2021-2022学年云南省文山州高二年级下册学期期末学业水平质量监测数学试题含答案

2021-2022学年云南省文山州高二下学期期末学业水平质量监测数学

试题

一、单选题

1.设集合〃={乂3><7},%={》2<》<6},则A/cN=（）

A{x\2<x<3}B{引3<x<6}

C{x\2<x<7}D<x<7}

【答案】B

【分析】根据交集定义直接求解.

【详解】'''M={x|3土7},N={x2<x<6},.1A/PIN={x34x<6},

故选:B.

2.已知椁Tz=3+2i,则z=（）

-l--i-l+-i

A.2B.2

-+i---i

C.2D.2

【答案】C

【分析】根据复数模长运算可直接化简等式求得结果.

3

【详解】册一心^^,,2』+2i,

故选：C.

3.设命题P：Vx>0,/-x-l>0的否定为（）

2

A3x0<0,Xo-x（）-l<0BVx<0,x-x-l>0

C>0,xj——14°DVx>0,x2—x—1<0

【答案】C

【分析】含有量词的命题的否定，全称量词改为存在量词，否定结论.

【详解】因为含有量词的命题的否定，全称量词改为存在量词，否定结论，

所以命题“"'。，/-'-2。的否定为叫）〉。/：一/7,。，

故选:C.

4.2021年东京奥运会我们国家一共获得88枚奖牌，跳水队参加的项目有游泳、跳水、花样游泳，参

赛人数分别为现采用分层抽样的方法抽取24人进行调研，则游泳项目抽取（）

A.15人B.5人C.30人D.8人

【答案】A

【分析】根据分层抽样原则直接计算即可.

241〃1

--------=-30x—=15

【详解】由题意知：抽样比为30+10+82,.•.游泳项目应抽取2人.

故选：A.

5.在I》）的展开式中，x"的系数是（）

A.-10B.-20C.10D.20

【答案】D

【分析】根据二项式定理可得展开式通项，将，=2代入即可求得结果.

M展开式通项广775"”

【详解】

令一5=-3,即/*=2得：砥/=20x3,即x-3的系数为20.

故选：D.

6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为工和包，圆心角

分别为a,P,若其，则夕=（）

712兀3兀兀

A.3B.3C.2D.2

【答案】C

【分析】由展开图圆心角之和为如及面积比为3,建立方程，解出心

S.=-al2S,=-/7/2

【详解】设甲、乙两个圆锥母线长为，，两侧面展开图扇形面积分别为2,-2

2=4=3a=—

故面积之比,2B，又因为a+〃=2兀，所以2.

故选：C.

7.已知数列｛见｝满足可"°,则是｛%｝为等差数列的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【分析】举反例结合等差数列的定义可判断充分性不成立，根据等差数列的通项关系可确定必要性

成立，即可得结论.

[详解]解：例如4=1吗=T，“2=3,%=-3,满足q+%=%+%,但是%一卬=_6,

不符合等差数列的定义，故推不出｛%｝为等差数列：

若｛“"｝为等差数列，设公差为d,所以

q+%=a\+41+3d=2q+3〃,。2+%=Q[+d+q+2d=2q+3d

贝产+4=a2+a3

所以q+%=%+%是｛”“｝为等差数列的必要条件但不是充分条件

故选：B.

8.一个容器装有细沙灰m，,细沙从容器底部一个细微的小孔漏出，fmin后剩余的细沙量（单位：

cm'）为y=be：8min后发现容器内还有原来的7细沙，要使容器内的细沙只有开始的W,则需

要经过（）

A.32minB.12minc.18minD.lOmin

【答案】B

—b=be~Sa,[4ln2）y=—b

【分析】由4可求得。，进而得到歹=加，代入8即可求得结果.

—b=be~Sa?.-8a=ln—=-2In2a=—ln2,（~4ln2｝

【详解】由题意知：4,4解得：4,^y=be,

:,-b=be'-评）In2）/=In：=-3In2

易知函数为减函数，8,I4J8,解得：£=12,

即要使容器内的细沙只有开始的耳，需要经过12min.

故选：B.

二、多选题

9.下列各式中，值为5的是（）

2

A.2sin15'cos15B.l-2sin15

■tan15。

C.sin215°+cos215°D.1-tan215"

【答案】AD

【分析】利用二倍角公式和同角三角函数关系依次判断各个选项即可.

2sin15ucos15"=sin30°=—

【详解】对于A,2,A正确：

l-2sin215c=cos30°=—

对于B,2,B错误；

22

对于C,sin150+cos15°=l(c错误；

V3tanl50G2tan150£…6>6\

--------；=7=tan30=——x——=—

对于D,1-tan2150-----21-tan-150-----2----------------232,D正确.

故选：AD.

10.抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件”=｛两次的点数均为偶数｝，8=｛两次的点数之和小于7｝,

则()

「(/)=：2(8)=上

A.4B.一12

17

()

C.PAB=6D.尸⑻与

【答案】AB

【分析】利用古典概率模型求解即可.

【详解】由题可得基本事件有：

{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)),

共有36个，

记事件”=｛两次的点数均为偶数｝,共包含9个样本点,

则尸A正确；

8=｛两次的点数之和小于7、,

事件8包含的基本事件有：0>1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（2,1）,（2,2）,（2,3）^

（2,4）,（3』）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（5,1）,共匕个，

.■.P（S）=—=—

3612,B正确，D错误，：

对于C,事件包含的基本事件有:（2,2），（2,4）,（4,2）,

共3个，3612c错误.

故选:AB.

11.下列命题正确的是（）

A.垂直于同一个平面的两平面平行

B.两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等

C.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行

D.一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行

【答案】BC

【分析】AD考虑包含、相交、平行的可能即可判断：BC由性质定理判断即可.

【详解】对A,垂直于同一个平面的两平面可能平行，也可能相交，A错；

对B,两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等（性质推论），B对；

对C,一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行（判定定理），C对；

对D,一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行或在另一平面内，D错.

故选：BC.

12.已知定义在R上的函数/（X）满足/（1）=一/（'+°6），/（-1）=1，/（（））=-2,且,卜力为奇

函数，则（）

A./（X）为奇函数B./（X）为偶函数

C./G）是周期为3的周期函数D./（0）+/（1）+--+/（2021）=0

【答案】BCD

【分析】根据题设条件得出函数的奇偶性，对称性，周期性即可求解.

【详解】函数/G）的定义域为R,且则/G）不会是奇函数，A错误;

定义在R上的函数/（X）满足/（1）=-小+0.5）,变形可得"）一5）,

则/（-）-小号则有止x）=e

即函数/（X）为偶函数，B正确；

若函数/G）满足""一""I,

则有j'H〉/（x）,

即函数/（X）是周期为3的周期函数，

/G）是偶函数且其周期为3,

则/（-1）=/0）=1，/（2）=/（-1）=1,

则/（0）+/。）+/（2）=0,

故/（。）+/（1）+…+/（2021）=[/（0）+“l）+/（2）]x674=0,D正确

故选:BCD.

三、填空题

13.已知向量£=（一1，1）3=（1，°），工=£+癌.若5_10则卜卜.

【答案】1

【分析】根据平面向量的坐标运算数量积的坐标运算即可得）的坐标，再根据向量的模的坐标公式

求解即可.

【详解】因为"=（71）石=（1，°）,所以5=。+乩=（-1,1）+上（1,0）=（-1+4,1）,

又打I,所以小？=（1,O）-（T+/,1）=T+"O=O,解得斤=1,

所以3=（0,1）,则同=府+尸=1.

故答案为：1.

14.已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（2，15），（3,"?）,（4,30）,（5,35）,根据上述数据

可得V关于x的回归直线方程夕=7X+0.5,则实数〃?=

【答案】20

【分析】由回归直线经过点（只歹）即可计算.

―2+3+4+5

x-=3.5因为回归直线？=7x+0.5一定经过点（只歹），所以

【详解】由题中数据可知4

15+加+30+35

y==25=加=20

4

故答案为：20.

15.已知函数小）=^3+硕0＞。，°＜夕对的部分图象如图所示,g（x）=/（x）_*则

【分析】数形结合，确定/（x）J=log2X图象交点的个数即可求解.

313兀兀37r2兀

—I------------——T=Tt=—

【详解】由图可得41234,所以。解得啰=2,

7in

0<6?<—(p=]

且2,所以6

/(x)=2cos(2x--^

所以

令g(x)=/(x)-log?》=0,即/(x)=log2x

在同一直角坐标系中作出“X）J=I°g2X的图象可得,

13K...

x=----x3.4<4

因为当12

25兀125兀1..

x=—«6.5>4=082~12>0824=2

当12，所以12

所以由图象可得，〃x）J=bg2X的图象共有3个交点,

即g（x）的零点个数为3个，

故答案为:3.

2y2

r->r-,-X--F=1（tTl>〃>0）DC

16.已知耳，心为椭圆机〃的两个焦点，RQ为c上关于坐标原点对称的两点，且

阿T耳用，四边形尸片。鸟的面积为8,周长为16,则相+〃=.

【答案】20

【分析】由椭圆对称性可确定四边形尸百°行为矩形，结合椭圆定义和四边形「耳。鸟周长可构造方

程求得加，利用四边形面积为2邑"与=归耳卜卢用，结合勾股定理可构造方程求得〃，进而求得结

果.

【详解】由椭圆方程知：,b=&,c=4^,

；P，°为C上关于坐标原点对称的点，同门耳用，四边形尸片外为矩形；

由椭圆定义知：附,附|=|。用+四=2。=2诟，

,四边形尸百。为周长为4。=4疝=16,.•.机=16；

••・四边形PF'QB的面积$=2sM=陶［明=8,

，附「+|"『=03|+|尸用）2—2附|.|旭卜阳周2

即4c2=4（加-〃）=64-16=48,解得：〃?-“=12,：."=4,则加+〃=20.

故答案为：20.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中与焦点三角形有关的问题的求解，解题关键是能够利用椭圆

的对称性说明四边形为矩形，进而将问题转化为对△耳桃的研究.

四、解答题

17.小8c的内角48,C的对边分别为c,已知26?+*=/+c?.

⑴求角/

（2）若°=4,4=30,求"8C的周长.

【答案】（1）60'

⑵12+46

【分析】(1)利用余弦定理边化角可求得cosB,由此可得8；

(2)利用正弦定理和勾股定理可求得友J由此可得周长.

-a1+c2-b21

222

【详解】(1)由2b+〃c=a-+3+c得：a+c-b=acf2ac2,

又0°<8<180°,:.B=60\

4x3

6=竺2=—=4百

sinAj_

(2)由正弦定理得：2,

•・・力+8=90'，/.C=90:,.,.c==Ji6+48=8,

，AABC的周长a+b+c=12+4>A

18.己知数列｛“"｝是公比为正数的等比数列，且％=4,%=%+8

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

(2)若4=log24,求数列血也｝的前〃项和s".

【答案】(I)。*'

(2卢，=(〃-1>2"“+2

【分析】(1)利用等比数列通项公式可构造方程求得公比力进而得到为；

(2)由(1)可得应也,，采用错位相减法可求得s”.

【详解】(1)设等比数列｛“"｝的公比为式4>°),

由%=%+8得：砧jq+8,.,.4相=4q+8,解得：9=-1(舍)或4=2,

产=2"

⑵由⑴得：”=1。%2"=〃，.•・/也=〃.21

.1.5„=lx2'+2x22+3x23+---+(n-l)-2n-'+n-2"25„=lx22+2x23+3x24+•••+(«-1)•2"+n-2"+l

/.-S=2+22+23+•••+2W-w-2w+,=2^~2-n.2w+,=(1-n)-2n+,-2

“1-2v7

.■,S„=(«-1).2,+|+2

19.甲、乙两个同学进行答题比赛，比赛共设三个题目，每个题目胜方得1分，负方得0分，没有

平局.比赛结束后，总得分高的同学获得冠军.己知甲在三个题目中获胜的概率分别为0・5,040-8,各

题目的比赛结果相互独立.

(1)求乙同学获得冠军的概率：

(2)用X表示甲同学的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】⑴04

(2)分布列见解析，L7

【分析】(1)根据乙同学获得冠军，则乙至少2个题目中获胜，分类讨论求概率即可；

(2)根据甲获胜题目数对应得分，求出概率，列出分布列求解.

【详解】(1)设乙在三个题目中获胜的事件依次记为4民C,

所以乙同学获得冠军的概率为P=+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5x0.6x0.2+0.5x0.6x0.2+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.8

=0.06+0.06+0.04+0.24=0.4.

(2)依题可知，X的可能取值为012,3,

所以尸(X=3)=0.5x04x0.8=0.16

P(X=2)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44

尸(X=1)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34

尸(X=0)=0.5x0.6x02=0.06

即X的分布列为

X0123

P0.060.340.440.16

期望E（X）=0x0.06+1x0.34+2x0.44+3x0.16=1.7

20.如图，在四棱锥尸-/8CZ）中，PD工底面4BCD,CD"AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=有

⑴证明：平面尸8。，平面

（2）求平面与平面PAB所成的角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

715

⑵5

【分析】（1）要证明两平面垂直只需证明一个平面中有一条直线垂直于另一个平面即可;

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算面面夹角.

【详解】⑴由尸DJ•底面”8,瓦兀底面”8,则PDLBD.

BE=—AB=1

如图，取月8的中点E,连接OE,可知“2,

CD//BE,CD=BEf

二.四边形BSE为平行四边形，，。八口印.

•：DE=-AB

2,则△力8。为直角三角形，48为斜边，

BDVAD,又POu平面尸4）,平面尸PDnAD=D,

则8。工平面P4）,8。u平面「3。，

平面尸平面P4。；

（2）由（1）知，尸"8。两两垂直，BD=^AB--AD1=73,

建立空间直角坐标系如图所示，则。（0,0,0），/。，。，0），8（。，后。）尸（。，。，6）,

,PD=(b,o,-G)方=«,0,-6)方=^i,V3,o)

n-PA=0

<

设平面P/8的法向量为万=（"，z）,则I元78=0,

x-也z=0

即[-X+a=0令y=l,则X=VJ,Z=],"=W/」），

由题易知平面形。的法向量应=0，°，°）,

八mn715

cos0=।.­।=-----

设平面尸8。与平面48的夹角为。，网网5；

715

综上，平面P8O与平面P/8的所成的角的余弦值为亏.

f（x）=—+lnx

21.已知函数x

（1）求出/（X）的极值点；

⑵证明：对任意两个正实数占应，且X#%,若/（再）=/（》2）,则阳+%>4.

【答案】（1尸=2是/（X）的极小值点，无极大值点

（2）证明见解析

【分析】（1）对/（“）求导，判断导函数的正负号，得函数的单调性，得函数的极值点；

r=三

（2）换元令须，根据〃为）=/（々）用/分别表示X],将证明司+X2>4转化为证明

2广—2—4dn/>0

面>,构造"（'）=2/-2-4/lm（/>1）,求导数，证明其大于零即可.

【详解】（1）函数/（X）的定义域为（0'+e）,''"一一「X2,

当xe（O,2）时，/'（无）<0,"X）单调递减；

当xe（2，+8）时，/心）>0,/（x）单调递增,

所以x=2是/G）的极小值点，无极大值点.

（2）证明：由（1）,/G）在（°，2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，

因为/（%）=/（乙），不妨设0<当<2<》2,

令玉，则”1,%=历，

lln.r,=-lnx2_2=g-l叫

++22（x2-x,）=

由再）一/（工2）,得X|X2,即七X2,即X\X2X\,

^lh=ln/xx+x—-

即X「历，解得tint,-t\nt,所以-tint,

2?-2_4>02^-2-4dn£>0

故要证不+%>4,即证占+超-4>0,即证finr,即证tint,

£=.>1

因为x>,所以“nt>0,所以即证2a-2-4”皿>0,

人〃（f）=2t2-2-4t\nt（t>1）”'（7）=4z-41n?-4（/>1）

q，，

因为"'）=4丁t所以在（M）上是增函数，

所以"'（'）>"⑴『所以"（’）在（M）上是增函数，

2/2-2-4zln/

所以"（，）>“⑴=0,所以t\nt>,

所以演+£>4

2（乙一.）=.%t=£

【点睛】关键点点睛：根据‘区）=”》2）得等式演，设再，用，分别表示X,

2/2-2-4/ln/〉0

*2,用分析法将证明演+々>4转化为证明?ln?>.

_L+_L=1

22.设抛物线C：k=2px（p>0）的焦点为尸，过F点的直线与C交于48两点，

（1）求抛物线0的方程；

（2）尸为C上异于48的任意一点，直线尸403分别与C的准线相交于2E两点，证明：以线段

OE为直径的圆经过x轴上的两个定点.

【答案】⑴，=4x

（2）证明见解析

ABx-ty+—

【分析】（1）解法一：假设直线'2,与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物

-I_-L2l

线的焦半径公式，代入韦达定理可整理得到1"打+忸可=P=,由此可求得"，进而得到抛物线方

程；

解法二：利用抛物线焦半径的性质可知.可忸Hp,可直接构造方程求得p,由此可得抛物线

方程；

（2）设/：'=夕+1,与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，设14人可求得直线尸力方程，

代入x=7得。点坐标，同理可得E点坐标；设以。E为直径的圆与x轴的交点为N«,0）,根据

丽.瓦=0,代入韦达定理结论可求得a的值，进而确定两定点坐标.

【详解】⑴解法一：由题意知：'（5'°）,设直线''"="+亍，"（…），

P

/=卬+万

22

由l/=2px得：y-2pty-p^0）:.yt+y2=2ptf乂%=-/,