专题1-4一元二次不等式及其他不等式7大考点

专题1-4一元二次不等式及其他不等式7大考点知识点一一元二次不等式的概念1、概念：我们把只有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。2、一元二次不等式的一般形式：或，其中均为常数，知识点二一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅一、解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；第二步：写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解第三步：根据不等式，写出解集.二、含参数的一元二次不等式讨论依据1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。三、分式、高次、绝对值不等式的解法1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式（1）（2）（3）（4）【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。2、高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：（1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；（2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；（3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）（4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）（5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间3、绝对值不等式：（1）的解集是，如图1．（2）的解集是，如图2．（3）．（4）或考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）己知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,所以.故选：A.【变式1-1】（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，，所以故选：B【变式1-2】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解不等式，得，即，而，所以.故选：D【变式1-3】（2023·广东广州·统考三模）设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，集合，，可得，所以.故选：C．考点二解含参数的一元二次不等式【例2】（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（）A．[－4，3]B．[－4，2]C．[－1，3]D．[－2，2]【答案】A【解析】原不等式可化为.当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即.综上可得：.故选：A.【变式2-1】（2023·北京东城·统考二模）若，则实数的一个取值为__________.【答案】（答案不唯一）【解析】因为，且当时，即时，，当时，即时，才有可能使得，当的两根刚好是时，即，此时的解集为刚好满足，所以，所以实数的一个取值可以为.故答案为:【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式.【答案】答案见解析【解析】由题意知，①当，即或时，方程的两根为，所以解集为；②若，即时，当时，原不等式可化为，即，所以，当时，原不等式可化为，即，所以；③当，即时，原不等式的解集为；综上，当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．【答案】答案见解析【解析】当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，若，即时，解集为或；若，即时，解集为；若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为；解集为或；解集为；解集为或.考点三三个“二次”之间的关系【例3】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】不等式的解集为，则方程的两根为和3，所以，解得，不等式为，即，或．故选：D．【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝________.【答案】24【解析】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系知：，或为方程的两个根，即，∴.故答案为：24【变式3-2】（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为______________．【答案】【解析】因为关于x的不等式的解集为，所以且方程的解为，则，所以，即，所以不等式的解集为．故答案为：．【变式3-3】（2022秋·辽宁·高三本溪高中校联考阶段练习）命题关于x的不等式的解集为的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式的解集为，则，得，所以命题的必要不充分条件表示的集合需真包含，所以是其必要不充分条件．故选：C考点四解分式、高次不等式【例4】（2023·四川·校联考模拟预测）已知集合．集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，故，因此，.故选：B.【变式4-1】（2023·辽宁丹东·统考二模）不等式的解集为（）A．B．C．D．或，【答案】C【解析】不等式等价于，等价于，解集为．故选：C【变式4-2】（2022秋·安徽亳州·高三亳州第一中学校考阶段练习）不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式可化为，即或，解得：或．∴不等式解集为：．故选：D．【变式4-3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）不等式的解集是__________．【答案】【解析】，即，即，则，根据穿根法解得，故答案为：.【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集为，则实数的值为___________.【答案】【解析】不等式等价于，的解集为，，所以的解集为，所以，所以.故答案为：考点五解含绝对值的不等式【例5】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得集合，，故，故选：A【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则的非空真子集的个数为（）A．14B．6C．7D．8【答案】B【解析】由可得或，故集合或，所以，所以，所以的非空真子集的个数为.故选：B.【变式5-2】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，，若中有且仅有三个整数，则只能是，故，解得，故选：B．【变式5-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数是R上的偶函数，不等式的解集为__________．【答案】【解析】由已知可得，则，，当时，，解之得；当时，，即，显然无解；综上解集为：故答案为：【变式5-4】（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】，当时，，即，解得，与取交集，得，当时，，即，成立，故，当时，，解得，与取交集，得，综上：的解集为，因为，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A考点六一元二次方程根的分布问题【例6】（2022秋·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令由题可知：则，即，故选：C【变式6-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A．-2B．C．D．1【答案】B【解析】由题意可得，解得或，设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.故两个根的倒数和为，，，，故，，故两个根的倒数和的最小值是.故选：B【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故时，，即，解得，故，故选：D【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．【答案】【解析】令，图象恒过点，方程0在区间内有两个不同的根，，解得.故答案为：考点七一元二次不等式恒成立问题【例7】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】关于的不等式的解集为R，则，解之得，则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件对应的a的范围应包含，则仅选项C符合题意.故选：C【变式7-1】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，为真命题，则或，解得，对于A，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误；对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误；对于C，，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确；对于D，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误；故选：C【变式7-2】．（2023·青海西宁·统考二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为命题：，，所以：，，又因为为假命题，所以为真命题，即，恒成立，所以，即，解得，故选：D．【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．【答案】－4【解析】∵当时，恒成立，