湖南省邵阳市五峰铺镇中和中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析

湖南省邵阳市五峰铺镇中和中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法正确的是（

）

A.命题“若，则”的否命题为“若，则”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定是“”D.命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：【知识点】四种命题．A2【答案解析】D

解析：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选：D．【思路点拨】本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题．2.中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为2cm,正方形边长为1cm，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

图1

图2参考答案：3.执行如图的程序框图，如果输入p=8,则输出的S=（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略4.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A．(－∞，0)

B.

C．(0，1)

D．(0，＋∞)参考答案：【知识点】根据实际问题选择函数类型．B11

【答案解析】B

解析：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【思路点拨】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．5.已知向量=（﹣1，2），=（﹣1，1），=（﹣3，1），则?（+）=(

) A．（6，3） B．（﹣6，3） C．﹣3 D．9参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：进行向量加法和数量积的坐标运算即可．解答： 解：．故选：D．点评：考查向量的加法和数量积的坐标运算，弄清数量积是一个数而不是向量．6.在平面斜坐标系中，，点的斜坐标定义为“若(其中分别为与斜坐标系的轴、轴同方向的单位微量)，则点的坐标为”.若，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：D7.下列命题中，假命题的是()A．

B.

C.

D.参考答案：【知识点】指数函数与对数函数B6,B7【答案解析】B解析：解：由题意可分析每一个选项，可知当时，，所以B为假命题，所以应选B.【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质，对每一个选项进行分析.8.要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（）A．5个

B．10个C．20个

D．45个参考答案：A9.

已知函数在区间上的最大值为,则等于(

)A．－

B．

C．

－

D．－或－参考答案：C10.抛物线y2=8x的焦点坐标是(

)A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，4）参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线y2=8x可得：p=4．即可得出焦点坐标．【解答】解：由抛物线y2=8x可得：p=4．∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我们可以利用数列{an}的递推公式an=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=．参考答案：66【考点】数列递推式．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．故答案为：66．【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．12.(文)的二项展开式中含项的系数为

.参考答案：21013.若圆与圆相交于，则公共弦的长为________.参考答案：公共弦所在的直线方程为，圆的圆心到公共弦的距离为，所以公共弦的长为。14.如果是定义在上的奇函数，且当时，的图象如图所示。则不等式的解是

。参考答案：15.若P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程

．参考答案：x﹣y﹣3=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心和半径，由弦的性质可得CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，由点斜式求得直线AB的方程．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣24=0即（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心，以5为半径的圆．由于P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，故有CP⊥AB，CP的斜率为=﹣1，故AB的斜率为1，由点斜式求得直线AB的方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故答案为x﹣y﹣3=0．16.在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是

．参考答案：17.观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为______________________________.参考答案：13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.由13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152，则第五个式子为:13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．参考答案：

解：（Ⅰ）由，得．所以．

…8分（Ⅱ）因为，所以．当，即时，函数在区间上的最大值为．当，即时，函数在上的最小值为．…13分

略19.已知f（x）=x，x∈（0，1）．（1）若f（x）在（0，1）上是单调递增函数，求a的取值范围；（2）当a=﹣2时，f（x）≥f（x0）恒成立，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2x0．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用导数的单调性求其最小值，分离参数法求解．（2）利用单调性证明存在唯一实数根ξ∈（0，1）使得h′（ξ）=0；证明f（x）≥f（x0）恒成立，x0是f（x）的极小值点，由f′（x0）=0，可知0＜x0＜ξ＜1．∴f（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增．f′（）=﹣1+，∴0＜x0＜；不妨设x1＜x2，由题意：f（x1）=f（x2），则：0＜x1＜x0＜x2＜1．要证明：x1+x2＞2x0，即证明：2x0﹣x1＜x2即可．【解答】解：（1）f（x）=x，x∈（0，1）．则f′（x）=2x+a﹣，∵f（x）在（0，1）上是单调递增函数，∴f′（x）≥0恒成立，即2x+a﹣≥0可得：2x﹣≥﹣a恒成立，令g（x）=2x﹣，x∈（0，1）．g′（x）=2﹣sin∵x∈（0，1）是g′（x）＞0，且g′（0）＞0，g′（1）＜0；∴g′（x）在区间（0，1）上存在唯一零点x′；所以g（x）在区间（0，x′）上单调递增，在区间（x′，1）上单调递减，故有，解得：a．所以f（x）在（0，1）上是单调递增函数，a的取值范围是[，+∞）证明：（2）当a=﹣2时，f（x）=，x∈（0，1）．则f′（x）=2x﹣2﹣，令h（x）=2x﹣2﹣，即f′（x）=h（x）；则h′（x）=2﹣sin显然x∈（0，1）上，h′（x）是单调递减．又∵h′（0）=2＞0，h′（1）=2＜0，故存在唯一实数根ξ∈（0，1）使得h′（ξ）=0；所以h（x）在区间（0，ξ）上单调递增，在区间（ξ，1）上单调递减，即f′（x）在区间（0，ξ）上单调递增，在区间（ξ，1）上单调递减；又∵f′（0）=﹣2+＜0，f′（1）=0；∴f′（ξ）＞0；因为f（x）≥f（x0）恒成立，所以x0是f（x）的极小值点，由f′（x0）=0，可知0＜x0＜ξ＜1．∴f（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增．f′（）=﹣1+，∴0＜x0＜；不妨设x1＜x2，由题意：f（x1）=f（x2），则：0＜x1＜x0＜x2＜1．要证明：x1+x2＞2x0，即证明：2x0﹣x1＜x2，∵x0＜2x0﹣x1＜1，x0＜x2＜1，所以只要证：f（2x0﹣x1）＜f（x2）＜f（x1）；即要证f（2x0﹣x1）＜f（x1）；设F（x）=f（2x0﹣x1）﹣f（x1）；即证F（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，F′（x）=﹣f′（2x0﹣x1）﹣f′（x1）=﹣h（2x0﹣x1）﹣h（x1）令M（x）=﹣h（2x0﹣x1）﹣h（x1）则M′（x）=h′（2x0﹣x1）﹣h′（x1）∵h′（x）在x∈（0，1）上单调递减．x0＜2x0﹣x1＜1，∴h′（2x0﹣x1）﹣h′（x1）＜0即h（x）＜0，x∈（0，1）上单调递减．h（x）＞h（x0）=﹣2f′（x0）=0；可得F′（x）＞0，在x∈（0，x0）上恒成立，则F（x）在x∈（0，x0）上单调递增，F（x）＜F（x0）=0；所以：x1+x2＞2x0．20.[选修4-5：不等式选讲]．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．21.（本题满分12分）已知函数的最大值是1，其图像经过点。（1）求的解析式；（2）已知，且求的值。参考答案：（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；（2）依题意有，而，，略22.（05年全国卷Ⅰ）（12分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。