《衍生金融工具》(第二版)习题及答案第11章

问题与应用1.国际黄金价格从2002年大约每盎司200美元变化到2007年大约每盎司700美元,再变化到2012年大约每盎司1600美元。同时期美国的消费者价格指数从2000年的180增加到2007年的205再增加到2012年的225。试回答下列问题:a.如果让你选择,你觉得黄金价格应该接近标准布朗运动还是几何布朗运动?解：标准布朗运动是指变量服从布朗运动几何布朗运动是指变量的对数服从布朗运动如果让我选，我认为仅凭三个数据无法判断黄金价格服从任何运动特征。事实上，金价变动非常复杂，受到非常多因素的影响。任意选取历史中几年，甚至超过十年的数据，进行统计检验，均有可能得出不同的分布规律，这就是样本的代表性偏差。当然，学术上为了便于讨论，通常可以理想地假定认为黄金的价格或者相对价格服从几何布朗运动，但是黄金交易员绝不会如此认为。我们也不要先入为主地认为黄金或者其他资产价格服从任何假设的分布。b.如果现在将黄金价格对物价进行调整,你的答案会不会更改?不会更改。2.在本章中我们使用例11—2来解释一般化的维纳过程。假设范例中的公司初始总资产中40%为负债,并假设债务的数值在未来五年内都会维持在现在的水平(不是百分比)。回答下列问题:a.请问两年后公司破产的概率有多高?(总资产小于负债。)解：由于z服从标准维纳过程，则：∆z=adt+bdz代入数据有：a=10b=20即：z(2)-z(0)=20+202ɛ则：公司破产即，公司资产小于负债，令事件为T所以有P(T)=P(z(2)<50*40%)=P(z(2)<20)=P(ɛ<-1.252)≈0.0384b.依你的意见,两年后这家公司的资产负债比会升高还是降低?解：公司资产负载比升高还是降低，在公司负债5年不变的情况下，即公司的资产是增加还是减少。由于z(2)-z(0)=20+202ɛ即E(z(2))=70即：公司资产的期望值增加，所以正常来说两年后这家公司的资产负债比会降低c.假设这家公司在外发行了1000万股。请问该股票的价格(在五年以内)会遵循怎样的分布?这样的股票价格运动模式是否符合本章中介绍的模式?解：所有者权益等于资产减去负债，构成股票的净资产，其遵循的分布为（单位：亿元）dB=50+10dt+20dz-50*40%=30+10dt+20dz假设股票溢价100%发行，即PB=2,且股价严格按照净资产的轨迹变化，则股价五年内服从的分布为（单位：元）dP=2dB/0.1=600+200dt+400dz即，该公司的股票价格遵循几何布朗运动3.在上一章中我们介绍了二叉树模型。如果我们将每一次二叉树的时间取极限到极小,同时利用上章的假设u=eσΔt以及d=a.p=0.5;b.p=er(提示:考虑股票价格的对数变动,并利用中心极限定理。)解：本题将证明股价二叉树模型的极限对应为对数正态分布（直观上思考：将二叉树图顺时针旋转90度，当步长足够小，股价对数价格的极限就是正态分布）。下面以为p=0.5例进行证明。考虑S其中R由于ΔS=St+ln=两边从0到T求和得，并对St在二叉树节点线性插值，且令Δtln由中心极限定理知当ΔtT因此ln即S当p=erST4.依据你对利率市场的了解,如果一定要选择,我们应该假设利率的变动遵循一般布朗运动还是几何布朗运动?解：利率是资金的价格，是所有资产定价和风险管理的基础。影响利率的因素特别多，因此通常认为利率服从布朗运动。但是利率有几个特性，一是均值回复，即利率通常在一定的区间波动，二是通常为正值，即利率不太可能为负。 学术上假定短期随机利率模型为d其中Wt为标准的Brown经典的利率模型有mmm5.变量X1以及X2遵循一般化的维纳过程。两者的漂移率均为μ且波动率均为σ。如果X1以及X2之间的相关系数为ρ,X1+X2会遵循怎样的过程?如果ρ=0会遵循怎样的过程?如果ρ≠0又会遵循怎样的过程?你从这样的练习中学到了什么?解：令X1和X2的初始值分别为0又由题有：dX1=μdt+σdz1(t)X1=μt+σz1(t)则X1的概率分布为∅（μt,dX2=μdt+σdz2(t)X2=μt+σz2(t)则X2的概率分布为∅（μt,当X1和X2之间的相关系数为ρ时,即dz1(t)dz2(t)=z2t=ρz1其中，z1t，zX1+X2=2μt+σz1t+σz2t=2μt+σ 因此，X1+X2的概率分布为：∅[2μt,2(ρ+1)σ2t]即服从广义维纳过程，漂移率为2μ，波动率为2(ρ+1)σ如果ρ=0的话，由于X1和X2相互独立，则X1+X2同样服从正态分布，即遵循d(X1+X2)=2μdt+2σdz,遵循漂移率为2μ，波动率为2σ的维纳过程。如果ρ≠0的话，X1和X2仍然服从维纳过程。从这样的练习中，我们可以知道2个服从维纳过程变量的和仍然是服从维纳过程的6.利用上题的结果,假设西南财经大学以及清华大学的最低录取成绩如同上题中的X1以及X2。假设两者之间的相关系数为1,那么两者最低录取成绩的差异会呈现什么样的过程?此外,这样的假设你觉得会有什么样的问题?解：两所高校最低录取成绩的起点可以有差异，漂移率和波动率相同，相关系数为1，则表明最低录取成绩服从相同的维纳过程。最低录取成绩的差异是初始的分数差加上扰动，即X1-X2在时间间隔t的变化的概率分布为：∅[X10-X20,2σ7.假设一只股票的年度期望收益率为12%,且标准差为20%。如果今天该股票的价格为20美元,且股票价格遵循几何布朗运动。依照上述条件回答下列问题:a.一个月后该股票的期望价格是多少?解：按照一般形式∆S/S服从∅（μ∆t,σ2∆t,）本题中S=20,μ=12%,σ2=0.04,∆t=1/12则，∆S/S概率分布为∅（0.01,0.0033）则：一个月后该股票的期望价格是E（S）=S+∆S=20.2b.一个月后该股票价格95%的置信区间为多少?解：一个月后该股票价格95%的置信区间为:[20.2-1.96*0.2*112*20,20.2+1.96*0.2*18.股票的技术分析假设过去的股票价格移动的路径可以用来预测未来股票价格的移动。例如,如果股票连续上涨两天后下跌三天,那么今天的股票上涨的机会就会比较大。假如股票的价格遵循本章所述的几何布朗运动,技术分析是否可以用来预测股票价格?解：技术分析认为可以借助股票价格的量价等图表来分析股价未来一定时期（尤其是短期）的走势，因此技术分析的基础认为市场是无效的。假如股票的价格遵循本章所述的几何布朗运动，因为布朗运动是马尔可夫过程，即股票未来的价格与历史股价以及股票价格如何演变到当前股价的路径无关。因此，股票价格遵循几何布朗运动的假设否定了技术分析的基础，技术分析不能用来预测几何布朗运动的股票价格。9.天气或气温等气象指标也是一种随机过程。依你的意见,这些指标是否遵循马尔可夫过程?是否遵循一般化的维纳过程?是否遵循伊藤过程?为什么?解：天气和气温是一种物理（即不像资本市场受人为互动性地干预和影响）随机过程，它受客观的物理规律影响，比如受到地球公转和自转的影响，有四季和白昼温差规律，因此并不遵循马尔可夫过程，也不遵循一般化的维纳过程。可以设置成遵循带均值回复（因为气温在上下限内波动）的伊藤过程。10.如果S遵循几何布朗运动(如式11.6),那么下列变量会遵循怎样的过程?a.Y=4S;解：当Y=4S时：∂y/∂s=4,∂2y/∂s2=0,∂y/∂t=0从伊藤引理中得出：dy=μydt+σydzb.Y=2S2;解：当Y=2S2时：∂y/∂s=4S,∂2y/∂s2=4,∂y/∂t=0从伊藤引理中得出：dy=(4μs2+2σ2s2)dt+4σs2dz=(2μy+σ2y)dt+2σydzc.Y=lnS;解：当Y=lnS时：∂y/∂s=1/S,∂2y/∂s2=-(1/S2),∂y/∂t=0从伊藤引理中得出：dy=(μ-(1/2)σ2)dt+σdzd.Y=er解：当Y=er∂y/∂s=-er(T-t)/S2,∂2y/∂s2=2er(T-t从伊藤引理中得出：dy=(-ry-μy+σ2y)dt-σydz11.中国的股市不同于外国,每天个股股价变动涨跌幅的限制为10%。也就是说,一天股价最高不能上涨超过10%,也不能下跌超过10%。依你的意见,在这样的限制下本章所介绍的股价变动过程是否适用于中国股市?解：本章假定股票对数价格服从正态分布，这主要是经验规律，即在分布的中间主体部分大致吻合，实际的尾部要比假定的对数正态分布要厚得多。每天股价涨跌停的概率不大，严格说不能用对数正态分布来描述A股价格变动过程，事实上，在没有涨跌停限制时，对数正态分布同样不能较好地描述涨跌超过10%的变动。因此，本章所介绍的股价变动过程适用于国外股市，同样适用于中国股市。12.农业为中国重要的产业。在衍生性的金融产品中,也有许多标的物为农产品,例如牛、玉米等。依照你的意见,我们是否可以利用本章所述的股票价格移动随机过程来表示农产品的价格?解：以农产品为标的的衍生品的价格本质上同股票价格有很多相似的地方，不同的是牛/玉米等农产品产量和价格有上下限，可以用股票价格移动的随机过程来表示。13.在习题2中讨论了利用本章所讨论的随机过程计算公司价值。实际上,公司的管理层对于股票价格的变化往往会使用财务上的操作进行调整。试讨论以下公司财务政策对于股价变动的影响:a.当公司股价过高时发行新股;解：通常而言增加了股票供给，使得期望股价下跌，表现为股价的一般维纳过程的漂移率减小。当然，若新股募集的资金若能极大提高生产效率，用于扩大再生产，收购兼并，提升发展，则也有可能继续提振股价。需要结合具体情形具体分析。b.当