幂函数与二次函数

幂函数与二次函数定义：形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数.一、常用幂函数的图象与性质y＝xy＝x2y＝x3

y＝x－1特征性质函数图象函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3

y＝x－1定义域值域奇偶域定点R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增

增增(－∞，0](0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)减增和减单调性3.零点式：y＝

，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标.2.顶点式：y＝

，其中

为抛物线顶点

坐标；二、二次函数的表示形式1.一般式：y＝

；ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)三、二次函数的图象及其性质

a＞0

a＜0图象定义域值域R

R

a＞0

a＜0对称轴顶点坐标奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数a＞0

a＜0x∈(－∞，－]是；减函数x∈(－∞，－]是；增函数x∈(-+－∞，]是；增函数x∈(_+∞]是；减函数单调性最值1.若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)是(

)A.f(x)＝x2－1

B.f(x)＝5x2C.f(x)＝－x2D.f(x)＝x22.已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，

则f(1)的范围是(

)A.f(1)≥25B.f(1)＝25C.f(1)≤25D.f(1)＞253.已知函数f(x)＝，且f(2x－1)<f(3x)，则x的取值范围

是

.概念练习：DA例1：若点()在幂函数f(x)的图象上，点()在幂函数g(x)的图象上，定义试判别函数的奇偶性、并求函数h(x)的最大值以及单调区间.

【解】设f(x)＝xα，因为点()在f(x)的图象上，所以＝2，所以α＝2，即f(x)＝x2；又设g(x)＝xβ，点

在g(x)的图象上，所以(－2)β＝，所以β＝－2，即g(x)＝x－2.在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如下图所示，根据图象可知函数h(x)是偶函数，最大值等于1，单调递增区间是(－∞，－1)和(0,1)；递减区间是(－1,0)和(1，＋∞).则有：

例2：

已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式.

【解】如图所示，∵函数图象的对称轴为x＝－，(1)当t＋1≤－，即t≤－时，h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5，即h(t)＝t2＋5t－1(t≤－).(2)当t≤<t＋1，即时，(3)当t＞－时，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.综上可得例3.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，

求a的值.解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1对称轴方程为x＝a.(1)当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(3)当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴(舍).例4：已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件：f(－x＋5)＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由.【解】

(1)f(x)满足f(－x＋5)＝f(x－3)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故＝1，b＝－2a.又f(x)＝x有等根，即ax2＋(b－1)x＝0有等根，则b＝1，(2)由在区间[m，n]上有值域[3m,3n]，则故∴函数f(x)在[m，n]上为增函数.∴f(m)＝3m，且f(n)＝3n，∴m、n是方程f(x)＝3x的两个不等根.∴＋x＝3x，即x2＋4x＝0，∴x1＝0，x2＝－4，m＜n，∴m＝－4，n＝0.

2014年7月学考：(2009·江苏高考)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.[解]

(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a＞0，即a＜0.由a2≥1，知a≤－1.因此，a的取值范围为(－∞，－1].(2)记f(x)的最小值为g(a).我们有f(x)=2x2+(x-a)(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知，f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.(ⅱ)当a＜0时，若x＞a，则由①知，若x≤a，则x＋