高中数学-指数与指数函数教学设计学情分析教材分析课后反思

１．重视过程，引导学生参与《标准》指出：学生的数学学习活动不应只限于教师、教育、模仿和练习。高中数学课程还应倡导自主探索、动手设计、合作交流、阅读自学等学习数学的方式；鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发现他们的创新意识。在数学概念与理论的教学中，引导学生亲历知识的发生、发展过程，即数学模式的建构过程，以培养学生的原创性思维。让学生通过探索、反思，修改、完善，经历曲折和反复，给学生尝试成功的机会，让学生从中体验数学的过程和品尝成功的快乐。２．以人为本，面向全体学生《标准》的最高宗旨是：“一切为了每一位学生的发展”。数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。在教学中，教师应设计阶梯式教学，降低难度梯度，以适合学生已有的知识结构和心理发展水平，引导学生发挥自己的认知能力去发现和探求问题。3．结合《标准》，本节课力争实现：（1）了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的含义，掌握幂的运算；（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10,1/2,1/3的指数函数的图象；（4）体会指数函数是一类重要的函数模型。学情分析：从学生的认知角度上看，学生已经复习了函数的概念与性质，也复习了函数图像的变换，为本节课的复习提供好了良好的知识基础，完成本节课的内容是没有问题的；从学生的情感态度和能力上看，学生在单个知识面前比较从容，对指数与指数函数的图像与性质能够做到有效记忆。但是在数形结合方面，以及分类讨论、换元方面，学生都显得能力不足，也就是说学生对于知识建构、知识综合运用的能力还比较弱，数学思想的应用也需要进一步培养。1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()答案B解析∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.故选项B正确．2．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝(eq\f(1,2))2.5，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．c>a>bC．b>a>c D．a>b>c答案D解析a>20＝1，b＝1，c<(eq\f(1,2))0＝1，∴a>b>c.3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝eq\f(1,9)得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝(eq\f(1,3))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.4．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案D解析方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<eq\f(1,2).②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<eq\f(1,2).5．已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.本节课讲的内容是《指数与指数函数》。在一轮复习过程中，本节课的内容属于基础内容，面对文科学生，让他们充分认识好基本初等函数，就可以更容易的利用基本初等函数衍生出其他的函数，让学生体会基本初等函数的重要性，因此课程设计在第一节课不宜太难。而本节课课程内容难度适中，课件设计精美，内容和难度层层深入，课堂教学环节紧凑，学生在不知不觉中跟着教师的步调完成了课时内容。学生反应状态比较好，在教师引导下构建指数函数的有关知识体系，并体会数形结合、分类讨论、换元的数学思想，在学习中收获成功的喜悦。完成目标程度比较理想。教材分析：函数是贯穿中学数学的核心内容,本节是继函数概念和基本性质后,较为系统地研究的第二个基本初等函数.通过这一节指数函数的研究,使学生进一步认识到函数是刻画现实世界变化规律的重要模型。高二文科一轮复习中，要让学生充分认识好基本初等函数，就可以更容易的利用基本初等函数衍生出其他的函数，让学生体会基本初等函数的重要性.最新考纲：了解指数函数模型的实际背景；理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10,1/2,1/3的指数函数的图象；体会指数函数是一类重要的函数模型。基础内容的复习改变了教材中直接填结果的做法，而是通过阅读考纲提出问题，让学生回忆来完成基础知识教学。指数与指数函数主要从指数幂的运算、指数函数图像、指数函数的单调性、以及指数函数与二次函数的复合几个方面设计例题，基本涵盖考纲要求。指数——指数运算图象——数形结合、分类讨论指数——指数运算图象——数形结合、分类讨论指数函数比较大小性质应用求值域

综合应用指数与指数函数综合应用指数与指数函数换元法换元法教学设计

一、考纲要求、引出正题

阅读最新考纲，并思考：1、有理指数幂、指数运算法则2、指数函数的图像与性质1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数

【设计意图：复习基础知识内容。由浅入深】

二、基础篇——指数幂运算例1化简：(1)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),ab4ab)(a>0，b>0)；(2)eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)＝________.解(1)原式＝eq\f(a3b2ab,ab2ab)＝ab＝ab－1.(2)eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)＝3××3×2＝3

思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【设计意图：完成目标——理解有理指数幂，以及指数幂的运算。通过例题归纳此类问题的解决关键点】

三、基础篇——指数函数图象例2(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)D(2)[－1,1]解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

【设计意图：培养数形结合的思想方法，注意图像对于函数的重要性】

四、基础篇——指数函数性质应用命题点1比较指数式的大小例3(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1解析(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B.命题点2求函数值域例3(1)函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是____________．解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．

思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题.（3种类型）(2)简单的指数不等式范围注意取正值，若底数含参，要注意分类讨论.【设计意图：函数性质应用问题，培养学生学习知识、应用知识的能力】

五、进阶篇——综合应用与思想方法

典例(1)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数f(x)＝的单调减区间为_______________．思维点拨(1)求函数值域，可利用换元法，设t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．解析(1)因为x∈[－3,2]，所以若令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，则t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8))，故y＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4).当t＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(3,4)；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)).(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57))(2)(－∞，1]温馨提醒(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．[失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．

【设计意图：数学知识体系的建构和数学思想方法的渗透】三、小结——知识方法回顾

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】

四、作业布置：

课后练习限时检测

【设计意图：检查学习效果，及时反馈，查漏补缺】

本节课内容是《指数与指数函数》，课堂45分钟，复习指数与指数运算，指数函数的图像与性质，主要是图像和单调性的应用方面，全部完成。完成效果从以下两方面看：知识体系的构建方面本节课教师通过课堂上引导复习，学生回顾指数与指数函数的相关内容，经历知识的发生发展过程。例题主要涵盖指数运算，函数图像，函数单调性应用三个方面，将指数函数的图像与性质的考察方法和考查形式，以及应对方式都展现出来。从学生学习来看，基本能够掌握以上内容，只是在知识之间的结合应用方面有所欠缺，需要进一步加强练习。课后练习在这方面补充上去，可以完成目标。情感态度与能力方面受到教室座位分布的限制，不能更大面积的让学生展示，学生合作也不充分。但同时好处是学生多了独立思考的时间和机会，能够真正动脑，动笔完成一道具体的完整的题目，培养了独立思考的能力。而且通过例题的引导完成，也提高了学生的成功体验。例题设计主要加强了数形结合、分类讨论的思想，以及最后换元思想的培养，让学生在这三大思想方面有所提升。从