2023年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）及答案解析

2023年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={x|0<xW2},5={%eZ|x>0）,则4nB子集的个数为（）

A.2B.3C.4D.8

2.复数Zi，Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若Z1=l—2i,i为虚数单位，则Z2=（）

A.1+2iB.-1—2iC.-1+2iD.2+i

3.若simr+cosa=贝ijsir12a=（）

3333

Ca

------

A.4884

4.已知/'（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，/（%）=log2x,则/'（-4）=（）

A.2B.—2C.1D.—1

5.“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来

付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出

现”…当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生

的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时

间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则从这800名

学生中随机抽取一人，周平均阅读时间在（10,12］内的频率为（）

,,频率

0.15..................m

OQo

QOo

UOo

OOo

OOo

4681012141618周平均阅读时间/小时

A.0.20B,0.10C.0.15D,0.30

6.已知焦点在%轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双

曲线的离心率是（）

A.辿B.2C.-D.江

322

7.在长方体ABCD-ZiBiGDi中，底面4BCD为正方形，AA2=2,其外接球的体积为36兀,

则此长方体的表面积为（）

A.34B.64C.4V17+17D.8V17+34

8.已知函数f(x)=2sin(a)x+3)(3>0,\<p\<乡的部分图象如图

所示，则樽=()

A.；B.-gC.1D.—1

9.南宋数学家杨辉在群解九章算法中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差

成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29,

则该数列的第18项为()

A.172B.183C.191D.211

10.己知点P(-3,2)在抛物线C：y2=2Px(p>0)的准线上，过C的焦点且斜率为k的直线与C

交于力，B两点,若为•丽=0，则k=()

A.1B.V2C.V3D.3

11.在直三棱柱4BC-4B1G中，48=4,8。=47=2夜,441=1,点”，N分别是A/i，

4G的中点，则直线8M与CN所成角的余弦值为()

A小B逗C在D亚

"5'5'3'3

12.设£1=6。1一1,匕=卷，c=lnl.l,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

%+y—4工0,

13.若实数x,y满足约束条件卜％-、一640,则z=%+y的最大值是—.

%-1>0,

14.已知向量Z=(m,2),b=(2,3m),若不与B共线且方向相反，则|2五+弓|=—.

15.在如图所示的平面四边形4BC■。中，4。=3,=BC=CO=广__------刁。

V3»则V5cos/—cosC的值为___.\/

16.若直线y=3%+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(%>0)的公切线，则

m=__,n=__.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知等差数列｛an｝的前n项和为又,且(16=2,55=5,等比数列｛%｝中，尻=4,b5=32.

(1)求数列｛即｝和｛b｝的通项公式：

(2)设％=an+bn,求数列｛”｝的前ri项和q.

18.(本小题12.0分)

某校组织了全体学生参加“建党100周年”知识竞赛，从高一、高二年级各随机抽取50名学

生的竞赛成绩(满分100分)，统计如表:

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

高一年级310121510

高二年级46101812

(1)分别估计高一，高二年级竞赛成绩的平均值五与五(同一组中的数据以该组数据所在区间

中点的值作代表)；

(2)学校规定竞赛成绩不低于80分的为优秀，根据所给数据.完成下面的2x2列联表，并判

断是否有90%的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关?

非优秀优秀合计

高一年级

高二年级

合计100

2

附：产=9+盛端露(b+3其中…+b+c+d-

a0.150.100.050.01

Xa2.0722.7063.8416.635

19.(本小题12.0分)

如图甲所示的正方形中，"1=12,AB=A1B1=3,BC==4,对角线44,分

别交BBi，CG于点P,Q,将正方形沿BB1CG折叠使得与AA'i重合，构成如图

乙所示的三棱柱4BC-4祖0点M在棱AC上，且4M=y.

(1)证明：〃平面4PQ；

(2)求三棱锥M-4PQ的体积.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：各/=l(a>b>0)的离心率是争&,6分别是椭圆的左、右焦点，P是椭

圆上一点，且APF/z的周长是4+2H.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线y=kx+t与椭圆C交于M,N两点,。是坐标原点，且四边形。MPN是平行四边形，

求四边形OMPN的面积.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=lnx+^(aeR).

(1)当a=1时，求函数在(1,f(l))处的切线方程；

(2)若%>不>1时，恒有弋)*)<£,求a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为匕Z(其中戊为参数)•以坐标原

—oIiTia

点。为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为3pcos0+4psind+6=

0.

(1)将圆C的参数方程化为普通方程，直线，的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若M是直线I上任意一点，过M作C的切线，切点为4B,求四边形4MBe面积的最小值.

23.(本小题12.0分)

己知函数f(x)=|x-2|-2|x-1|,xeR.

(1)求不等式/(x)<4%+1的解集；

(2)若对于VxeR,a2-a>/(%)+\x-2\,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合4={x|0<x<2],B={x&Z\x>0},

则4nB={1,2},

AnB的子集的个数为22=4.

故选：C.

先求出anB,由此能求出anB的子集的个数.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：复数Zi，Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，Zi=l-2i,

则Z2=-1-21.

故选：B.

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为sina+cosa=；,

所以两边平方，司,得sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a=

则sin2a=

故选：D.

将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查

了方程思想，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为/(%)是定义域为R的奇函数，当x>0时，/-(X)=log2x,

所以，(4)=log24=2,

则/(-4)=-2.

故选：B.

由已知先求出/(4),然后结合奇函数的定义即可求f(-4).

本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由题意可得(0.002+0.003+0.005+0.005+0,15+a+0,005+0.004+0,001)X

2=1,

解得a=0.1,

•••周平均阅读时间在(10,12］内的频率为2a=0.20.

故选：A.

直接利用频率分布直方图的性质求解即可.

本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，

可设一条渐近线的倾斜角为a,所以5a+a=7T,可得a屋，

依题意"tan|=号e=；=Jl+5=等.

故选：A.

利用一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，求出倾斜角，列出关系式，即可求解双

曲线的离心率.

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力.

7.【答案】B

【解析】解：设外接球的半径为R，因为外接球的体积为36兀，所以/=^兀/?3=36兀，所以R=3,

设底面正方形ABCD边长为a,

因为长方体外接球的球心在体对角线中点，球直径为长方体体对角线，

所以＞/a2+a2+a2=2R=6，所以a=4,

所以长方体的表面积为2(4x4+2x4+2x4)=64,

故选：B.

根据长方体外接球直径为体对角线长求出底面边长，进一步求得长方体的表面积.

本题考查棱柱表面积，外接球的体积，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由图可知，最小正周期丁=2育一)=冗，

则3=—7T=2,

图象过点偿,2),

则2s讥(2Xl+卬)=2,即1+*=/+2kn,即口屋+2kn,kGZ,

切＜5，

则9屋，

故/(x)=2sin(2x+^),

所以/(称)=2sin(2x卷+*)=2s讥(半)=2sin(2n—=—1.

故选：D.

根据图象求出3和w，即可求函数/(%)的解析式，即可求解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：设该数列为｛aj,

•••数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29,

二数列｛4｝满足%=4,an-an_j=n+l(n>2),

0，n=(an一Qn-1)+(an-l—an-2)+…+(a2-al)+%=3+4+5+…+n+1+4

_(3+n+l)(n-l)+4=(n+4)(n-l)+%

22x17,.

A---+4=191.

Q]8=2

故选：c.

利用等差数列的求和公式，累加法求解即可.

本题考查了等差数列的求和公式，累加法的运用，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】解：抛物线c：y2=2px(p>0),则抛物线C的准线为》=一畀

•・•点P(-3,2)在抛物线。的准线为》=-2

•1•=-3,解得p-6,

••・抛物线C的焦点为(3,0),

过焦点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=fc(x-3),

联立第；"，整理得1/一6(2+k2)x+9/=o,

4=36(2+My-36k4=144/c2+144>0,

设4(匕,乃)，8(X242)，

2

•••%1+%2=6(缉),,%1%2=9,则％+y=k(X]+%2_6)=号,yy=/c(%i-3)(x-3)=36,

k2Kr22

3,2),

PA=(%I+3,%—2)>PB=(x2+3,乃一2),

又刀PB=0,则+3Qi+x2)+-2(%+y2)+13=0,

2

9+3X婚¥-36-2x孕+13=0,B|Jfc2-6/c+9=0,解得k=3.

k"k

故选：D.

由题意得抛物线C的准线为％=可得-?=-3,求出p,则过焦点(3,0)且斜率为/c的直线方程

为y=k(x-3),联立方程组，利用韦达定理，即可得出答案.

本题考查双曲线的性质和直线与双曲线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和

运算能力，属于中档题.

11.【答案】A

【解析】解：如图所示，取的中点E,连接EN,

则根据题意易得四边形MNEB为平行四边形，

BM//EN,

•••直线BM与CN所成角为NCNE,

又根据题意易知BC_L平面4CG4,且CNu平面ACC1人,

22

•••BC1CN,又EN=BM=屈而彳瓦薜=①，CN=y/^N+CXC=V3,

CNV3V15

.-.COS^CNE=-=7==—

故选：A.

将两异面直线平移成相交直线，再解三角形，即可求解.

本题考查异面直线所成角问题，化归转化思想，属基础题.

12.【答案】B

【解析】解：令/(%)=ex-1-x,x>0,

则/'(x)=ex-l>0恒成立，

故/(x)在(0,+8)上单调递增，/(x)>/(0)=0,

故e*-1>x,

所以6。1一1>0.1,

所以a>b,

又e*>x+1,

所以工>ln(x+1),

所以即b>c,

故c<b<a.

故选：B.

先构造函数/'(%)=e*-1-x,x>0,对其求导,结合导数分析函数的单调性，结合单调性可比

较a,b的大小，然后可比较b,c的大小即可判断.

本题主要考查了函数的单调性在函数值大小

比较中的应用，属于中档题.

13.【答案】4

【解析】解：由约束条件，画出可行域如图，

目标函数2=x+y可化为：y=-x+z,得到

一簇斜率为-1，截距为Z的平行线,

要求Z的最大值，须满足截距最大，

.•・当目标函数过点4或C时截距最大,

由｛:;>4=0可得23)，

.(2x-y-6=0,io2、

*U+y-4=0可得应可。)'

z的最大值为4.

故答案为：4.

x+y-4<0,

先根据约束条件件2%-y-6W0,画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化

-1>0,

成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可.

本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大

小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度.属简单题.

14.【答案】竽

【解析】解：向量五=©犯2),石=(2,3巾)，行与石共线且方向相反，

则-3771=2x2,解得m=—2或2(舍去)，

故丘=(一,,2),b=(2,—6)»

所以2胃+b=(|,—2),即|2元+b|=J(|)2+(—2)2=

故答案为：拶.

根据已知条件，结合向量平行的性质，求出小，再结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可

求解.

本题主要考查平面向量平行的性质，属于基础题.

15.【答案】1

22

【解析】解:由题意得A。2+AB2_2AD-ABcosA=BC+CD-2BC-CDcosC,

,:AD=3,AB=BC=CD=a,

・•・12—6yj3cosA=6-6cosC，即75cos4—cosC=1.

故答案为：1.

22

由余弦定理得m+AB2-2AD-ABcosA=BC+CD-2BC•CDcosC,结合题意可得12-

6y/3cosA=6—6cosC，求解即可得出答案.

本题考查余弦定理.，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

16.【答案】一27

【解析】解：设直线y=3%+m与曲线y=/(X>0)相切于点(//),

由函数y=>o),得y'=3/,则3a2=3(a>0),解得Q=1,

.・.I3=34-m,即?n=-2,

设与曲线y=-x2+nx-6(%>0)相切于点(83b+m),

由函数y=—x2+nx—6(%>0),得y'=-2x+n,则一2b4-n=3(6>0),

又一〃+九8-6=3b—2,

:.—b2+b(3+2b)—6=3b—2,而b>0,则b=2,n=7.

故答案为：-2；7.

设切点坐标，利用导数求得在切点处的切线方程，结合切线为y=3x+m,即可求得小与九的值.

本题考查利用导函数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛。九｝的公差为d,

因为%=2,55=5,

所以的+5d=2,5al+10d=5,

解得%=d=所以an=1+|(n-1)=2,

设等比数列也｝的公比为q，则q3=1|=8,解得q=2,

则瓦=?=2,所以bn=2n.

n

(2)由(1)得：cn=an+bn=^+2,

所以Tn=。+2)+(|+22)+(|+23)+•••+©+2")

=(1+1+|+-+1)+(2+22+23+…+2n)=1n(n+1)+2n+1-2.

【解析】(1)根据等差数列和等比数列性质结合题中已知条件，便可求出内,d,瓦，q的值，进而

求得数列｛斯｝和｛%｝的通项公式；

n

(2)由(1)可知cn=an+bn=^+2,然后利用分组求和法求出数列的和.

本题考查了等差数列和等比数列的基本知识和分组求和法的应用，考查了学生的计算能力，属于

中档题.

18.【答案】解：(1)高一年级随机抽出50名学生竞赛成绩的平均值估计为看=4x(55x3+65x

10+75X12+85x15+95x10)=78.8,

高二年级随机抽出50名学生竞赛成绩的平均值估计为五=4x(55x4+65x6+75x10+

85x18+95X12)=80.6,

故估计高一，高二年级竞赛成绩的平均值分别为78.8与80.6.

(2)2X2列联表如下：

非优秀优秀合计

高一年级252550

高二年级203050

合计4555100

2100x(25x30-25x20)2

•X=——/—ucX1.01<2.706'

八45x55x50x50

•••故没有90%的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关.

【解析】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属于基础题.

(1)根据表格的数据，结合平均值公式，即可求解.

(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.

19.【答案】(1)证明：过M作MN〃CQ,交4Q于N,连接PN,BM,

由于PB〃CQ,则MN〃PB,所以M,N,P,8共面,

且平面MNPBn平面4PQ=PN,

因为48=3,BC=4,所以AC=44'—4B—BC=12-3-4=5,

又在正方形44'4i'4i中，^CAQ=p

7

所以PB=AB=3,AQC=7,••tanZ.QAC=

由AM=y,得MN=yx|=3=

所以四边形MNPB为平行四边形，则BM〃PN,

又PNu平面4PQ,仁平面APQ,所以BM〃平面4PQ；

(2)解：由(1)知4c2=4口2+8。2,所以4BJ.BC,

因为4c=5,AM=印即AM="C，

3”3..3〃3..311c4~,

所以KM-APQ=y^C-APQ—y^P-ACQ=7^B-ACQ=7^Q-ABC='X§X/X3X4X7=6.

【解析】(1)过M作MN〃CQ,连接PN,BM,证明四边形MNPB为平行四边形，根据线面平行的

判定定理即可证明结论；

(2)根据三棱锥的等体积法，将三棱锥M-APQ的体积转化为求Q-4BC的体积，结合二者之间的

数量关系，可得答案.

本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题.

_c_

20.【答案】解：(1)由题意可得『=a=T,可得Q=2,c=8,庐=小一c2=4-3=1,

2Q+2c=4+2V3

所以椭圆的方程为：1+y2=i；

4,

(2)设MQi，%),/V(x2,y2),

222

联立627t■：4,整理可得：(1+4k)x+8ktx+4t—4=0,

A=64k2t2-4(1+4/c2)*(4t2-4)>0,即产<1+fc2,

.8kt.j,x..2t4t2—4

“1+"2=一左，力+丫2=以％z1+%2)+Q2£=宙，％/2=南，

因为四边形OMPN是平行四边形，所以OP的中点与MN的中点重合，

所以P(-品，篇)，而p在椭圆上,

所以----T1------Tz=1,整理可得：4t2=l+4k2,

(l+4〃y(1+加)/

2222

|MN|=Vl+fcV(%i+x2)-4x1x2=yjl+k--4•^5=V1+fc,

2

竺含3_4*=后口停

、i6t44Kq

。到直线MN的距离弓一了=二，

J1+必

所以S四边形OMPN=2SAOMN=2x-\MN\-d=V1+k2-6

即四边形OMPN的面积为8.

【解析】(1)由离心率的值及三角形的周长，可得a，c的值，进而求出b的值，求出椭圆的方程；

(2)联立直线MN的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，进而求出MN的中点的坐标，由

平行四边形的性质，可知P点坐标，代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出|MN|的表达式及。到

直线MN的距离d,由平行四边形的面积为三角形面积的2倍，代入三角形的面积公式，求出四边

形的面积.

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，平行四边形性质的应用及平行四边形面积的求

法，属于中档题.

21.【答案】解：⑴函数f(x)=/nx+素aCR),xe(0,+oo),

当a=l时，/⑴=»白=等

又〃1)=；，

二切线方程为y-g=g(x—1),化为x-2y=0.

(2)当内＞小＞1时，恒有笑芈2＜3,即/当1)一/(*2)＜/1一/2,变形为/(%1)一如＜

/(x2)-1x2,

构造g(x)=/(X)=lnx+^-^x,

即函数g(x)在区间(1,+8)为减函数，

则g'(x)=5一意-；弋产-。<。在(1，+8)恒成立，

令H(%)=-ax2+2%-a,则"(%)<0在(1,+8)恒成立，

化为。2嘉，

2x_22_

”>1,；•而=正式道=1，

•••a>1,

a的取值范围为［1,+8).

【解析】⑴函数f(x)=仇x+景aeR),xG(0,+8),利用导数的运算法则可得尸(x),可得(⑴，

利用点斜式即可得出切线方程.

(2)当%>%2>1时，恒