第二章直线和圆的方程单元必刷卷（培优卷）（全解全析）

第二章直线和圆的方程同步单元必刷卷（培优卷）全解全析1．C【分析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围.【详解】易得斜率必存在，设的倾斜角为且，由可得斜率，因为，所以，所以，即，所以故选：C2．C【分析】利用韦达定理求出，由可求得，再由平行线间的距离公式得到，即可求出两条平行直线之间的距离的最大值和最小值.【详解】因为a，b是方程的两个实根，所以，，所以．又，所以，所以．由于直线与直线平行，所以它们之间的距离，所以，即所求距离的最大值和最小值分别为，．故选：C．3．D【分析】设直线l斜率为有整理求值，应用点斜式写出直线方程即可.【详解】由题设，、的斜率分别为、，若直线l斜率为，所以，整理得，可得或，又直线l过点，则或，即或.故选：D4．A【分析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解.【详解】过点且与直线垂直的直线为：，已知点在该直线上，所以，即，所以点的轨迹方程为，又圆：，所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为：.故A，B，D错误.故选：A.5．A【分析】利用数形结合，由即可得出的取值范围.【详解】圆C方程：，圆心，因为点在圆内，所以，即，解得：，如图所示：设，则，此时，，此时是等腰直角三角形，则圆心到直线的距离，则有，即，解得：或，综上：故选：A6．D【分析】首先求出过点的切线方程，注意分斜率存在和不存在两种情况讨论，即可判断A,再利用勾股定理求出切线长，即可判断C,在以为圆心，以为直径的圆上，两圆方程作差即可求出直线的方程，由此判断B,由圆心到直线的距离求出直线斜率，即可求出直线方程,进而求解D.【详解】对于A：当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，圆心到直线的距离，所以是过点的圆的切线，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为，过点的圆的切线方程为或，故A错误，对于B;在以为圆心，以为直径的圆，直线为圆与圆的公共弦，两圆方程相减得：，即直线的方程为，故B错误，对于C;，，故C错误，对于D：过点的直线与圆相交于，两点，若，则，圆心到直线的距离，显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，，解得或7，直线方程为或，故D正确，故选：D7．C【分析】由题意可知两条动直线经过定点、，且始终垂直，有，利用勾股定理求出，再利用基本不等式求得答案.【详解】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过定点，因为，所以动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，则有，，故（当且仅当时取“”，故选：C．8．B【分析】设，利用面积相等得到，再根据即可求得的取值范围.【详解】设，则，由可知，∵AC垂直平分PQ，∴，∴当时，PQ取得最小值，又，∴，∴．故选：B．.9．BD【分析】对A，圆心到x轴的距离等于半径判断即可；对B，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D，根据直线过定点以及在圆C1内判断即可.【详解】因为，，对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误；对B，当时，，两圆相离，故B正确；对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD10．BC【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为，A错误；B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确；C选项，首先根据点在圆外得到不等式，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半径，从而得到C选项正确；D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围.【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为，代入，解得：，则直线l的方程为，当截距不为0时，设直线l的方程为，代入，解得：，此时直线l的方程为，综上：直线l的方程为或.故A错误；B：圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，刚好为半径的一半，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故B正确；C：已知，O为坐标原点，点是圆外一点，所以，直线m的方程是，则圆心到直线m的距离为，所以直线m与圆E相交，故C正确；D：直线整理为，即过定点，如图所示，，，要想直线与以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或，故D错误.故选：BC11．BC【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D；【详解】解：圆的圆心坐标为，所以圆心的轨迹方程为，故A错误；直线，令，解得，即直线恒过点，当时圆，圆心为，半径，又，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故B正确；对于C：若直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离为定值，所以，解得，故C正确；对于D：当时直线，圆心到直线的距离，当时，此时直线与圆不相切，故D错误；故选：BC12．ABD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得，由此可知AB正确；设，可知方程为：，由可求得点坐标，由此可得方程，知C正确；将代入方程，根据直线过定点的求法可知D正确.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，对于AB，四边形的面积，则当最短时，四边形的面积最小，点到直线的距离，，此时，A正确；又，此时，B正确；对于C，设，，，则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，又为两切线交点，，则两点坐标满足方程：，即方程为：；当最小时，，直线方程为：，由得：，即，方程为：，即，C错误；对于D，由C知：方程为：；又，即，方程可整理为：，由得：，过定点，D正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为：；过圆外一点作圆的两条切线，切点弦所在直线方程为：.13．【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.故答案为：.14．##【分析】先求出点关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】设点关于直线的对称点，则的中点为，,故解得，由知军营所在区域中心为，要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离为，“将军饮马”的最短总路程为，故答案为：15．【分析】设出直线方程，然后表示出圆心到该直线的距离，然后求出距离的范围，然后用距离表示出面积，即可得到答案.【详解】因为，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设其方程为，即，所以圆心到该直线的距离为，因为，所以，故答案为：16．【分析】建立坐标系，根据重心坐标公式求出重心G，利用光的反射与轴对称的性质确定的所在直线斜率，结合斜率公式进行求解即可【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，可得，所以直线BC的方程为，即x＋y－1=0，△ABC的重心G的坐标为，设点，M，N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点，连接NR，QM，所以，设，则有解得，，所以，由光的反射原理可知，M，Q，R，N四点共线，所以，即，解得或(舍去)，此时，故答案为：17．(1)，(2)【分析】（1）由题意，明确直线与已知两点之间的关系，求其中一点关于直线的对称点，求对称点与另外一点之间的距离，可得答案；（2）根据三角形的三边关系，结合两直线求交点以及两点之间距离，可得答案.（1）可判断、在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为，．则有，．解得，．由两点式求得直线的方程为，直线与的交点可求得为，．由平面几何知识可知最小．（2）由两点式求得直线的方程为，即．直线与的交点可求得为，它使最大．18．(1)或(2)且【分析】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程.（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围.（1）当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为，所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余，所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，综上，直线l的方程为或.（2）由（1）知直线与圆相交于､两点，则斜率必存在，设，则，所以，整理得，当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为：，由，得，即切点，对于的轨迹方程，当时，，所以，且，综上，的轨迹方程为且，19．(1)(2)(3)【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程；（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为；（3）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，进而可得最小值.（1）由，，得直线的斜率为，线段中点，所以，直线的方程为，即，联立，解得，即，所以半径，所以圆的方程为；（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，设点关于直线的对称点，则直线与直线垂直，且线段的中点在上，即，解得，所以，所以直线即为直线，且，直线方程为，即；（3）由已知点在直线上，设，则，所以当时，取最小值为.20．(1)3(2)(3)能找到一点，点坐标为【分析】（1）利用平行线间的距离公式即可求得答案;（2）利用两直线的夹角公式，即可求得答案；（3）设点，根据其满足的条件列出方程，解方程组可得答案.（1）由于与的距离是，故将化为，故，解得或（舍去），故；（2）由题意知，两直线既不平行也不垂直,故设与的夹角，，则，故，故；（3）存在满足条件的点，；理由：设点，若点满足条件②，则点在与、平行的直线：上，且，解得或．所以或．若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，所以或，又在第一象限，所以不合题意，解方程组得（舍去）；解方程组得，所以为同时满足三个条件的点.21．(1)(2)或(3)存在点或，使为正三角形【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程；（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果；（3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标.（1）设圆心坐标为，则，解得：，圆的半径，圆的方程为：.（2）为直角三角形，，，则圆心到直线的距离；当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；当直线斜率存在时，可设，即，，解得：，，即；综上所述：直线的方程为或.（3）假设在直线存在点，使为正三角形，，，设，，解得：或，存在点或，使为正三角形.22．(1)(2)直线过定点【分析】（1）设点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程；（2）设为圆上任意一点，先证明出圆在点处的切线方程为，设点、、，可写出直线、的方程，将点的坐标