庆阳市重点中学2024年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

庆阳市重点中学2024年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B.C. D.2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.8 B.16C. D.3．对数的创始人约翰·奈皮尔（JohnNapier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.6074．已知，，且，则（）A. B.C. D.5．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）A. B.C.4 D.6．函数的导数为（）A.B.CD.7．已知等差数列，，则公差d等于（）A. B.C.3 D.-38．下列语句为命题的是（）A. B.你们好！C.下雨了吗？ D.对顶角相等9．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.1610．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）A.圆上 B.双曲线上C.抛物线上 D.椭圆上11．甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.平均数C.中位数 D.都不相同12．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为A.1 B.-1C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线的准线方程是______14．已知数列的前项和.则数列的通项公式为_______.15．某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有___________.16．已知点P是双曲线右支上的一点，且以点P及焦点为定点的三角形的面积为4，则点P的坐标是_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设点是平面上任意一点，直接写出线段长度最小值.（不需证明）18．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，19．（12分）已知命题实数满足成立，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，若命题为真，命题或为真，求实数的取值范围20．（12分）设AB是过抛物线焦点F的弦，若，，求证：（1）；（2）（为弦AB的倾斜角）21．（12分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.22．（10分）设函数，其中是自然对数的底数，.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】令，代入可得，即得，再由函数的图象关于点对称，判断得函数的图象关于点对称，即，则化简可得，即函数的周期为，从而代入求解.【题目详解】令，得，即，所以，因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即，所以，即，可得，则，故选：D.第II卷（非选择题2、C【解题分析】画出直观图，利用椎体体积公式进行求解.【题目详解】画出直观图，为四棱锥A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE两两垂直，故体积为.故选：C3、D【解题分析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位.【题目详解】设，则，则，则，，的数位是607.故选：D.4、D【解题分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.【题目详解】因为，则，所以，，，因此，.故选：D5、A【解题分析】由，可得，再计算即可求解.【题目详解】由题意可知，所以，即.故选：A6、B【解题分析】由导数运算法则可求出.【题目详解】，.故选：B.7、B【解题分析】根据题意，利用公式，即可求解.【题目详解】由题意，等差数列，，可得等差数列的公差.故选：B.8、D【解题分析】根据命题的定义判断即可.【题目详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.故选：D9、A【解题分析】直接利用公式计算即可.【题目详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A10、A【解题分析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.【题目详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，则，，因为为底面内的一动点，所以可设，因此，，因为平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圆，因此，动点的轨迹在圆上.故选：A.【题目点拨】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.11、B【解题分析】由平均数、极差及中位数的定义依次求解即可比较【题目详解】，，故甲、乙的平均数相同，甲、乙的极差分别为，，故不同，甲、乙的中位数分别为，，故不同，故选：12、C【解题分析】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到直线的距离为，则由条件得，整理得所以，解得．选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由题意可得p=4,所以准线方程,填14、【解题分析】根据公式求解即可.【题目详解】解：当时，当时，因为也适合此等式，所以.故答案为：15、人##300【解题分析】根据人数占比直接计算即可.【题目详解】该校女生共有人.故答案为：人.16、【解题分析】由题可得P到x轴的距离为1，把代入，得，可得P点坐标【题目详解】设，由题意知，所以，则，由题意可得，把代入，得，所以P点坐标为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解题分析】（1）设，连结，根据中位线定理即可证，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果；（2）由菱形的性质可知，可证，又底面，可得，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）根据等体积法，即，经过计算直接写出结果即可.【小问1详解】证明：设，连结.因为底面为菱形，所以为的中点，又因为E是PC的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】证明：因为底面为菱形，所以.因为底面，所以.又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.【小问3详解】解：线段长度的最小值为.18、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元【解题分析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.【题目详解】（1）由题意，知，，∴结合参考数据知：因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系（2）∵，∴∴关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程得万元，∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元19、或【解题分析】首先根据复数的乘方及复数模的计算公式求出命题为真时参数的取值范围，再根据椭圆的性质求出命题为真时参数的取值范围，依题意为假，为真，即可求出参数的取值范围；【题目详解】解：因为，，，，所以，所以，所以为真时，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以，即为真时，所以为假时参数的取值范围为或，因为命题为真，命题或为真，所以为假，为真，或20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】（1）设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论；（2）由抛物线的定义，结合余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，两式相乘即可证明；【小问1详解】证明：由题意设直线的方程为，代入，可得，所以；【小问2详解】证明：如图，不妨设弦AB的倾斜角为锐角，作垂直于抛物线准线,垂足为M,N,由抛物线的定义可得，所以，同理可得，,所以，当为直角或钝角时，同理可证明，故.21、（1）（2）【解题分析】（1）根据降幂公式化简的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间；（2）由正弦定理边化角，从而可求得，根据锐角三角形可得从而可求出答案【题目详解】解：（1），由得所以的单调递减区间为；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵为锐角三角形，∴解得∴∴的取值范围为【题目点拨】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题22、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）当时，，求出，可得答案；（2）设，，，，，设，求出利用单调