高等数学教学教学教案（同济六版）11-2 对坐标地曲线积分

第二讲对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义变力沿曲线作功分割:求和:取极限:取近似:力

设一质点在xoy面内从点A沿曲线L移动到点B变力所作的功?一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义定义类似地,如果总存在,则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分,记作设L为xOy面内从点A到点B的一条有向曲线弧,函数在L上有界.在L上沿L的方向任意一点列把L分成n个有向小弧段设点为上任意取定小弧段长度的最大值时,则称此极限为函数在有向曲线弧L上积分,记作的点,如果当各的极限总存在,对坐标x的曲线注应用中经常出现组合形式的第二类曲线积分(1)(2)函数P(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续时,存在.通常记为或其中即其中叫做被积函数,叫做积分弧段.以上两个积分也称为第二类曲线积分.函数在空间有向曲线弧Γ上对坐标的曲线积分通常将记作对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系线性性质可加性与方向有关对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系设P(x,y)、Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续,定理则曲线积分且存在,L的参数方程为（t=α对应L的起点，t=β对应L的终点）其中在以α及β为端点的闭区间上具有连续导数,且注(1)对坐标的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!(2)化为定积分中的三个变化在上述公式中,起点对应下限α,终点对应上限β.L[α,β]或[β,α]P(x,y)Q(x,y)(3)口诀:变量参数化、一小二起下.(4)dxdy特例(1)L：(2)L：推广空间曲线弧Γ：（x=a对应L的起点，x=b

对应L的终点）（y=c对应L的起点，y=d

对应L的终点）（t=α对应Γ的起点，t=β对应Γ的终点）对坐标的曲线积分计算思路明确L的方程化为定积分三变、一注意积分弧段L被积函数积分元素一点注意起点对应下限计算定积分[α,β]或[β,α]明确选择参数方程确定起点和终点对应的参数值对坐标的曲线积分解题思路对坐标的曲线积分解题模板L:…明确选择确定…t由α变到β起点终点对应的参数值必写!明确L的方程化为定积分计算定积分由得…L的方程为:…∴L的方程为:…计算其中L是抛物线上点到点的一段弧.例1例2其中L

为计算(1)按逆时针方向绕行的上半圆周.(2)从点沿x轴到点的直线段.注正确选择L的方程对计算的繁简非常重要!注被积函数相同、起点和终点也相同，但积分路径不同，积分值可能不相等!例3计算其中L为(1)抛物线上从到的一段弧.(2)抛物线上从到的一段弧.(3)有向折线坐标依次为(0,0),(1,0),(1,1).注积分路径不同，积分值可能相等!例4到点的直线段AB.计算其中Γ为从点对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系变力沿曲线作功例5xoy设一个质点在M(x,y)处受到力的作用,沿椭圆的大小与M到原点的距离成正比,的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)按逆时针方向移动到点B(0,b),求力所作的功W.对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点BL的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点BL的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B的方向余弦L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点BL的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B的方向余弦L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点BL的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点BL的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(