广东省茂名市化州第三高级中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省茂名市化州第三高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需要13万元/辆，购买B型汽车需要8万元/辆，假设公司第一年A型汽车的纯利润为5万元/辆，B型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（

）A．8辆A型汽车，42辆B型汽车

B．9辆A型汽车，41辆B型汽车C．11辆A型汽车，39辆B型汽车

D．10辆A型汽车，40辆B型汽车参考答案：D略2.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合Cu（AB）中的元素共有(A)3个

（B）4个

（C）5个

（D）6个

参考答案：A3.设，，是空间任意的非零向量，且相互不共线，则以下命题中：①（·）·－（·）·=0；②；③.真命题的个数是（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B略4.已知

均为锐角，且，，则（

）A．

B．

C．或

D．不能确定参考答案：A5.已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】建立直角坐标系，求出向量，再根据向量数量积求结果.【详解】以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示直角坐标系，则,所以，故选B【点睛】本题考查利用坐标求向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知x∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则x的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案： C【考点】复数的基本概念．【分析】对已知式子分子分母同乘以i，可得（2﹣x）﹣i，由纯虚数的定义可得其实部2﹣x=0，解之可得答案．【解答】解：==（x﹣2）i2﹣i=（2﹣x）﹣i由纯虚数的定义可得2﹣x=0，故x=2故选C7.已知集合，则()A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B当共线时，，，此时方向相同夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且不共线。由得，且，即实数的取值范围是，选B.9.函数的定义域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知集合，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有三个零点，则的取值范围是

．参考答案：12.设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】根据不等式恒成立转化为求出z=x2+9y2的最小值即可，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+9y2，则z＞0，即=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，将y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，则判别式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值为，则a≤，则a的最大值为，故答案为：13.函数的定义域为______________．参考答案：略14.在的展开式中，各项系数之和为64，则

；展开式中的常数项为

．参考答案：6,1515.（不等式选做题）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：16.函数的定义域为 参考答案：略17.若是偶函数，且定义域为，则a=

b=

。参考答案：-1，0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆0交于点F，连接CF并延长CF交AB于E．

（I）求证：E是AB的中点；

（Ⅱ）求线段BF的长．参考答案：19.已知函数，.(1)设函数，求函数的单调区间；(2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：解

（Ⅱ）把方程整理为，即为方程.

…ks5u…………5分设，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根,即为函数在区间()内有且只有两个零点.

……6分…………7分令，因为，解得或（舍）

…8分当时,,

是减函数；当时,，是增函数.……10分在()内有且只有两个不相等的零点,只需即

∴解得,所以的取值范围是()．

略20.已知函数．（1）解不等式；（2）若，对，使成立，求实数m取值范围．参考答案：(1)不等式等价于：或所以，所以.....................6分(2)，，，当且仅当时取等号，所以，所以......................12分。21.某学校举行元旦晚会，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5cm以上的概率.参考答案：(1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以抽取的5人中，“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人.“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种.因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝.(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm)，身高分别为181cm，182cm，184cm，187cm，191cm；有2名女志愿者身高为180cm以上(包括180cm)，身高分别为180cm，181cm.抽出的2人用身高表示，则有(181，180)，(181，181)，(182，180)，(182，181)，(184，180)，(184，181)，(187，180)，(187，181)，(191，180)，(191，181)，共10种情况，身高相差5cm以上的有(187，180)，(187，181)，(191，180)，(191，181)，共4种情况，故这2人身高相差5cm以上的概率为＝.22.某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.（1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.参考答案：(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：；

或选手甲答了4个题，前3