2021年四川高考数学试卷（理科）（甲卷）

2021年四川高考数学试卷（理科）（甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合M={x[0Vx<4},N={x|』WxW5},则MAN=()

3

A.{xIOVxWljB.{x|上Wx<4}C.{x[4Wx<5}D.{x|0〈xW5}

2.（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年

收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

频率

组距

020-------------------————

0.14--------------——

0.10--------------------------------——

0.04------1----------------------------------

002------------------------------------------1---1---1

0v^i----------------------------------------1---1---1----

2.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5收入/万元

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.（5分）己知（1-i）2z=3+2i,则z=（）

A.-I--?./B.-1+-3/C.-3+iD.-3-i

4.（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记

录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=

5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为

）（）

（1A/10^1-259

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.（5分）已知Fi,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且NF1PF2=6O°,|PFi|

=3|PF2|,则C的离心率为（）

A.近B.2/UC.V?D.A/13

22

6.（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三

棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

7.（5分）等比数列｛期｝的公比为q,前”项和为8.设甲：q>0,乙：｛S｝是递增数列，

则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:

〃?），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，

现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',。满足NAC8=45°,

ZA'B'C=60°.由C点测得B点的仰角为15°,与CC的差为10（）；由B点测得A

点的仰角为45°,则A,C两点到水平面的高度差4V-CC约为（）（愿生

_22-sinCl__

A.2/lLB.匹C.匹D.

15533

10.（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

A.AB.2C.2D.A

3535

11.（5分）已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，S.ACLBC,AC=BC=1,

则三棱锥O-ABC的体积为（）

A.匹B.返C.匹D.近

121244

12.（5分）设函数/（x）的定义域为R,/（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当加口，

2］时，fCx）=ax2+h.若/（0）+f（3）=6,则/（且）=（）

2

A.一9B.-AC.1D.立

4242

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）曲线），=丝支在点（-1,-3）处的切线方程为.

x+2

14.（5分）已知向量2=（3,1）,b=（1，0）,c=a+%b.若a，c，贝！.

15.（5分）已知Fi,尸2为椭圆C：z+z=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对

164

称的两点，且|PQ=|F|F2|,则四边形PRQF2的面积为.

16.（5分）已知函数f（x）=2cos（3x+（p）的部分图像如图所示，则满足条件（/（x）-f

（-Z2L））（/（A：）-/,（△））＞o的最小正整数x为.

43

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:

共60分。

17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两

台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表:

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：a=_______n(ad-bc)2________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(长22无)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)已知数列｛所｝的各项均为正数，记S”为｛a”｝的前〃项和，从下面①②③中选取

两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛板｝是等差数列；②数列｛何｝是等差数列；③”2=3G.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

19.(12分)已知直三棱柱ABC-AiBCi中，侧面441812为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为AC和CG的中点，。为棱上的点，BFLA\B\.

(1)证明：BFVDE-,

(2)当81。为何值时，面BBC1C与面。尸E所成的二面角的正弦值最小？

20.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两

点，且OPLOQ.已知点M(2,0),且0M与/相切.

(1)求C,。〃的方程；

(2)设4,A2,43是C上的三个点，直线AIA2,4A3均与相切.判断直线AM3

与。例的位置关系，并说明理由.

函数f(x)=《

21.(12分)已知a>0且(x>0).

a

(1)当。=2时，求f(x)的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)与直线)，=1有且仅有两个交点，求〃的取值范围.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.(10分)在直角坐标系X。)，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C的极坐标方程为p=2&cos。.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点4的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足方=&近，写出P

的轨迹Ci的参数方程，并判断C与Ci是否有公共点.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=\x-2|,g(x)=|2x+3|-\2x-1|.

(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；

2021年四川高考数学试卷（理科）（甲卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合M={x|0<xV4},N={x|2WxW5},则MCN=（）

3

A.{x[0<xWl}B.{x|」Wx<4}C.{x|4Wx<5}D.{x[0<x<5}

33

【分析】直接利用交集运算求解.

【解答】解：集合M={x|0<xV4},N={x|」WxW5},则MCN={x|工WxV4},

故选：B.

2.（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年

收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

f频率

组距

020-----------------------------————

0.14----------------------——

0.10------------------------------------------------——

0.04-------------------------------------------------------------

0.02-1---------------------------------------------------------------1-----1------1

0IvJ------------------------------------------------------------1-----1------1-----

2.53.54.55.56.5758.59.510.511.512.513.514.5收入/万元

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A,B,D,

利用平均值的计算方法，即可判断选项C.

【解答】解：对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）XI

=0.06=6%,故选项A正确;

对于8,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02X3)Xl=0.1=

10%,故选项8正确；

对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8

X0.2+9X0.1+10X0.1+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5万元，故选项C

错误；

对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)XI=0.64

>0.5,

故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正

确.

故选：C.

3.(5分)己知(1-i)2Z=3+2Z,则z=()

A.-1-MB.-1+3iC.-3+iD.-3.-i

2222

【分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可.

【解答】解：因为(1-I)2z-3+26

所以学军工多工二-1*「

-2i(-2i)-i22

故选:B.

4.(5分)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记

录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=

5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为

()(1^^比1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【分析】把乙=4.9代入乙=5+伙丫中，直接求解即可.

【解答】解：在L=5+/gV中，L=4.9,所以4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,

01]

解得V=10=_L_—«=0.8,

io0,11.259

所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.

故选：C.

5.(5分)已知Fi,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且NF1PF2=6O°,|PFi|

=3|PF2|,则C的离心率为()

A.近B.2ZIS.C.V?D.A/13

22

【分析】设出|PF1|=3〃?，|尸尸2|=/，由双曲线的定义可得m=a,再通过NF1PF2=6O°,

由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率.

【解答】解：Fi,尸2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，\PF\\=3\PF2\,

设|PFl|=3〃i,\PF2\=m,由双曲线的定义可得|P尸i|-|PF2|=2nz=2<7,即m=a,

所以|PFi|=3a,|尸尸2|=a,因为NRP尸2=60°,\FiFi\=2c,

所以4c2=9/+/-2X3aXaXcos60°,整理得4c2=7/

所以e=£=YZ.

a2

故选：A.

6.（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三

棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

【分析】作出正方体，截去三棱锥A-EFG,根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧

视图.

【解答】解：由题意，作出正方体，截去三棱锥A-EFG,根据正视图，

可得A-E尸G在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，

可得相应的侧视图是。图形，

7.（5分）等比数列伍"）的公比为g,前〃项和为8.设甲：q>0,乙：｛S｝是递增数歹IJ,

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【分析】根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出.

【解答］解：若m=7,q=l,则S"=""i=-〃，则｛%｝是递减数列，不满足充分性；

•.$=-aL1(1-qn),

1-q

则S”+i=-^-(1-qn+'\

1-q

n+i

：.Sn+i-S"=AJ-W_q)=mg",

1-q

若｛S“｝是递增数列，

_Sn=CliefX))

则ai>0,q>0,

满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：B.

8.(5分)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:

>n),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，

现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影B,,。满足N4'Cg=45°,

ZA'B'C=60°.由C点测得8点的仰角为15°,BB1与CC的差为100；由B点测得A

点的仰角为45°,则A,C两点到水平面W8C的高度差4T-CC约为()电%

1.732)

B

C，cB'

A.346B.373C.446D.473

【分析】本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找

到高度差.

【解答】解：过C作CH1.88'于H,过8作于M,

则NBC，=15°,84=100,NABM=45°,CH=C'B',B'=BM=AM,BB'

=MA',NC'A'B'=75°

.♦.tan/8cH=tanl5°=tan（45°-30°）=tan450-tan300=9_^,sin75°=sin

l+tan45°tan30°°

（45°+30°）=

BH

则在RL^BCH中，CH==100（2+V3）.:cB'=100（2+V3）

tan/BCH

在AA'B'C'中，由正弦定理知，A'B'=----£'B，

h'sin/A'C'B'=

sinNC'A'D

100（V3+1）,.,.AM=100（VS+D.

：.AA'-CC'=AM+BH=100（V3+1）+100=373,

故选：B.

9.，贝ijtana）

22-sinCL

7B.运

D.运

53

【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sina,进一步求得cosa,再由商

的关系可得tana的值.

［解答］解：由tan2a=cos。，得sin2a=cos。，

2-sinacos2a2-sinCl

即2sinacosa二cosa

l-2sin2CL2-sina，

VaG（0,3-）,...cosaWO,

2

则2sina（2-sina）=1-2sin2a.解得sina=」，

4

则cosa=hsjja=¥"'

工

._sina7V15

••tana—~=~~/—=~~~~z~•

cosCLV1515

4

故选：A.

10.（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.AB.2c.2D.A

3535

【分析】分别计算出4个1和2个0随机排成一行的种数以及2个0不相邻的种数，然

后由古典概型的概率公式求解即可.

【解答】解：6个空位选2两个放0,剩余4个放1,故总的排放方法有（^=15种，

利用插空法，个有个位置可以放故排放方法有10种，

4150,,2U=

所以所求概率为也■上.

153

故选：C.

11.（5分）已知A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，RAC1BC,AC=BC=1,

则三棱锥O-ABC的体积为（）

A.亚B.四C.亚D.近

121244

【分析】先确定△ABC所在的截面圆的圆心01为斜边AB的中点，然后在RtAAfiC和

「△AOO1中，利用勾股定理求出。。|,再利用锥体的体积公式求解即可.

【解答】解：因为ACL8C,AC=BC=\,

所以底面A8C为等腰直角三角形，

所以△A8C所在的截面圆的圆心O\为斜边AB的中点，

所以0。」平面ABC,

在R5BC中，AB^AC2+BC2=V2'则AO]平，

在Rt4400i中，OOiNd-AO/u喙，

故三棱锥。-ABC的体积为•SAABC-OO^XyX1X1X挈

OJ44J.乙

12.(5分)设函数/(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当花[1,

2]时，f(x)=a^+h.若/(0)+f(3)=6,则/(❷)=()

2

A.-9B.-3C.工D.立

4242

【分析】由/(x+1)为奇函数，fCx+2)为偶函数，可求得了(x)的周期为4,由/(x+1)

为奇函数，可得/(I)=0,结合/(0)4/(3)=6,可求得a,b的值，从而得到xe[l,

2]时，/(X)的解析式，再利用周期性可得f(9)=/(1)=-/(-)＞进一步求出f(旦)

2222’

的值.

【解答】解：G+1)为奇函数，."(1)=0,且“x+D=-f(-x+1),

,:f(x+2)偶函数，：.f(x+2)=f(-x+2),

：.j\(x+1)+1]=-./[-(x+1)+1]=-f(-x),BP/(x+2)=-f(-x),

：.f(-x+2)=/(x+2)=-f(-x).

令t=-x,则/"(f+2)=-f(f),

：.f(r+4)=-f(z+2)=f(z),：.f(x+4)=f(x).

当xC[I,2]时,f(x)=axi+b.

f(0)(-1+1)--f(2)=-4a-6,

f(3)=/(1+2)=f(-1+2)(1)=a+b,

又/(0)+f(3)=6,，-3a=6,解得a=-2,

\'f(1)=a+6=0,:.b=-a=2,

...当x€[l,2]时，f(x)=-2^+2,

(^.)=f(A)=-f(A)--(-2x9+2)=$.

22242

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)曲线丫=空支在点(-1,-3)处的切线方程为5x-y+2=0.

x+2

【分析】先求导，利用导数的儿何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方

程.

【解答】解：因为)'=红工，(-I,-3)在曲线上，

x+2

所以<=2(x+2)-(2x-l)=5

(x+2)2(x+2)2

所以y'k=-1=5,

则曲线丫=空支在点(-1,-3)处的切线方程为：

x+2

y-(-3)=5[x-(-1)],即5x-y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

14.(5分)已知向量2=(3,1),b=(1，0),c—a+^b-若a，c，则R=_

—3-

【分析】利用向量数量积的运算性质结合向量垂直的坐标表示，列出关于k的方程，求

解即可.

【解答】解：因为向量2=(3,1),b—(1>0),c=a+kb，

由a-Lc，则Z・金+kE)=|Z|2+k；■芯=32+12+4・(3X1+1X0)=10+34=0,

解得k=二旦.

3

故答案为：JI.

3

15.(5分)己知为，尸2为椭圆C：/+£1的两个焦点，P，。为C上关于坐标原点对

164

称的两点，且|PQ|=|FIF2|,则四边形PFIOF2的面积为8.

【分析】判断四边形PQ。放为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可.

【解答】解：因为P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ=|F1F2|,

所以四边形PF|QF2为矩形，

^]PF\\=m,\PFo\=n,

由椭圆的定义可得|PFi|+|PF2|=，"+”=2a=8,

所以+2〃?〃+〃2=64,

因为『为『+尸产2|2=尸1尸2|2=4。2=4(a2-b2)=48,

即W2+/?2=48»

所以mn=S,

所以四边形PF1QF2的面积为|PFI||PF2|=/WJ=8.

故答案为：8.

16.(5分)已知函数f(x)=2cos(<ox+<p)的部分图像如图所示，则满足条件(/(x)-f

变换到工附近，观察图像可知x>匹，即最小正整数为2.

33

【解答】解：由图像可得31卫兀工，即周期为TT,

4123

,(f(x)-f))((f(x)-f(-^―))>0r=7T,

TTTT

(f(x)-f(—))(f(x)-f)>0

观察图像可知当x〉」二,

3

/、//兀、/\//兀、

f(x)<f(丁>f(x)<f(k>

+0

••26(兀〒，-5兀、)>且日f,(5-兀^)、=0八，

366

，x=2时最小，且满足题意,

故答案为：2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:

共60分。

17.(12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两

台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表:

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

2

附：—________n(ad-bc)__________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(心?k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】(1)根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可;

(2)根据2义2列联表，求出再将K的值与6.635比较，即可得出结论；

【解答】解：(1)由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，

因为甲的一级品的频数为150,所以甲的一级品的频率为典=3；

2004

因为乙的一级品的频数为120,所以乙的一级品的频率为侬=3；

2005

(2)根据2X2列联表，可得尤=^——?)2——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=400(150X80-50X120)2F0256>6.635.

270X130X200X200

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.(12分)已知数列｛〃”｝的各项均为正数，记S为｛“"｝的前〃项和，从下面①②③中选取

两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛“”)是等差数列；②数列｛屈｝是等差数列；③02=30.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前"项和公式证明结论

即可.

【解答】解：选择①③为条件，②结论.

证明过程如下：

由题意可得：a2=“i+d=3ai,，d=2ai,

n（b2

数列的前"项和：sn=najd=na1+^"'X2aj=naf

故国-4^=诉Yn-1诉二国（〃22）,

据此可得数列店）是等差数列.

选择①②为条件，③结论：

设数列｛“〃｝的公差为d,则:

'V^2"的+（ai+d）=｛2ai+d,〔+（a〔+d）+（a1+2d）=寸3⑶+d）

数列｛肉）为等差数列，则：向+叵=2y^,

即：（百+｛331+2V=（2户国）2,整理可得：”=2G,...a2=m+d=3m-

选择③②为条件，①结论：

由题意可得：S2=m+a2=4m,，小m=257^

则数列｛肉｝的公差为（1=后-何'=瓜，

通项公式为：&=痼+（n-l）d=n7^，

据此可得,当">2时，ajSn-Sn-i=n2a「（n-1）2a[=（2n-l）a[，

当〃=1时上式也成立，故数列的通项公式为：an=（.In-1）a\,

Scin+i-an=[2（n+1）-l]ai-（2n-1）ai=2ai,可知数列｛〃”｝是等差数列.

19.（12分）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，侧面44出山为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为AC和CC1的中点,。为棱A181上的点，BFLA\B\.

（1）证明：BFLDE；

（2）当31。为何值时，面BBiCiC与面。FE所成的二面角的正弦值最小？

【分析】(1)连接AF,易知CF=1,BF=娓,由8/UAiBi,BFLAB,再利用勾股定

理求得AF和AC的长，从而证明BA_LBC,然后以8为原点建立空间直角坐标系，证得

BfDE=O,即可;

(2)易知平面881cle的一个法向量为0;(1,0,0),求得平面。E尸的法向量n，再

——q1

由空间向量的数量积可得cos<p,n>—,从而知当tn——时，得解.

/n/、2272

【解答】(1)证明：连接4F,

■:E,尸分别为直三棱柱ABC-48心的棱AC和CC1的中点，且4B=8C=2,

；.CF=1,BF=V5-

'：BF±AIBI,AB//AiB\,

：.BFLAB

AF^VAB2+BF2V22+(A/5)23RAC=Y卜产-CF2r§2_]2=2A/2>

：.AC2^AB2+BC2,即BA1.BC,

故以B为原点，BA,BC,BBi所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，

贝IJA(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,1),

设81。=小，则D(〃?，0,2),

.,.丽=(0,2,1),DE=(1-/n，1.-2),

BF*DE=0,BPBFLDE.

(2)解：平面BBiCiC,.•.平面8B1C1C的一个法向量为0=(1,0,0),

由(1)知，DE=(1-根，1.-2),EF=(-1,1,1),

设平面。即的法向量为。=(X,y,Z),则仍警即［(l-m)x+y-2z=0,

,n-EF=0I-x+y+z=0

令无=3,则y=m+l,z=2-m,，口=(3,〃z+l,2-wz),

cos<p,n>=_>PF_=-------/-=/3

IPI•InilXV9+(m+l)2+(2-m)2V2m2-2m+14

3

V2(mT)万

当机=2时，面8B1C1C与面。FE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，

2

故当BiO=工时，面881cle与面OFE所成的二面角的正弦值最小.

2

20.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两

点，JiOP±OQ.已知点M(2,0),且。M与/相切.

(1)求C,OM的方程；

(2)设4,42,43是C上的三个点，直线AIA2,4A3均与。M相切.判断直线AM3

与OM的位置关系，并说明理由.

【分析】(1)由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然

后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；

(2)分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求

得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切.

【解答】解：(1)因为x=l与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：/

=2px(p>0),

令x=l,贝iJy=±V^，

根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，。在x轴下方，故

P(l,扬)，Q(l,-V^),

因为。P_L。。，故l+V2PX(-V2P)=0=

抛物线C的方程为：），2=x,

因为O例与/相切，故其半径为1,故OM：（X-2）2+/=1-

另解：（1）根据抛物线的对称性，由题意可得NPQx=NQOx=45°,

因此点P,。的坐标为（1,±1）,

由题意可设抛物线C的方程为：y2=2px（p>0）,

可得p=工,

因此抛物线C的方程为），2=工

而圆M的半径为圆心M到直线I的距离为1,

可得的方程为（,X-2）2+y2—l.

（2）很明显，对于4A2或者443斜率不存在的情况以及AM3斜率为0的情况满足题

意.否则：

设4（xi,yi）,A2（短，中）,A3（X3,2）.

当Ai,A2,A3其中某一个为坐标原点时（假设4为坐标原点时），

设直线A1A2方程为丘-y=0,根据点M（2,0）到直线距离为1可得j2LL=1,解

得仁士返,

一3

联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3,

此时直线AM3与。M的位置关系为相切，

当Ai,Ai,A3都不是坐标原点时，即xiWx2Wx3,直线A1A2的方程为x-（yi+）2）y+yi"

=0,

此时有，/122=1'（y?-1）yo+2y.yo+S-y?=0f

V1+（yl+y2）

同理，由对称性可得，（yj-1）yg+2yly3+3-y；=0'

所以”是方程（yj-i）t2+2yjt+3-Yi=0的两根，

-2y1

依题意有，直线A2A3的方程为x-("+*)y+y2y3=0,

22

3-yf

(2/

2

2(2+y2y3)

=1,

令M到直线A2A3的距离为d,则有d=——2

1+。2+丫3)-o2y.

1+(^-5-)

此时直线4M3与0M的位置关系也为相切,

综上，直线AM3与OM相切.

(2)另解：设4(V2,")，i=l,2,3,

Ji

由直线的两点式可知，直线4A2的方程为(y「-y22)(y.y2)=(yl_y2)(x_

化简可得x-(yi+”)y+yiy2=0,

I2+yiy9I

因为直线A1A2与圆/相切，所以]——=^=1=>(2+yi")2=1+(y]+”)2,

V1+(yl+y2)2

整理得(y2-l)y2+2yiy2+3-y2=0-

同理有(y2-l)y2+2yiy3+3-y2=0-

所以”，＞3是关于y的方程(y：_l)y2+2y]y+3_y；=0的两个根，

-2y3-YI

则了2+y3=丁;1，y2y3TV'

y^l

依题意有，直线A2A3的方程为x-(*+*)y+y2”=0,

22

(2+-

⑵y2y3产空)

2

令M到直线AM3的距离为d,则有d=,

1+臼2+了3)2

1+(-等)

此时直线AM3与0M的位置关系也为相切,

综上，直线AM3与0M相切.

a

21.(12分)已知a>0且aWl,函数/(x)=2-(x>0).

X

a