2022-2023学年广西壮族自治区贵港市平南县丹竹高级中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区贵港市平南县丹竹高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a＝，则的展开式中的常数项是

A．20

B．－20

C．

D．－参考答案：D略2.若函数在实数集上的图象是连续不断的，且对任意实数存在常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”．现有下列“关于函数”的结论：①常数函数是“关于函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③是一个“关于函数”．其中正确结论的个数是

(

).A．1

B．2

C．3

D．0参考答案：B

【知识点】抽象函数及其应用．B10解析：①对任一常数函数，存在,有

所以有，所以常数函数是“关于函数”②“关于2函数”为，当函数不恒为0时有与同号定义在实数集上的函数的图象是连续不断的，图象与轴无交点，即无零点。③对于设存在使得，即存在使得，也就是存在使得，也就是存在使得，此方程有解，所以③正确。故正确是①③，故选：B【思路点拨】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．3.若平面向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|=A．2 B.5C.2或5 D.或参考答案：C4.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）2参考答案：A方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为.选A.

5.经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1参考答案：C【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，），即可得出结论．【解答】解：设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0）∵渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，∴=1，∴n=2m，∴渐近线方程为x±2y=0∴双曲线方程设为x2﹣8y2=λ，代入点（1，），可得λ=1﹣2=﹣1，∴双曲线方程为8y2﹣x2=1．故选：C．6.直线与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极大值点，与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=（）A． B． C． D．2参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到cosx1=，点斜式写出AB直线的方程，求出点B的横坐标，由=?cos∠ABC==（x1﹣xB）2求出结果．【解答】解：∵P（，1），直线l的斜率即为OP的斜率=．设A（x1，y1），由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率，∴cosx1=，y1=sinx1==，∴AB直线的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0可得点B的横坐标xB=x1﹣y1，由=?cos∠ABC==（x1﹣xB）2==×=，故选B．【点评】本题考查直线的斜率公式，函数的导数与斜率的关系，求直线的点斜式方程，以及两个向量数量积的定义，属于中档题．7.如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA=AB=2，AC=BC,则二面角P-AC-B大小的正切值是（）A.

B.

C.

D.参考答案：B作AC的中点D，连接OD，PD，如图所示：根据已知可得，，所以，因为D是AC的中点，所以，所以即为二面角的平面角，因为PA=AB=2，所以AC=BC=，所以OD=，在中，，所以在中，.8.已知全集U={1,2,3,4}，若A={1,3}，则CUA=（

）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}参考答案：D9.设函数的最小正周期为π，且

，则(

)A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递减C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在上单调递增参考答案：A【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化为，然后根据题中条件求出与的值，得出函数的解析式，然后分别就与讨论，并求出的范围，结合余弦函数的单调性得出答案。【详解】由于，由于该函数的最小正周期为，得出，又根据，以及，得出．因此，，若，则，从而在单调递减，若，则，该区间不为余弦函数的单调区间，故都错，正确．故选：A。【点睛】三角函数问题，一般都是化函数为形式，然后把作为一个整体利用正弦函数的性质来求求解．掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础。10.若满足则下列不等式恒成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得的取值范围为，故不成立；在B处取得最小，故考点：线性规划二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点A在单位正方形的边上运动，与的交点为，则的最大值为

.参考答案：112.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的侧面积为

参考答案：略13.已知中，,，若线段的延长线上存在点，使，则____________．

参考答案：.因为线段的延长线上存在点，使，，所以，即，所以，所以，中，根据正弦定理.14.若满足约束条件，且，则z的最大值为

．参考答案：7由题,画出可行域为如图区域，，当在处时，.15.已知函数，若f（a）﹣2f（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】结合已知的函数解析式和对数函数的图象和性质，分别求出不同情况下实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：若a＞0，则﹣a＜0，不等式f（a）﹣2f（﹣a）＞0可化为：=3log2a＞0，解得：a∈（1，+∞）；若a＜0，则﹣a＞0，不等式f（a）﹣2f（﹣a）＞0可化为：=3＞0，解得：a∈（﹣1，0）；综上所述，a∈（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度中档．16.已知函数满足且，则=

参考答案：102317.在数列{an}中，已知a1=1，an+1﹣an=sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014=

．参考答案：1008【考点】数列与三角函数的综合．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】由an+1﹣an=sin，得an+1=an+sin，运用列举的方法，确定出周期，再求解数列的和即可得到答案．【解答】解：由an+1﹣an=sin，所以an+1=an+sin，∴a2=a1+sinπ=1，a3=a2+sin=1﹣1=0，a4=a3+sin2π=0，a5=a4+sin=0+1=1，∴a5=a1=1可以判断：an+4=an数列{an}是一个以4为周期的数列，2014=4×503+2因为S2014=503×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=503×（1+1+0+0）+1+1=1008，故答案为：1008【点评】本题考查了函数的性质，与数列的求和相结合的题目，题目不难，但是很新颖．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示：（1）试计算该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价x（元）与销量y（万件）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x与y的对应数据：售价x（元）2530384552销量y（万份）5.64.8据此计算出的回归方程为，求的值；（3）若从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．参考答案：解：（1）依题意，所求中位数为．（2），，∴．（3）依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率．

19.（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）求的值及函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的单调减区间．参考答案：.

（Ⅰ）.

显然，函数的最小正周期为.

……………8分（Ⅱ）令得，.又因为，所以.函数在上的单调减区间为．

……………13分20.(本小题满分13分)如图，已知直线与抛物线相切于点)且与轴交于点为坐标原点，定点B的坐标为.(1)若动点满足|=，求点的轨迹.(2)若过点的直线(斜率不等于零)与(1)中的轨迹交于不同的两点，试求与面积之比的取值范围.参考答案：解：（I）由，∴直线的斜率为，………1分故的方程为，∴点A坐标为（1，0）

……………2分设

则，由得整理，得

………………4分∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆．

………5分

（II）如图，由题意知直线的斜率存在且不为零，设方程为y=k(x－2)(k≠0)①将①代入，整理，得，由得.

设则②

……………………7分令，由此可得由②知.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是.

……13分21.已知p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）解出关于p，q的不等式，根据若p是q的充分条件，得到[﹣4，2]?[1﹣m，1+m]，求出m的范围即可；（2）根据q是p的充分条件，得到[1﹣m，1+m]?[﹣4，2]，求出m的范围即可．【解答】解：（1）p：﹣x2﹣2x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．故p：﹣4≤x≤2，q：1﹣m≤x≤1+m，若p是q的充分条件，则[﹣4，2]?[1﹣m，1+m]，故，解得：1≤m≤5；（2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，即q是p的充分条件，则[1﹣m，1+m]?[﹣4，2]，∴，解得：0＜m≤1．22.（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；

（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．参考答案：解：（1）①如图1所示，当MN在正方形区域滑动，即0＜x≤2时，

△EMN的面积S==；·····························2分②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即2＜x＜时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵E为AB中点，∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG＝.又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．∴，即．·················5分故△EMN的面积S＝＝；································