（一定），a与b成正比例；C选项：因为a×﹣1÷b＝0，所以a×b＝3（一定），a与b成反比例；D选项不成正比例也不成反比例．故选：C。【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．3.把线段比例尺改写成数值比例尺是（）A．1：20 B．1：200000 C．1：20000 D．【分析】依据线段比例尺的意义，即图上距离1厘米表示实际距离20千米，再据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可将线段比例尺转化成数值比例尺．【解答】解：由题意可知：此线段比例尺表示的是图上距离1厘米代表实际距离20千米又因20千米＝2000000厘米则1厘米：2000000厘米＝1：2000000；故选：D．【点评】此题主要考查线段比例尺和数值比例尺的互化，解答时要注意单位的换算．4.10个小星星可以换4面小红旗，淘气用x个小星星换了18面小红旗.那么下列比例中，不符合题意的是（）A．10：4＝x：18 B．10：x＝4：18 C．4：10＝18：x D．4：x＝10：18【分析】10个小星星可以换4面小红旗，可知小星星的个数与小红旗的面数成正比例，据此列出的比例为10：4＝x：18，再根据比例的基本性质，看各选项中哪一个比例的外项积与内项积与10：4＝x：18的外项积和内项积不一致的即为不符合题意的。【解答】解：根据题意可得：10：4＝x：18，所以10×18＝4x，所以A正确；B.10：x＝4：18，所以10×18＝4x，所以B正确；C.4：10＝18：x，所以10×18＝4x，所以C正确；D.因为4：x＝10：18，所以4×18＝10x，所以D不符题意。故选：D。【点评】根据题意列出比例式，再根据比例的基本性质判断即可解答。5.用4、3、15和X组成比例，X最小是，最大是。【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先求出两个最大小的积，即可求得X的最小值，再求两个最大数的积，即可求得X的最大值。【解答】解：3×4÷15＝12÷15＝4×15÷3＝60÷3＝20答：X最小是，最大是20。故答案为：；20。【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用。6．在一个比例中，两个外项的积加上两个内项的积结果是160，其中一个外项是20，另一个外项是。【分析】由比例的基本性质得，两个外项的积：160÷2＝80，由于一个外项是20，所以另一个外项是80÷20＝4。【解答】解：160÷2＝8080÷20＝4答：另一个外项是4。故答案为：4。【点评】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。7．如果m＝n，那么，m：n＝，m和n成比例．【分析】如果m＝n，则等式两边除以n得m：n＝，因为m和n的比值为一个定值，结合正比例关系的定义可知：m和n成正比例。【解答】解：因为m＝n，所以m：n＝，又因为m和n的比值为一个定值，所以m和n成正比例。故答案为：；正。【点评】考查等式的性质，辨识成正比例的量与成反比例的量。8．小明骑自行车从家到学校，他骑车的速度和所需时间成比例；分数值一定，分子与分母成比例．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【解答】解：速度×时间＝路程（一定）；即从家到学校的路程不变，也就是速度与时间的乘积是一定的．所以他骑车的速度和所需时间成反比例关系．分子÷分母＝分数值（一定）；是比值一定，即分数值一定，它的分子和分母成正比例．故答案为：反；正．【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．9.某天下午5时，向阳路小学“数学实验”研究组成员同时测得两棵树的高度和它们影子的长度，还测得一幢楼房的影子长度，数据如图所示（单位：米）。这幢楼房高米。【分析】因为3：4.5＝2：3，所以同时同地，每米物体的影长一定，影子的长度和物体的长度成正比例，由此设出未知数，列比例解答即可。【解答】解：因为3：4.5＝2：3，所以同时同地，每米物体的影长一定，影子的长度和物体的长度成正比例，设这幢楼高x米，根据题意列比例得：2：3＝x：363x＝2×363x＝72x＝24答：这幢楼房高24米。【点评】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。10.一种7.5mm长的机器零件，画在图上长为15cm，则这张图纸的比例尺是．【分析】因为比例尺＝图上距离：实际距离，所以把数据代入，再利用比的基本性质化简即可．【解答】解：15cm：7.5mm，＝150mm：7.5mm，＝150：7.5，＝（150÷7.5）：（7.5÷7.5），＝20：1，答：这张图纸的比例尺是20：1，故答案为：20：1．【点评】本题主要是利用比例尺的意义与比的基本性质解决问题，注意图上距离与实际距离的单位要统一．11.解比例。5：9＝x：36：x＝10：【分析】（1）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时除以9即可；（2）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时除以10即可；（3）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时除以3.5即可。【解答】解：（1）5：9＝x：369x＝5×369x＝1809x÷9＝180÷9x＝20（2）：x＝10：10x＝×10x＝10x÷10＝÷10x＝（3）3.5x＝10.5×2.43.5x＝25.23.5x÷3.5＝25.2÷3.5x＝7.2【点评】此题主要考查了解比例问题，注意比例的基本性质的应用。12.一个精密零件长4毫米，宽2.5毫米。请按10：1的比例尺画在图纸上，长宽各应画多长？请在图中画出来，并标出长和宽。（小方格的边长是1cm）【分析】要求图上距离是多少毫米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，分别计算，然后画图即可。【解答】解：长：4×10＝40（毫米）40毫米＝4厘米宽：2.5×10＝25（毫米）25毫米＝2.5厘米作图如下：【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可。13.小浩从图书馆借了一本《动物世界》，计划每天看20页，18天看完。实际12天就看完了，他平均每天看多少页？（用比例知识解答）【分析】根据题意可知：原计划每天看书的页数×看完本书需要的时间＝总页数（一定），即原计划每天看书的页数和看完本书需要的时间的乘积一定，成反比例关系，设他平均每天看x页，据此列比例解答。【解答】解：设他平均每天看x页。12x＝20×1812x＝360x＝30答：他平均每天看30页。【点评】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。14.某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。每天烧煤的质量/吨03691520…可烧的时间/天030151064.5…（1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。（2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？【分析】（1）根据每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积判断。（2）用这批煤的总质量除以每天烧煤的质量就是烧的天数。【解答】解：（1）3×30＝6×15＝9×10＝15×6＝20×4.5＝90每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。（2）30×3÷5＝18（天）答：这批煤可烧18天。【点评】本题考查了成反比例关系的判定及根据成反比例关系解决问题，关键是对题目中数量关系的分析。15.在比例尺是1：200000的地图上。量得A市到B市的公路长17.5厘米，两辆车分别从两市同时出发，沿公路相向而行。快车每小时行驶80千米。慢车每小时行驶60千米。多长时间后两车相遇？【分析】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两市之间的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答。【解答】解：17.5÷＝3500000（厘米）3500000厘米＝35千米35÷（80+60）＝35÷140＝0.25（小时）答：0.25小时后两车相遇。【点评】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及相遇问题的基本数量关系及应用。16．文化广场是一个长25米、宽20米的长方形，