2023年北京市朝阳区高三高考一模数学试卷含详解

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一

数学2023.3

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.已知集合A-卜卜"｝,集合8=｛巾>。｝,则（）

A.（—co,—2]B,[—2,0）C.[—2,+oo）D.（0,2]

2若q>0>b,则（）

Aa3>b3B.>例C.D.In（〃-/?）>0

3设（1+x）=%+qx+a2%?+',+,若4=%，则〃=（）

A.5B.6C.7D.8

4.已知点A（-l,0）,8（1,0）.若直线丁二辰—2上存在点P,使得NAP3=90。，则实数人的取值范围是（）

A.（-oo,-V3]B.[后+8）

C.D.（-co,-U[A^,+OO）

5.已知函数/（x）=x3+x,贝|J“X|+尤2=°”是"/（%）+/（工2）=°”的（）

A充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.过双曲线鼻—方=1（。>0/>0）的右焦点尸作一条渐近线的垂线，垂足为A.若NAFO=2ZAO尸（。为

坐标原点），则该双曲线的离心率为（）

A.旦B.毡C.2D.拽或2

233

7.在长方体ABC。-A中，AG与平面4B。相交于点M,则下列结论一定成立的是（）

A.AMLBDB.1BD

C.AM=-MCD.MB=MD

21

8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

/(x)=sinx+gsin2x(xeR),则下列结论正确的是

()

a

A.的一个周期为兀B./(x)的最大值为5

C./(X)的图象关于直线彳二兀对称D./(1)在区间［0,2K］上有3个零点

9.如图，圆M为,/BC的外接圆，AB=4，AC=6,N为边BC的中点，则()

B.10C.13D.26

10.己知项数为&(%eN*)的等差数列｛4｝满足4

1,一a[„.i<an^n-2,3,/).若%+。2++%=8,则&

4，

的最大值是()

A.14B.15C.16D.17

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

2

11.若复数”币，则”

log,x,x>\

12.函数J'(x)=<3的值域为

y,x<\

13.经过抛物线/=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,8两点，若|AB|=4,则OAB(。为坐标原点)的面

积为.

14.在__48。中，a=4>/2>b=m,sinA-cosA=0.

(1)若加=8,贝！Jc=

(2)当机=(写出一个可能的值)时，满足条件的一ABC有两个.

15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力(战斗单位数)随时间的变化遵循兰彻斯特模型:

x(t)=Xocosh

，其中正实数X0,又分别为红、蓝两方初始兵力，r为战斗时间；x(。,

=%cosh

_.t.-x

y(f)分别为红、蓝两方f时刻的兵力;正实数a,b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；coshx=e+e

2

和sinhx=《土分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另

2

一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为r给出下列四个结论：

①若*0＞乂且。=人，则响＞y(f)(OMYT)；

②若X0＞E且则T=']n沪§；

aNX。-%

Xb

③若肃()〉一，则红方获得战斗演习胜利；

X)a

④若区＞、口，则红方获得战斗演习胜利.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在三棱柱ABC-44G中，AAJ■平面ABC,D,E分别为AC,AC的中点，AB=BC=后,

AC=AA,=2.

(1)求证：4。_1_平面8。£

(2)求直线OE与平面ABE所成角的正弦值；

(3)求点。到平面4BE的距离.

17.设函数/(x)=Asin3xcos＜yx+cos23r(A＞0,口＞0),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作

为已知，使得/(x)存在.

(1)求函数/(x)的解析式;

(2)求/(x)在区间0卷上的最大值和最小值.

条件①：/(x)^f(-x)；

条件②：“X)的最大值为]；

条件③：/(X)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为3.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,

为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生获奖情况相互独立.

(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名

学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX;

(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为玲；从该地区高一男生

中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为Pi；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率

为〃2,试比较P。与巧运的大小.(结论不要求证明)

19.已知函数J'(x)=e2'-3-l(aeR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若〃力>0对xe(O,+。。)恒成立，求。的取值范围；

⑶证明：若/(x)在区间(0,+。)上存在唯一零点％,则/<a-2.

22

20.己知椭圆E:亍+)-=1(0<〃<4)经过点(、历」).

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)设椭圆E的左顶点为A,直线/：x=ay+l与E相交于例，N两点，直线AM与直线x=4相交于点Q.问：

直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.

21.已知有穷数列A:%,4,,aN(NeN*,N23)满足=,N).给定正整数”若存在正整

数s,r(swr),使得对任意的丘{0,1,2,，加一1},都有4+«=4+*,则称数列A是根一连续等项数列.

(1)判断数列A:—1,1,0,1,0,1,-1是否为3—连续等项数列？是否为4—连续等项数列？说明理由;

(2)若项数为N的任意数列A都是2—连续等项数列，求N的最小值；

(3)若数列A:4外,,厮不是4一连续等项数列，而数列4：4，。2，・，斯,一1，数列4：4,42，、环，0与数

列4吗,出，，心,1都是4—连续等项数列，且4=0，求心的值.

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一

数学2023.3

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.已知集合A-卜卜"},集合8={巾>。},则（）

A.（-co,-2]B.[-2,0）C.[-2,+00）D.(0,2]

【答案】C

【分析】化简A={x|-2WxW2},再由集合并集的运算即可得解.

【详解】由题意A={x|d44}={x[—2<x<2},8={%卜>0},

所以Au3={x[—2<x<2}u|x|x>0j={x|xN—2}--[—2,+a>）.

故选：C.

2.若。>0>力，则（）

A.o'>Z>3B.>网C.—<7-D.ln(tz-/?)>0

1111ab

【答案】A

【分析】根据不等式的性质判断A,取特殊值判断BCD.

【详解】a>0>h,.-.a3>0,&3<0,即故A正确；

取。=11=-2,则同>例不成立，故B错误；

取。=11=—2,则！•<《不成立，故c错误；

ab

取〃=则ln（a-b）=lnl=0,故D错误.

故选：A

3.设（1+%）=a。+4x+,若生=%，则〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】先求出（1+x）”展开式第r+1项，再由4=4列出方程，即可求出”的值.

【详解】（1+x）"展开式第r+1项7；+i=CX，

***〃=2+3=5.

故选：A.

4.已知点A（TO）,6（1,0）.若直线y=入一2上存在点p,使得NAP3=90°,则实数上的取值范围是（）

A.卜8,一6]B.[6+oo)

C.[-百,6]D.(―oo,—D[V^,+CO)

【答案】D

【分析】将问题化为直线丁="-2与圆f+>2=1有交点，注意直线所过定点（0,-2）与圆的位置关系，再应用点

线距离公式列不等式求k的范围.

【详解】由题设，问题等价于过定点（0,-2）的直线y="—2与圆f+V=i有交点,

2

又（0,-2）在圆外，所以只需<1可得女€

J1+/2

故选：D

5.已知函数/（力=%3+%，则“％+々=0”是“/（西）+/（工2）=°'’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由.”X）奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】因为定义域为R,/（一幻=（一4+（一幻=一/（幻，

所以/（x）为奇函数，且/（X）为R上的增函数.

当王+々=。时,々=一％,所以/（%）+/（%）=/（玉）+/（—%）=。,

即“西+々=0"是“/&）+/（9）=0”的充分条件，

当/（芯）+/（工2）=0时，/（-^I）=~.f（x2）=f（-X2）,由/（X）的单调性知，

X

玉=~2'BP%1+x2=0,

所以“玉+尤2=0”是".f（xJ+/（W）=0”成立的必要条件.

综上，“玉+々=0”是“/（七）+/（工2）=°”的充要条件•

故选：C

v-22

6.过双曲线与—%v=1（4>0g>0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若NAFO=2NAOR（。为

坐标原点），则该双曲线的离心率为（）

A.@B.C.2D.亚或2

233

【答案】B

小卜卜百求解,

【分析】由题意易得所以NAOR=30，从而tan30=-=^-,再甘

a3

【详解】解：在用△AR9中，因为NAFO=2NAOF,

所以44。口=30，则tan30

a3

所以w=RI=MW岑，

故选：B

7.在长方体ABC。-ABGA中，AR与平面A3。相交于点”，则下列结论一定成立的是（）

A.AM±BDB.4M上BD

C.AMD.MB=MD

【答案】c

【分析】根据平面交线的性质可知ANACt=M,又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据

长方体说明不一定成立.

【详解】如图，连接AC,8D,交于N,连接AG，AN,

在长方体中，平面ACG4与平面48。的交线为AN,

而AC,u平面ACCA，且AC,c平面43。=M,

所以M€AN,

又ANIAC、,AN=；AC，

所以故C正确.

对于A,因为长方体中AC与8。不一定垂直，故推不出故A错误；

对于B,因为长方体中4。与AB不一定相等，故推不出AM，8。，故B错误；

对于D,由B知，不能推出AN与5。垂直，而4N是中线，所以推不出故D错误.

故选：C

8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

/（x）=sinx+；sin2x（xeR）,则下列结论正确的是（）

3

A./（X）的一个周期为兀B./（X）的最大值为］

C.“X）的图象关于直线％=兀对称D.“X）在区间［0,2可上有3个零点

【答案】D

【分析】A.代入周期的定义，即可判断；

B.分别比较两个函数分别取得最大值的x值，即可判断;

C.代入对称性的公式，即可求解；

D.根据零点的定义，解方程，即可判断.

【详解】A./(x+7i)=sin(x+7i)+-^sin2(x+7i)=-sinx+^sin2x^/(x),

故A错误;

兀1元

B.y=sinx,当x=—+2E,ZeZ时，取得最大值1,>'=—sinlx,当2x=—+2防t,攵eZ时，即

222

x=：+E,ZeZ时，取得最大值所以两个函数不可能同时取得最大值，所以/(力的最大值不是:，故B

错误；

C./(2兀一x)=sin(2兀一x)+gsin2(2兀一x)=-sinx-gsin2x#J'(x),所以函数/(x)图象不关于直线

X=TI对称，故C错误：

D./(x)=sin%+gsin2x=sinx+sinxcosx=0,即sinx(l+cosx)=0,[0,2K],

即sinx=0或cosx=-l,解得：x=0,兀,2兀，

所以函数/(x)在区间［0,2可上有3个零点，故D正确.

故选：D

9.如图，圆M为.ABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边3c的中点，则AN.AM=()

B.10C.13D.26

【答案】C

【分析】由三角形中线性质可知AN=』(AB+AC),再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知

2

।1T1

\AM\cosZBAM=-\AB\,同理可得|AM|cos/CAM=—|AC|,再由数量积运算即可得解.

22

【详解】N是BC中点,

4N=g(AB+4C),

M为.ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

AM-AB=|AM||AB\cosNBAM=-|AB|2=-x42=8,

22

1,

同理可得AM-4C=—|ACF=18,

2

：.AMAD=AM-(AB+AC)^-AMAB+-AMAC^-xS+-xlS-\3.

22222

故选：C

10.已知项数为&(AeN*)的等差数列｛4｝满足q=1,；4.144(〃=2,3,

，&).若q+%++。《=8,则攵

的最大值是()

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

13

【分析】通过条件4=1,(〃=2,3,,%),得到"之一公二3，

再利用条件%+%++4=8得到16=24+Z(&-l)d,

进而得到不等关系：1622%+以%-1)彳工，从而得到女的最大值.

3k—2

【详解】由q=l,；%一|«/(〃=2,3,«)，得到l+(〃-2)dW4[l+(〃-l)d],

即3+(3〃-2)420,

3

当”=2,3,,,左时，恒有3+(3〃-2)d20,即42------,

3//-2

3

所以dN------，

3k—2

左(4+4)Z[2+(%-1)4]

由q+4+一+%=8,得到8=

22

所以16=2左+%(%—1)222%+女伏―1)-^-,1keN,ZN2,

3k—2

整理得到：3女2一49女+32W0,所以％<15.

故选：B

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

2

11.若复数z=—,则|2|=.

1+1

【答案】72

【分析】

根据121=|z|以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.

【详解】因为z=干2，所以上HzR吊?尸2两2=而/=-立

故答案为：\/2

【点睛】本题考查了复数模性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.

logjx,x>1

12.函数〃x）=3的值域为

3v,x<l

【答案】（—,3）

【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和x<l的值域，再取并集即可.

【详解】因为当为21时，bgix"。，

3

当x<l时，3、<3，

log,x,x>\

所以函数/（x）=5的值域为（―,3）,

3r<1

故答案为：（—8,3）

13.经过抛物线f=4〉的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点，若|AB卜4,则一。48（0为坐标原点）的面

积为.

【答案】2

【分析】求出焦点坐标，设直线46方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得。点到

直线AB距离，进一步求出三角形面积.

【详解】由题意知，抛物线-=4y的焦点尸（0,1）,设B（x2,y2）,直线AB：y^kx+l,

y-Ax+1-、…、

联立方程<2，消去X可得）一（2+4左2）>+1=0,A=（2+4炉）2—4=16攵4+16320,

X=4y

韦达定理得M+%=2+4k=1，

因为=|AF|+|fB|=y+必+2=2+4攵2+2=4,所以左？=（）,即4=（）,

所以直线A3：y=l,所以点。到直线AB的距离为|OF|=1,

所以S.A8=T。凡•|AB|=gxlx4=2.

故答案为：2

14.在ABC中，a=4>/2>b-m,sinA—cosA=0.

（1）若〃2=8,贝!|c=；

（2）当山=（写出一个可能的值）时，满足条件的,.ABC有两个.

【答案】①.472②.6（答案不唯一）

【分析】（I）求出A,再由余弦定理求解即可；

（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出加的范围即可得解.

【详解】（1）sinA-cosA=0,，tan4=l,

0<A<7i,A--,

由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA>即32=64+c?-16x，

2

解得c=4&.

(2)因为A=/=4"

TT

所以当bsin—<a<匕时;方程有两解,

即4/<m<8>

取帆=6即可满足条件（答案不唯一）

故答案为：4A/2；6.

15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型:

不⑺=X。coshfy/aht）-J—1^）sinhfyfabt\

，其中正实数X0,为分别为红、蓝两方初始兵力，/为战斗时间；

y(r)=%cosh—X()sinh

y（f）分别为红、蓝两方f时刻的兵力;正实数a,〃分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；coshx=TS

和sinhx=《±分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另

2

一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为，给出下列四个结论：

①若X。>%且a=6,则

②若X。>力且a=6,则T=-In^-y-；

a'X。-%

。b

③若常X■〉一，则红方获得战斗演习胜利；

-,则红方获得战斗演习胜利.

其中所有正确结论的序号是

【答案】①②④

【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出x(r)—y(r)=e'"(Xo—4)>0,所以①正确；对于②，

/_1_Lat_-at1IY_LV

利用①中结论可得蓝方兵力先为o,即~二乂。=0解得丁=—111］」^②正确；对于③和

④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间乙、芍，比较大小即可知③错误，④正

确.

%(/)=X。cosh(必)一Yosinh(〃)

【详解】对于①，若X0>E且。=6,则<

y⑺=%cosh(ar)-X°sinh(af)

叫/,所以x(>M=e'"(X°—U

/、e+ee—e

由X。>为可得x(t)-y(f)=ea,(X。一%)>0,即①正确；

对于②，当a=b时根据①中的结论可知x(r)>y(f),所以蓝方兵力先为0,

ar,-azat_-6?/

即y«)=三♦4—三二*。：。，化简可得e"'(Xo_K)=eT'(Xo+%),

x+丫(x+YY

即e2"，=黄优，两边同时取对数可得2〃=In'

“0-丫0

即"勺«堂号卜挹第，所以战斗持续时长为［他用

所以②正确；

对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，

设红方兵力为o时所用时间为4，蓝方兵力为o时所用时间为4，

即x(A)=X。cosh,可得e?而"

a

L%+X。员>0

同理可得e2a奶=-=-

x°L

X0+X

,解得法:

又因为x0,%,a力都为正实数，所以可得员〉口，红方获得战斗演习胜利;

%Va

所以可得③错误，④正确.

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在三棱柱ABC-A4G中，Ad*1•平面ABC,D,E分别为AC,AG的中点，AB=BC=>B，

AC=AAj=2.

（1）求证：AC,平面反汨；

（2）求直线OE与平面A8E所成角的正弦值;

（3）求点。到平面ABE的距离.

【答案】（1）证明见解析；

⑶手

【分析】（1）根据线面垂直的性质得到AC,根据等腰三角形三线合一的性质得到AC/BO,然后利用线

面垂直的判定定理证明即可；

（2）利用空间向量的方法求线面角即可；

（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.

【小问1详解】

在三棱柱中，D,E为AC,4G的中点，•••。后〃441，

•；A4,，平面ABC,，DE1平面ABC,

：ACu平面ABC,二DE_ZAC,

在三角形ABC中，AB=BC,。为AC中点，；.AC工80,

:DEcBD=D，DE,BDl平面BOE，；•AC,平面

【小问2详解】

如图，以。为原点，分别以DAO&OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

在直角三角形4?。中，AB=y[5<A£>=(AC=1,如=2,

D(0,0,0),£(0,0,2),A(l,0,0),B(0,2,0),

DE=(0,0,2),AB=(-1,2,0),AE=(—l,0,2),

设平面〃阳的法向量为m=(x,y,z),

AB-m=-x-^2y=0.z、

<,令％=2,则y=l,z=l,所以m=(2,1,1),

AE-m=-x+2z=0

设直线DE与平面AB石所成角为6,

,、IDE-AWI2JA

所以sin8=cos(DE,m)——rri=----/——.

\/|DE|.|^|2X74+1+16

【小问3详解】

,\DE-n\2A/6

设点。到平面ABE的距离为d,所以“=1।।1=7二丁.

UV63

17.设函数/(x)=Asin5cos5+cos20x(A>(),fy>()),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作

为已知，使得/(x)存在.

(1)求函数/(x)的解析式;

（2）求/（X）在区间0段上的最大值和最小值.

条件①：f（K）=f（一X）；

条件②：/（X）的最大值为1

条件③：/（X）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为].

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

【答案】（1）选择条件②③，/（x）=sin（2x+£）+g

3

（2）最大值为一，最小值为0.

2

【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简/（x）,再根据正弦函数的图

象和性质即可求解；

（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.

【小问1详解】

若选择条件①，

AAA

因为〃x）=]Sin2s+cos?cox,所以/(-x)=—sin(-2Gx)+cos2[-cox)=sin2a)x+cos2cox,

由/（1）=^（一1）可得4$抽2如二0对xeR恒成立，与A>0,G>0矛盾，

所以选择条件②③，

由题意可得了（-£）=Asin（-3）cos(-(ur)+cos2(-69%)=-Asin269%+cos2cox,

5兀兀

设——＜（p＜一,

22

A1c17A2+1./c\1

由题意可得/（x）=ysin2（vx+--COS269%+—=——-——Sin(269X4-^)4--，

A1_

其中cos0=/=,sine="^

A2+1,

因为的最大值为所以，

'+1+—=—,解得A=5/3，

222

所以sin0=」，（p=—,

26

rrt

由/(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得5=］,

所以丁=女=兀解得口=1,

2s

所以/(x)=sin(2x+F)+g.

【小问2详解】

TT71717兀1

由正弦函数的图象可得当xe0,-时，2x+-e，时2Y卜--,1

_2_66,~62

所以/(X)在区间［o,］J上的最大值为最小值为0.

18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,

为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；

(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名

学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX;

(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为玲；从该地区高一男生

中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为Pi；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率

为。2,试比较P。与且爰的大小.(结论不要求证明)

［答案］(1)---

240

(2)分布列见解析，期望EX=，

2

()n〉/+P2

33，/2

Cl©

【分析】(1)直接计算概率P(A)

（2）X的所有可能取值为0,1,2,求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计

算期望即可；

（3）计算出Po=1^,巧年=；,比较大小即可.

【小问1详解】

设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,

抽到的2名学生都获一等奖”，

则尸⑷=襄=击

【小问2详解】

随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

记事件8为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，

事件。为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.由题设知，事件8,。相互独立,

10+15+15=(,P(C)估计为25+25+403

且P（3）估计为

20030010

所以P(X=0)=P(BC)=P(B)P(C)

"=1）=「函口初）=尸（8）尸©）+尸（月）「（0=311-总+1-乐得=*

133

P(X=2)=尸(8C)=P(8)P(C)=—x—=一.

51050

所以X的分布列为

X012

28193

P

505050

281Q31

故X数学期望E(X)=0x—+lx—+2x—=-

、)5050502

【小问3详解】

〃。＞丐口，理由：根据频率估计概率得

40+901352……13

p（）=------=—=----,由（2）知〃］二一二----

°50050200125210

13

—I—

故四+小=510=1=50

2-2-4-200

则P0＞量

19.己知函数/(x)=e2'—aY-l(acR).

(1)求/(X)的单调区间；

(2)若〃x)>0对xe(O,+8)恒成立，求a的取值范围；

⑶证明：若/(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点看,则与<“一2.

【答案】(1)答案见解析

(2)a<2

(3)证明见解析

【分析】(1)讨论aWO、a>0,结合导数的符号确定单调区间；

(2)由/'(x)=2e2*-a,讨论“<2、〃>2研究导数符号判断JG)单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即

可得参数范围；

(3)根据(2)结论及零点存在性确定”>2时“X)在(，ln3,+。)上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应

22

用分析法将问题转化证/(a-2)>0在“>2上恒成立，即可证结论.

【小问1详解】

由题设/'(x)=2e2*-a,

当。40时，/'(》)>(),则/*)在R上递增；

当a>0时，令/'0)=0,则x='ln3,

22

若x<glng则/，(x)<(),/(x)在(一8,31咤)上递减；

若x>gln],则/'(x)>(),f(x)在(gin夕+e)上递增；

综上，aWO时f(x)的递增区间为R,无递减区间；

a>0时fM的递减区间为(-^iln-),递增区间为('In0,+oo).

2222

【小问2详解】

由f\x)=2e2x-a,

当a«2时，/'。)>0在(。,+«))上恒成立，故/*)在(0,+00)上递增，则/(x)>/(0)=0,满足要求；

当a>2时，由(1)知：/(x)在(―8,—In-)上递减，在(一In—,+e)上递增，而一In—>0,

222222

所以“X)在(O,；ln今上递减，在(；ln号+8)上递增，要使/(力>0对X€(O,M)恒成立，

所以，只需了(—1110)=@—3111色—1>0,

22222

令g(x)=x-xlnx-l且工>1,则g'(x)=-lnx<0,即g(x)递减,

所以g(x)<g(l)=0,故在Xe(0,+00)上/(x)>0不存在a>2；

综上，a<2

【小问3详解】

由(2)知：时，在(0,+o。)恒有/(%)>0,故不可能有零点；

a>2时，Ax)在(04In且)上递减，在(Ln@,+8)上递增，且/(0)=0,

2222

所以(04lnq)上/(x)<0,无零点，即/(Lln@)<0,且x趋向于正无穷时了。)趋向正无穷，

2222

I/7r

所以，在(5In5,+8)上存在唯一内,使/(x())=e2&-依。-1=0,

要证不<a—2,只需/(a—2)=e?""一纵”一2)—1>0在a>2上恒成立即可，

令f=a-2>0,若/(f)=e<T«+2)_l,则/(/)=2(e”一t一1),

令p(7)=e"_"l,贝！］“⑺=2e*—1>0,即〃⑺在(0,+8)上递增，故p(f)>p(0)=0,

所以〃”)>0,即以力在(0,+8)上递增,故以/)>献0)=0,

所以/(a-2)=e2("-2)一a(a-2)—1>o在a>2上恒成立，得证;

故与<。一2,得证.

【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定了(X)在某一单调区间上存在唯一零点的〃的范围后，应用分析法证

/(a-2)>。恒成立即可.

22

20.已知椭圆E:?+皂=1(0<〃<4)经过点(、历,1).

(1)