2024届内蒙古乌兰察布市集宁地区高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届内蒙古乌兰察布市集宁地区高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（）A. B.C. D.2．已知函数，要使函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为A. B.C. D.4．已知，若与的展开式中的常数项相等，则（）A.1 B.3C.6 D.95．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（）网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率餐馆甲100095%100085%餐馆乙1000100%200080%餐馆丙100090%100090%餐馆丁200095%100085%A.餐馆甲 B.餐馆乙C.餐馆丙 D.餐馆丁6．在等差数列中，，，则的值是（）A.130 B.260C.156 D.1687．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.8．绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（）A.圆台 B.圆台或两个圆锥的组合体C.圆锥或两个圆锥的组合体 D.圆柱9．有关椭圆叙述错误的是（）A.长轴长等于4 B.短轴长等于4C.离心率为 D.的取值范围是10．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A.或 B.或C.或 D.或11．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A.9 B.8C.7 D.612．在等差数列中，为数列的前项和，，，则数列的公差为（）A. B.C.4 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知在时有极值0，则的值为____14．双曲线离心率__________.15．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________16．已知函数则的值为.____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，点E为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.（1）求C方程；（2）若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.19．（12分）如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若F为中点，求与平面所成角的正弦值20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，（1）求证：∥平面PCD；（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值21．（12分）在数列中，，且.（1）证明；数列是等比数列.（2）若，求数列的前n项和.22．（10分）已知中，内角的对边分别为，且满足.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】利用椭圆的定义可得结果.【题目详解】在椭圆中，，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.故选：B.2、A【解题分析】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，数形结合即可求解.【题目详解】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，因为当时，，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0，当时，单调递减，由图像可知：所以要使函数有三个零点，则.故选：A3、C【解题分析】，故，即，故渐近线方程为.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4、B【解题分析】根据二项展开式的通项公式即可求出【题目详解】的展开式中的常数项为，而的展开式中的常数项为，所以，又，所以故选：B5、D【解题分析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.【题目详解】餐馆甲的总好评率为：，餐馆乙的总好评率为：，餐馆丙的好评率为：，餐馆丁的好评率为：，显然，所以餐馆丁的总好评率最高.故选：D6、A【解题分析】由等差数列的性质计算得到，进而利用求和公式，变形求出答案.【题目详解】由题意得：，故故选：A7、D【解题分析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.【题目详解】设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D8、C【解题分析】讨论是按直角边旋转还是按斜边旋转【题目详解】按直角边选择可得下图圆锥：如果按直角边旋转可得下图的两个圆锥的组合体：故选：C9、A【解题分析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.【题目详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.故选：A.10、B【解题分析】根据题意列出的关系式，即可求得，再分焦点在轴与轴两种情况写出标准方程.【题目详解】根据题意，可得，所以椭圆的标准方程为或.故选：B11、A【解题分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【题目详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9，故选：A12、A【解题分析】由已知条件列方程组求解即可【题目详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、11【解题分析】由题知，且，所以，得或，①当时，，此时，，所以函数单调递增无极值，舍去②当时，，此时，是函数的极值点，符合题意，∴14、【解题分析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【题目详解】由已知，可得，所以，所以.故答案为：15、（1，1，1）【解题分析】设PD＝a，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)由cos〈，〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)16、-1【解题分析】详解】试题分析：由题意，得，所以，解得，所以考点：导数的运算三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】(1)用线线平行证明线面平行，∴在平面PCD内作BE的平行线即可；(2)求二面角的大小，可以用空间向量进行求解，根据已知条件，以AD中点O为原点，OB，AD，OP分别为x、y、z轴建立坐标系﹒【小问1详解】如图，取PD中点F，连接EF，FC﹒∵E是AP中点，∴EFAD，由题知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小问2详解】取AD中点O，连接OP，OB，∵是以为斜边等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD两两垂直，故以O原点，OB、OD、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图：设|BC|＝1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，则，设平面BED的法向量为，平面PBD的法向量为则，取，，取设二面角的大小为θ，则cosθ＝﹒18、（1）（2）1【解题分析】（1）由题意得，化简可得答案，（2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案【小问1详解】由题意得，即，整理得，因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C的方程为.【小问2详解】由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，设点，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因为，，所以.由，得，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】解法1：如图，连接交于点O，连接OD，因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，因为D为BC的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面平面解法2：因为在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，因为，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，∴，平面，所以平面；【小问2详解】设与平面所成角为，由(1)知平面法向量为，F为中点，∴，，∴即与平面所成角正弦值为.20、（1）详见解析；（2）【解题分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.【小问1详解】证明：如图所示：取PD的中点E，连接ME，CE，因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小问2详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面MBC的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面ABCD的一个法向量为：，所以，所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，又∵，∴