2022-2023学年吉林省长春市高二年级上册学期期末数学试题-含答案

2022-2023学年吉林省长春市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.如图，直线，/，认的斜率分别为勺&自人，则()

C.<k)<kt<k2D.与<&4<勺〈氏2

【答案】D

【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.

［详解】由斜率的定义知，&>尢>0>&4>%.

故选：D.

2.在等比数列｛4｝中,%%=6,生+4。=5,则也等于

。10

A._2或_3B.-C.-D.|咤

3232

【答案】D

【详解】•；｛q｝为等比数列，二%%=%〃10=6,又/+《0=5

...七,a。为/-5x+6=O的两个不等实根，

q8*或q*=|

.•.组=-3或2

须23

故选D

3.直线x+y+l=0被圆/+丁―2x+2y+l=0截得的弦长为()

A.2B.V2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.

【详解】由圆的方程知其圆心为（卜1）,半径r=gj4+"4=l；

••・圆心到直线x+y+i=o的距离4=匕口=也，

V22

•••所求弦长为2。产-/=2m=&.

故选：B.

【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：

（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为d,弦长为L,则（4）=/-/；

y=kx+m

（2）代数法，设直线与圆相交于A（A,，M）,3优，％），联立直线与圆的方程”.4+（）,_牙=/，

消去y得到一个关于x的一元二次方程，从而可求出用+当，x也，根据弦长公式

22

|AB\=\l\+k-^xt+x2）-4xtx2,即可得出结果.

4.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为

男生或女生，则这样的排法种数是

A.144B.216C.288D.432

【答案】D

【详解】先排与老师相邻的:C；C；&=18，再排剩下的：,所以共有188=432种排法种数，选

D.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的

排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

5.若双曲线工+片=1a为非零常数）的离心率是否，则双曲线的虚轴长是（）

4k

A.6B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】根据题意得到a，4c,进而根据离心率求出院而后得到从最后求出答案.

【详解】由题意，k<0,则a=2,>=J—=J4—4,双曲线的离心率e==有=>—%=16,

2

所以，6=4,即虚轴长为8.

故选：B.

6.设尸为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点8(3,()),若|时=忸耳，贝!||蝴=()

A.2B.272C.3D.372

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标,

即可得到答案.

【详解】由题意得,尸(1,0),则|A尸|=忸同=2,

即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，A(L2),

所以[4却=^(3-1)2+(0-2)2=2&.

故选：B

7.的二项展开式中的常数项为()

【答案】A

【分析】利用二项式的通项公式即可得出.

【详解】解：二项式的展开式的通项公式为1+L6•(；)「小』,

令12-3r=(),解得：r=4,

.•・二项式的展开式中的常数项为

2lo

故选：A.

【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题.

8.若等差数列｛/｝与等差数列间的前"项和分别为鼠和且率=?当，则鲁=()

ln14

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到+=黑，即可求解.

15（4+%）

【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得会=干?〜=黑=71：+：='

反伪+九1乂4+々5）兀3x15—144

2

故选：C.

二、多选题

22

9.若方程上+工=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中错误的是（）

3Tt-\

A.若l<r<3,则C为椭圆

B.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2々<3

C.曲线C可能是圆

D.若C为双曲线，则f<l

【答案】AD

【解析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当f=2时，曲线为C表示圆，故不正确；

对于B选项，当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，则f-l>3T>0,解得2<f<3,故正确；

对于C选项，当，=2时，曲线为C表示圆的方程，故正确；

对于D选项，当曲线C为双曲线时，则（3-/）（7-1）<0,解得/<1或r>3,故错误；

综上，错误的是AD.

故选：AD.

【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.

22

10.已知A7是椭圆C：土+工=1上一点，F1,凡是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）

84

A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率e=Y2

2

C.\MFt\+\MF2\=442D.△加耳心的面积的最大值是4

【答案】BCD

【分析】根据椭圆的性质同、定义计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项.

22

【详解】由椭圆方程j+==1得4=2收，b=2,所以c=2,

84

焦点为2c=4,A错；离心率为6=£=义=变，B正确；眼周+|M闾=2a=4&,C正确；当〃

短轴端点时，用的面积的最大，最大值为gx4x2=4,D正确.

故选：BCD.

11.若（1-X）""=4+。俨+%彳2+…+42022X20"，则（）

A.展开式中所有的二项式系数之和为223

B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项

C.4=1

D.4+见+/+…+%E2=0

【答案】ABC

【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.

2022

［详解】展开式中所有项的二项式系数和为Chz+G022+…+嚅=2，故A正确；

展开式中第1012项的二项式系数为C；：；；,是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确；

在二项式展开式中，令x=0可得4=1,故C正确；

令X=1可得％+4+…+%022=0,；♦4+…+”2022=—%=-1，故D错误.

故选：ABC

12.设数列｛%｝的前”项和为S.，若存在实数A,使得对任意“eN”，都有则称数列｛4｝为

"7数列''.则以下结论正确的是（）

A.若｛《,｝是等差数列，且q>0,公差4<0,则数列弧｝是“T数列”

B.若｛%｝是等比数列，且公比4满足141<1,则数列｛4｝是“T数列”

+2

C.若.=“（〃+1）2=则数列｛4｝是“T数列”

„2

D.若a“=V—,则数列｛4｝是“T数列

4n-1

【答案】BC

【解析】写出等差数列的前”项和结合"7数列''的定义判断4写出等比数列的前”项和结合“T数

列”的定义判断&利用裂项相消法求和判断C；当“无限增大时，|S,J也无限增大判断D

【详解】在4中，若｛为｝是等差数列，且4>0,公差八0,则S“=#+（q-£）〃，当"无限增

大时，|S“|也无限增大，所以数列｛%｝不是“T数列”，故4错误.

在B中，因为｛q｝是等比数列，且公比4满足

所以⑶卜见=J=0-鲁二”卢+|詈4<2廿七］,所以数列｛《,｝是“T数列”，故8正确.

\-q\-q

在C中，因为4=“•2"一("+1).2向'所以

n(«+l)2n+I

lS,,l=llx2'_2x22+2x22-3x23++〃・2"一(〃+卜'・("+<5,所以数列佃'｝是

“7数列”，故C正确.

在。中，因为％=--------3------1-------;------1--•-----

4/I2-144X22-14X32-1--------4,72-1

当”无限增大时，周也无限增大，所以数列｛《,｝不是“7数列”，故。错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向,

突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：⑴而西三;(2)

nn+k

⑶

FU历一研(2n_1)(2n+1)=22n-l2〃+1

(2B+I-1)-(2"-1)

；止匕外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现

(2"-1)(2"J广(2(1-l)(2n+l-l)2—12—1

丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

三、填空题

13.有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出

场顺序共种

【答案】36

【分析】本道题目是一个排列问题，先将2名女生和1名男生捆绑，然后排列，在作为一个整体参

与全排，即可.

【详解】采用捆绑法，将2名女演员和1名男演员捆绑有3xA；=6,然后在全排，有A；=6,

共有36种方法.

【点睛】本道题目考查的是排列问题，可以采取捆绑法进行解答.

14.若直线入2x+ay-2=0与直线上x-y+a=O平行，则直线4与4之间的距离为.

【答案】立

2

【分析】先根据直线乙与4平行求出参数。，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】・・♦直线4与4平行，・・・92=/三7-工2,，解得。=-2,

1-1a

:•直线乙：x-y-l=O,直线4：x-y-2=0,

；•直线4与i之间的距离d=卜1二"=立.

2V1+T2

故答案为：也

2

OY

15./(x)=-^-,利用课本中推导等差数列前〃项和的公式的方法，可求得

2x—1

【答案】2020

【分析】先证得/(x)+/(l-x)=2,利用倒序相加法求得表达式的值.

,,,、2x2(l-x)2(2x-l)

【详解】解：由题意可知fx+fl-x=丁一/=；1=2,

2x-l2x-i

令M施卜隔卜…+/圈

则=篇H瑞卜•“小

两式相加得，2s=2020x2

.-.5=2020.

故填：2020

【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到/(力+/(1-力=2的

规律.

\PA\,

16.在平面上给定相异两点4,B,设P点在同一平面上且满足扁=义，当4>0且时，P点的

轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，

22

r2v

现有双曲线T-r=1(4>0,b>0),A,B为双曲线的左、右顶点，C,。为双曲线的虚轴端点,

ab

PA64

动点P满足国^=2,面积的最大值为手，AP8面积的最小值为4,则双曲线的离心率为

【答案】！

【分析】根据AB为双曲线的左、右顶点可设A=（-“,0）,8（a,0）,P（x,y）,由两点间距离公式并化简

可得动点尸的轨迹方程.由A8为双曲线的左、右顶点可知当户位于圆的最高点时APA8的面积最大,

根据面积最大值求得〃.当P位于圆的最左端时步8的面积最小，结合最小面积可求得以即可求得

双曲线的离心率.

【详解】设A=（-a,0）,8（a,0）,P（x,y）,

依题意，得|酬=2|冏,

即J(x+a)2+/=2yJ(x-a)2+y2,

,则圆心为（芋,半径「二与,

20）,

两边平方化简得+y

1464

当P位于圆的最高点时A/咒B的面积最大，最大面积为万'2.、5。=—,

解得a=4；

当尸位于圆的最左端时APCD的面积最小，最小面积为呜=4,

解得"=3,

故双曲线的离心率为e==

故答案为：

4

【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用，轨迹方程的求法，圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率

的求法，属于中档题.

四、解答题

17.已知卜+?展开式的二项式系数之和为256

（1）求”；

⑵若展开式中常数项为3券5，求加的值;

8

【答案】（1）8

⑵土;

【分析】（1）根据二项式系数之和为2"=256,可得〃的值;

(2)根据二项式的通项得到从而得到r=4,即可得到答案.

【详解】(1)展开式的二项式系数之和为256,

2"=256,解得〃=8

(2)1+7］的通项公式：

令8-2/•=(),解得r=4,则/C；=U

8

解得"7=士;

18.已知等差数列｛4｝的前”项和为S1t=/+“，

(1)求｛可｝的通项公式;

]

(2)求数列〈,的前〃项和T..

(an+l)-(an-l)

【答案】(l)a“=2"(〃eN")

n

(2)7；,=

2〃+1

\S-S,,n>2

【分析】(1)根据公式%=;Tn可求得

(2)结合(1)得7——^=:(丁二一4]，再根据裂项相消法求数列的和.

(a„+l)•(«„-1)212〃—12n+\)

【详解】(1)解：因为s“=/+〃,

当〃=1时，q=4=2

22

当“22时，a„=S„-S„_l=n+n-(n-l)-(n-l)=2n

又4=2也适合上式

所以=2〃(〃eN,)

(2)解：由⑴知a“=2〃(〃eN*)

所以______1______=______1

所以'(a„+!)•(«„-1)(2n-l)(_2n_+l)=12(20〃_-1__2nL+_l]/

如鸿-9*+•••+白-熹卜41-击卜备

19.如图①所示，长方形ABC。中，AZ)=1,A5=2,点M是边CO的中点，将△/WM沿A”翻

折到△%〃，连结P8,PC,得到图②的四棱锥P-ABCM.

(1)求四棱锥P-ABCM的体积的最大值;

⑵若棱出的中点为N,求CN的长;

(3)设P-AM-的大小为0,若。=60。，求平面P4W和平面PBC夹角的余弦值.

【答案】(1)也

4

⑵或

2

⑶叵

11

【分析】(1)作出辅助线，得到当平面E4M_L平面A3CM时，尸点到平面A3CA/的距离最大，四棱

锥尸的体积取得最大值，求出PG=1AM=正，从而得到体积最大值；

22

(2)作出辅助线，证明出四边形CNQA7为平行四边形，从而得到CN=M。即可得所求值；

(3)作出辅助线，得到NPG£)为2―AM—D的平面角，即NPG£>=60。，建立空间直角坐标系，求

解平面和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得即可.

【详解】(1)解：取A”的中点G,连接PG,

当平面E4M_L平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥尸-A3cM的体积取得最大值,

1/?

此时PGL平面43CA/,且PG=±AM=4,

22

底面45cM为梯形，面积为(l+2)xlx(=],

22

则四棱锥的体积最大值为=正;

3224

(2)解：取AP中点。，连接N。，MQ,

则因为N为PB中点，所以M2为,上48的中位线，

所以NQ〃AB且NQ=；AB,

因为“为C。的中点，四边形ABC。为矩形，

所以CN//AB且CM=1AB,

2

所以CM//NQ且CM=NQ,

故四边形CNQM为平行四边形，

所以CN=MQ=J(；J+代=乎;

(3)连接QG,过户作J_Z)G于点，，由题意得P〃_L平面

因为D4=DM,所以Z)G_LA〃，

所以NPGD为P-4W—£>的平面角，BPZPGD=60°,

所以”G='PG=L£)G=变，HP=—PG=-DG=—,

224224

过点。作。z,平面ABC。，以。为坐标原点，分别以D4,DC,DZ所在直线为x轴，》轴，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则他。。，软。』,。)，则2,。)，。(。2。)，尸[找,当‘

设平面PA"的法向量为勺=(芭,y”zj,又AM=(—1,1,0),24=；,_；,一()

一再+x=0玉

则《31瓜限，令J=2,则4=(灰,遍,2),

—x—y.----z.=0XZ1

[41414,'=T

17咐

X,Z又因为CB=(1,0,0),PC=

设平面PBC的法向量为％=(2,32,2)4'4，-V)

x2=0x2=0

76，令之2=7,可得：/?2=(0,>/6,7),

则1JN/6=，

一-7工2+二>22=0%=-Z2

444一2

设两平面夹角为a,

n.■n,0+6+14755

则COS"|,〃2=^^

4x屈-11

所以平面EVW和平面PBC夹角余弦值为要.

11

20.已知点P在抛物线C:f=2py(p>0)上,且点尸的纵坐标为1,点尸到抛物线焦点尸的距离为2

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线的准线与V轴的交点为过抛物线焦点厂的直线/与抛物线C交于A,B,且

AB1HB,求|4用一|8用的值.

【答案】(1)d=4y(2)4

【分析】(1)由抛物线定义，点P到抛物线焦点尸的距离为2,故1+5=2,可得解

(2)ABLHB可转化为kAB-kHB=T,代入坐标可得(%-1)(%+1)+不/=°，即x：-x；=16,

\AF\-\BF\=yi+1-%T=；储一/)可得解

【详解】(1)设P(x0，l),由抛物线定义，点尸到抛物线焦点尸的距离为2

故1+"=2;.p=2

故抛物线C的方程为：x2=4y-

(2)抛物线f=4y的焦点为尸(0,1),准线方程为y=-l,4(0,-1)；

设A(x”yJ8(孙必)，

直线AB的方程为y=履+1,代入抛物线方程可得X2-4AX-4=0,

.•・%+工2=4攵，x)x2=-4,…①

由可得3s.七8=-1，

,.Vi—1.必+1

又^AB=砥尸=，km=,

xxx2

・XZ1.适±1=_1

%九2

・・・(乂-1)(%+1)+92=0，

即［a"-Ka*+1J+=0，

**•耳芍H(X：—芍)—1+=0,…②

16'4v7

把①代入②得，元；-月=16,

则|4用一|8用=8+1_必_1=（（片-4）=；X16=4.

【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中

档题

12

21.已知数列｛叫满足3a角=%+彘，4=葭设"=3"q.

（1）证明:也｝为等差数列;

（2）求数列｛%｝的前"项和S,,.

【答案】（1）证明见解析；（2）手.

4403

【分析】（1）根据等差数列的定义，证明为常数，即可得到答案:

(2)求出数列｛%｝的通项公式，再利用错位相减法求和；

+|

【详解】⑴3a„tl=an+^=>3"-an+1=3"-an+l^blt+l-b„=l,

•••也｝为等差数列；

(2)4=3・。］=2,二.=2+(〃-1)=〃+1,

n+\

s=a+

„t+«2+""=2，g+3,(++(〃+1>/，①

.'S“=2，+3」++(〃+1)•—7r,②

3"32333"+,

221111?a21a”—i

①一②得：+