河北省保定市辛保庄乡中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

河北省保定市辛保庄乡中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是（

）A．自然数集

B．整数集

C．有理数集

D．实数集参考答案：A略2.设函数f(x)＝x·sinx，若，∈[－，]，且f()＞f()，则下列不等式恒成立的是()(A)＞

(B)＜

(C)＋＞0(D)参考答案：D略3.抛物线y2=2x与直线y=x﹣4围成的平面图形面积（）A．18 B．16 C．20 D．14参考答案：A【考点】抛物线的简单性质；定积分．【分析】方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=dx+（﹣x+4）dx，求出原函数，即可求得平面区域的面积，方法二：对y进行积分，所求的面积为S=（y+4﹣）dy，即可求得平面区域的面积．【解答】解：方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=dx+（﹣x+4）dx．∵[?]′=，∴S=[?]+[?﹣+4x]=18故抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积是18，故选A．方法二：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为S=（y+4﹣）dy=（y2+4y﹣）=（8+16﹣﹣2+8﹣）=18，故选A．4.设，则

(

)A．

B．C．

D．参考答案：C略5.已知正三棱锥的外接球半径，分别是上的点，且满足，，则该正三棱锥的高为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A点睛:本题考查了利用外接球的半径求正三棱锥的高,属于中档题.本题思路:由已知条件分别求出的表达式,解出之间的关系,再利用外接球的球心到各顶点距离相等,求出的值,再求出正三棱锥的高.6.若复数，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限．故选：D．7.（5分）已知集合M={x|x2﹣3x+2=0}，N={﹣2，﹣1，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1}B．{1，2}C．{﹣2，1}D．{﹣2，﹣1，1，2}参考答案：B【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出M中方程的解确定出M，找出M与N的交集即可．解：由M中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即M={1，2}，∵N={﹣2，﹣1，1，2}，∴M∩N={1，2}，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.已知等差数列的前13项之和为，则等于（

）

A.

B.

C.

D.[参考答案：B9.过曲线上一点（1，0）且与该点处的切线垂直的直线方程是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C10.若长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点都在体积为288π的球O的球面上，则长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积的最大值等于（

）A.576 B.288 C.144 D.72参考答案：B【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．【详解】由球的体积为，可得设长方体的三边为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，

由题意可知，长方体的表面积为：；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．

故选B.．【点睛】本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个球的内接正方体的表面积为S，那么这个球的半径为

参考答案：答案：

12.已知是定义在R上的奇函数．当时，，则不等式的解集用区间表示为________________.参考答案：（-5,0）或（5,+）;13.若二次函数有，则________。参考答案：c略14.不等式的解集是参考答案：（1，2）15.执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：4本题考查程序框图.

mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时,65＞50,所以k=4.16.已知等差数列{an}满足，则的值为______.参考答案：【分析】等差数列的性质可知求，再根据求值.【详解】由等差数列的性质可知，，，.【点睛】本题考查等差数列的性质求值，意在考查转化与变形，属于基础题型.17.（5分）（2015?南昌校级模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，＜，＞=60°，则=．参考答案：【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据题意，利用向量的中点坐标公式表示出向量，求模长即可．解：如图所示，根据题意，O为BC中点，∴=（+），=（+2?+）=（12+2×1×3×cos60°+32）=；∴||=．故答案为：．【点评】：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是利用中点表示出向量，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为．(1)求椭圆C1的方程；(2)过抛物线C2：(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值．参考答案：（Ⅰ）由题意可得，……………3分解得，所以椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ）设，由，抛物线在点处的切线的斜率为,所以的方程为,……………7分代入椭圆方程得,化简得又与椭圆有两个交点，故

①设，中点横坐标为，则,

…10分设线段的中点横坐标为,由已知得即，

②………………12分显然,

③当时，，当且仅当时取得等号，此时不符合①式，故舍去；当时，，当且仅当时取得等号，此时，满足①式。综上，的最小值为1.………………15分19.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．（I）求圆心C的直角坐标；（II）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．参考答案：解：（I），，

………（2分），

…………（3分）即，．…………（5分）（II）：直线上的点向圆C引切线长是，

…………（8分）∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是

…………（10分）∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是

…………（10分）20.为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，每人测试文化、经济两个项目，每个项目满分均为60分.从全体测试人员中随机抽取了100人，分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩，得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下：经济项目测试成绩频率分布直方图分数区间频数[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]35

文化项目测试成绩频数分布表将测试人员的成绩划分为三个等级如下：分数在区间[0,30)内为一般，分数在区间[30,50)内为良好，分数在区间[50,60]内为优秀.（1）在抽取的100人中，经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人，经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关？

优秀一般或良好合计男生数

女生数

合计

（2）用这100人的样本估计总体，假设这两个项目的测试成绩相互独立.（i）从该市测试人员中随机抽取1人，估计其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率.（ii）对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价.附：0.1500.0500.0102.0723.8416.635

.参考答案：（1）见解析（2）（i）0.32（ii）见解析【分析】（1）由频率分布直方图，可以求出经济项目等级为优秀人数的人数，同时可以求出男生数人.经济项目等级为一般或良好的人数，同时可求出男生数，然后填表；计算并结合给出的附表，可以得出结论；（2）（i）记“文化项目等级为优秀”为事件，“文化项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为一般”为事件.分别可求出，，从该市测试人员中随机抽取1人，其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率为，计算得出；（ii）①记“文化项目等级为一般”为事件，“经济项目等级为优秀”为事件，可求出.可以计算出从该市测试人员中随机抽取1人，其“项目经济等级高于文化项目等级”的概率为，从这一点上可以看出该市文化项目学习成绩的更好.②通过计算文化项目测试成绩良好率估计值，经济项目测试成绩良好率估计值，通过比较，可以得出该市文化项目学习成绩的更好.③通过计算文化项目测试成绩平均数的估计值，经济项目测试成绩平均数的估计值为，通过比较，可以得出该市文化项目学习成绩的更好.④通过由频数分布表可以求出，该市文化项目测试成绩中位数的估计值，和该市文化项目测试成绩中位数的估计值，通过比较可以得出该市文化项目学习成绩的更好.⑤可以求出该市文化项目测试成绩众数的估计值和经济项目测试成绩众数的估计值，通过比较可以得出该市对经济项目学习研究的更深入.⑥可以求出文化项目测试成绩优秀率估计值、经济项目测试成绩优秀率估计值，通过比较，可以得出该市对经济项目学习研究的更深入.【详解】解：（1）由频率分布直方图，得经济项目等级为优秀人数为.其中女生数为14人，男生数为26人.经济项目等级为一般或良好的60名测试人员中，女生数为34人，男生数为26人.作出列联表：

优秀一般或良好合计男生数262652女生数143448合计4060100

.由于，故有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关.（2）（i）记“文化项目等级为优秀”为事件，“文化项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为一般”为事件.则，，，.从该市测试人员中随机抽取1人，其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率为.（ii）①记“文化项目等级为一般”为事件，“经济项目等级为优秀”为事件，则，.从该市测试人员中随机抽取1人，其“项目经济等级高于文化项目等级”的概率为.因为，所以该市文化项目学习成绩的更好.②文化项目测试成绩良好率估计值为0.9，经济项目测试成绩良好率估计值为0.8，，所以该市文化项目学习成绩的更好.③文化项目测试成绩平均数的估计值为.经济项目测试成绩平均数的估计值为.因为，所以该市文化项目学习成绩的更好.④由频数分布表知，文化项目测试成绩低于40分的频率为，测试成绩低于50分的频率为.故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为.由直方图知，经济项目测试成绩低于40分的频率为，测试成绩低于50分的频率为，故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为.因为，所以该市文化项目学习成绩的更好.⑤该市文化项目测试成绩众数的估计值为45（分）.经济项目测试成绩众数的估计值为55（分）.因为，所以该市对经济项目学习研究的更深入.⑥文化项目测试成绩优秀率估计值为0.35，经济项目测试成绩优秀率估计值为0.4，，所以该市对经济项目学习研究的更深入.【点睛】本题考查了独立性检验.重点考查了通过用样本的数字特征、均值等方面对总体进行评估，是一道用数学中的统计知识，为决策者提供参考的一道好题.21.已知直线l是经过点且与抛物线相切的直线.（1）求直线l的方程；（2）如图，已知点是x轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，求证：直线PQ与l平行.参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）先由题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据判别式为0，即可求出斜率，得到直线方程；（2）先由题意得到，两直线的斜率互为相反数，设直线的方程为，与抛物线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，进而计算，即可得出结论成立.【详解】解：（1）显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：与联立，消去整理得，，令，即，解得，所以，直线的方程为.（2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线的方程为，与联立，消去整理得，则，从而，将换成，得，，所以，直线与平行.【点睛】本题主要考查直线与抛物线综合，通常需要联立直线与抛物线方程，结合判别式、斜率公式等求解，属于常考题型.22.在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量=（cosA，sin