2016高三理数数学独家秘笈二轮复习及高考冲刺第4补充讲义

用放缩法处理数列和不等问一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理例1．正数数列an的前n项的和Sn，满足 an1，试求数列an的通 设b ，数列b的前n项的和为B，求证：Baan

变式训练1：设数列an的前n项的和

43

12n12，n1, S（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设TnSn

，n,,，证：i .222．等比数列aa1nSSSS a2a

1n设bn1n

前n项的和为TnTn3变式训练2：已知数列a满足

1(n 求数列an的通

若数列b滿足4b114b214bn1a1)bn(nN*，证明：数列b n1a1a2ann(nN*

放缩后为“差比”数列，再求3．已知数列{a}

1，

n

3n

放缩后成等差数列，再求4．已知各项均为正数的数列{a}的前n项和为S,且a2a2S a2 求证：Sn n1222

Sn1强化训练f(x)1x2bx3，已知不论f(cos0 f(2sin0.对于正数列annSf(a(nN 求实数b的值；（II）求数列an的通

nN，且数列cnT，试比较T1

n1 n

已知数列{a}的前n项和SS2a1)n 写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项证明：对任意的整数m4

11

a2

1,nN 求证：（1）对于nN恒有 a成立；（2）当n2且n a a

1成立；（3）1

1

nn12

22006

技巧积累 1 1

C1

(n1)n(n

n(n

n(nn1Tr

Crnn

r!(nr)!

1

r(r

r

1(rr(11)n11n

2

3

n(n

2n(2n

2n1 1nnn1nnnnn(7)

n)

n

n2nn

2n3

(2n3)

1

1 k(n1

n1

kn

n(n1

k1

n1k

1 22n1 2n22n1 2nn2n(11)1n2n

2n1) nn1 n22(2n1)2

(2n1)(2n

(2n1)(2n

2n(2n1)(2n1

2n1

(n2n1

nn(n1)(nnn(n1)(nn(nn(nn1 n n

nnnn1n1 n2

nn nn(14)

2

3

1)2

1

32n1

k

(k2)1n(nn n1n(nni2 j2 i2i2 j2(i(ij)(i21 j2i21 j2i答案与提示一、先求和再放1.解：（1）由已知得

1)2n2

1)2

a2

，所以

2)0，又因为

为正nnnn所以an2n

a11，得a11nb n

1

)，所以an

(2n1)(2n

22n

2nB1(1111 )1 2n 2n 2(2n n+1

解:(Ⅰ)由Sn=an－×2+,n=1,2,3，„,①得

a1－

所以 n

Sn－1an－1×2 4

(an－an－1)－×(2－2),n=2,3, 整理得:a+2n=4(a+2n－1),n=2,3,„,因而数列{a+2na1+2=44的等比数列,即a+2n=4×4n－14nn=1,2,3,因而a4n－2n 4 1 4 1

×(4－2)－

=

=3

Tn=S=

=×(

— 3

23

2

Ti

2(2i－1

)2

×( 2

2n11)<二、先放缩再求2.AA

a，A

a，a

a，∴公比qa91

1

∴

(1)n2

bn

1

n2n

4n

SAqnA猜想∴Bbb

3（I）解：

1(nan112(an1an1是以a112为首项，2

12n

a221(nnn（II）证法一：4k114k21...4kn1a1)knnn4(k1k2kn)n2nkn ②－①，得2(bn11n1)bn1nbn

即

b0,

b(nN*b

2k 2k （III）证明：k ,k1,2,...,

2k1

1) 2a1a2...ann

2k 1k ,k1,2,...,

2k1 2(2k1 3.2k2k 3a1a2...

n1(11...

1)n1(11)n1

3

n1a1a2...ann(nN

n

所以 与a同号又因为a10所以

0

即

n

0，即an1

．所以数列{an}为递增数列，所以

即

na

1

n1 n

nSn222

2Sn2223

12

1

1

n1

2n1，所以

3n1故得

3n13．放缩后成等差数列，再求4．解：（1）在条件中，令n1，得a2a2S2a，a0a1 nn由条件a2nn

，上述两式相减，注意到

Sn(an1an)(an1an1)

an

an1an

∴an1an

an11(n1)n，

n(n2n(n n2(n

a2 所以Sn 2

4n(nn(n2n(n2

2n2（2）因为n

n1，所

1221222

n(n22232n2n2 1 n(n22232n22222222 2222222

强化训练解：(Ⅰ)b1（利用函数值

2n2（Ⅲ）∵c

1

(2n

22n 2n3Tccc„

11

2 2n3 ⑵由已知得：aS 2a(1)n

(1)n1 a

2,

2

故数列 }是以a 为首项,公比为2的等比数列 故 2( ∴a2[2n2(1)n ∴数列{a}的通 为：a2[2n2(1)n]

1

3

222 23 2m2 们把上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n项求和，由于-1与1交 22 23

123 124

122

即可求和。这里需要对m进行分类讨论，（1）当m为偶数(m41

1(

1)

113(1

1 2

131(1 1

13 （2）当m是奇数(m4m11

11

所以对任意整数m4，有

1

78n n1 n n n n1 n n n（2）由 a2a1得： 1n n1 n n n n1 n n n„„a21a1(a1an1anan1a2a11

an11anan1a2a1(a11，又a1