广东省湛江市华港高级中学2021年高三数学文期末试卷含解析

广东省湛江市华港高级中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B2.抛物线的焦点到准线的距离是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C4.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A．2 B． 4 C． 2 D． 4参考答案：D略5.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695566719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954参考答案：068略6.已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．2008参考答案：B【考点】程序框图． 【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000． 【解答】解：i=1，s=2017，i=2； s=2016，i=3； s=2016，i=3； s=2016，i=4， s=2016，i=5； s=2015，i=6； s=2010，i=7； s=2009，i=8； s=2008，i=9； s=2007，i=10； s=2000，跳出循环，输出s=2000， 故选：B． 【点评】本题考查程序框图和算法，考查学生的运算能力． 7.已知集合，，则，则等于(

)A6

B7

C8

D9参考答案：D略8.若则=（

）A.1

B.3

C.

D.参考答案：D9.已知集合，，且，那么的值可以是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.在的展开式中，含的项的系数是

A．56

B．－56

C．55

D．－55参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.参考答案：答案：12.已知数列的通项，若数列的前项和为，则

．（用数字作答）参考答案：480结合数列的通项公式分组求和有：,则.13.已知x，y为正实数，则的最小值为_________.参考答案：【分析】化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14.函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．参考答案：【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）其对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）∵图象的一条对称轴是直线，∴φ=+kπ，即φ=kπ，（k∈Z）∵﹣π＜φ＜0，当k=﹣1时，可得φ=．故答案为：．15.在的二项展开式中，常数项等于

．(用数值表示)参考答案：–160展开式的通项公式为，由得，所以常数项为。16.将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影票全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票连号，那么不同的分法种数是

．参考答案：96

略17.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则

.（用分数表示结果）参考答案：.考点：离散型随机变量的概率.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1?k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若?+?=64，求直线l1、l2的方程．参考答案：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴?+?=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．19.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4，∠PAB=60°（I）若PE中点为．求证：AE∥平面PCD；（Ⅱ）若G是PC的中点，求三棱锥P﹣BDG的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（I）取PC的中点G，连结DG，EG，根据已知条件容易说明四边形ADGE为平行四边形，从而有AE∥DG，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（Ⅱ）三棱锥P﹣BDG的体积=VP﹣BDC，即可求三棱锥P﹣BDG的体积．【解答】（I）证明：如图，取PC的中点G，连结DG，EG；∵EG∥AD，且AD=EG，所以ADGE为平行四边形；∴AE∥DG，且AE?平面PCD，DG?平面PCD；∴AE∥平面PCD；（II）解：侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AB=2，∠PAB=60°，∴P到平面BDC的距离为，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=2，BC=4，∴S△BDC==4三棱锥P﹣BDG的体积=VP﹣BDC==2．【点评】考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．解答： 解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．21.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）当的最小值；

（2）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（1）当时，

-----------3分

-----------5分（2）对任意的实数恒成立对任意的实数恒成立

---------------6分当时，上式成立；

----------7分当时，当且仅当即时上式取等号，此时成立。

----------9分综上，实数的取值范围为

--------------10分22.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3Sn=an﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}前n项的和为Tn，证明：Tn＜．参考答案：考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等