2022-2023学年广西南宁市高一（下）期中数学试卷【含答案】

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知i为虚数单位，在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,y)，若a//b，则A.(−1,−2) B.(−1,6) C.(−1,3) D.(−1,1)3.若函数f(x)=x2+1,x≤0logA.1 B.2 C.3 D.44.已知集合A={x|y=x+3},B={x|x−3x−1A.(−3,+∞) B.[−3,+∞) C.(−3,3) D.[−3,3)5.已知角α的终边经过点(−1,3)，则tanA.32 B.−34 C.−6.如图所示，△ABC的直观图是边长为2的等边△A'B'C'，则在原图中，BC边上的高为(

)A.26 B.6 C.27.若sinα=2sinβ,sin(α+β)⋅A.2 B.32 C.1 D.8.在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=A.67a+37b B.3二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x+1)i−y=−1+2i，复数z=(1−i)x+y，则以下结论正确的是(

)A.z的虚部为−2i B.z的模为2

C.z的共轭复数为2i D.z对应的点在第四象限10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，下列说法中正确的是(

)A.“△ABC为锐角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要条件

B.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形

C.命题“若A>B，则sinA>sinB”是真命题

D.11.下列说法正确的是(

)A.若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b≠c

B.若z1，z2为复数，则|z1⋅z2|=|z112.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a，b满足|a|=|b|=2，|A.a⋅b=−2 B.a与b的夹角为π3

C.|a−b第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知命题p：∃x0∈R,x02+2x0+a≤0，命题q：∀x>0,x+114.1−tan 15.若圆x2+y2−2ax−2by=0(a>0,b>0)被直线x+y=1平分，则116.如图，在△ABC中，已知BD=12DC，P为AD上一点，且满足CP=mCA+49CB，若△ABC的面积为四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)

设向量a、b满足|a|=|b|=1，且|3a−2b|=7．

(1)求a与b夹角的大小；

(2)求a18.(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinC=3sinC+3cosC，A=π3．

(Ⅰ)求c；

(Ⅱ)若BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于P，AM=3，以P为圆心，r(0<r≤1)为半径的圆上有一个动点T19.(本小题10分)已知a∈R，复数(1)若z为纯虚数，求a的值；(2)在复平面内，若z对应的点位于第二象限，求a的取值范围．20.(本小题12分)

已知函数f(x)=3sin2x+1−2cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f(A)=321.(本小题12分)

已知向量a=(3,k)，b=(0,−1)，c=(1,3)．

(Ⅰ)若a⊥c，求k的值；

(Ⅱ)当k=1时，a−λb与c共线，求λ的值；

(Ⅲ)22.(本小题12分)

已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．

(1)求实数λ的值；

(2)若e1=(3,1)，e2答案和解析1.【答案】D

【解析】∵11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i，

∴复数11−i的共轭复数为12−12【解析】a=(1,2)，b=(−2,y)，a//b，

则y=−2×2=−4，

a=(1,2)，b=(−2,−4)，

故a+b=(−1,−2)．【解析】根据题意，函数f(x)=x2+1,x≤0log3(x+3),x>0，则f(−2)=4+1=5，

则f(f(−2))=log28=3【解析】A={x|x≥−3}，B={x|1<x<3}，

故A∪B=[−3,+∞)．

故选：B．

5.【答案】D

【解析】因为角α的终边经过点(−1,3)，

所以tanα=3−1=−3，

则tan

6.【答案】A

【解析】在直观图中，

因为边长为2的等边△A'B'C'，所以B'C'上的高ℎ=3，

∴O'A'=ℎsin45∘=6，

∴在原图中，BC上的高AO=26【解析】因为cos所以sinα所以sin(α+β)又sin(α+β)⋅所以sin(α+β)⋅sin(α−β)所以12所以12(1−2sin又sinα=2所以4sin所以4sin所以sin所以12sinα又易知cosα所以sinαsinβ故选A．

8.【答案】B

【解析】如图：

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AC=AB+AD，BC因为BE=12所以BE=13所以AE=AF=因为AE=a，所以AB+1所以AC=故选：B．

9.【答案】BC

【解析】(x+1)i−y=−1+2i，

则x+1=2，−y=−1，解得x=1，y=1，

故z=(1−i)2=−2i，

z的虚部为−2，z的模为2，故A错误，B正确；

z−=2i，故C正确；z对应的点(0,−2)位于虚轴负半轴上，故D错误．10.【答案】AC

【解析】若△ABC为锐角三角形，则A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，且A+B>π2，即A>π2−B，又A∈(0,π2)，π2−B∈(0,π2)，则sinA>sin(π2−B)=cosB；反之，若B为钝角，满足sinA>cosB，不能推出△ABC为锐角三角形，故A正确；

由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π

11.【答案】BC

【解析】若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则a⋅(b−c)=0，即a⊥(b−c)或b=c，故A错误；

设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，

|z1|=a2+b2，|z2|=c2+d2，

则|z1z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|=【解析】∵|a|=|b|=2，|a+b|=23，

所以12=|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=4+2a⋅b+4，

解得a⋅b=2，A错误；

设a，b的夹角为α，则cosα=a⋅【解析】命题p：由题意可得Δ=4−4a≥0，解得a≤1；

命题q：由题意只需a<(x+1x)min，又当x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1是取等号，所以a<2，

因为p假q真，则a>1a<2，所以1<a<2，

即实数a的范围为(1,2)．

【解析】原式=tan

15.【答案】3+2【解析】由x2+y2−2ax−2by=0⇒(x−a)2+(y−b)2=a2+b2，

所以该圆的圆心坐标为(a,b)，

因为圆x2+y2−2ax−2by=0被直线x+y=1平分，

所以圆心(a,b)在直线x+y=1上，

因此有a+b=1，1a+2【解析】设AP=λAD，则CP=CA+λAD=CA+λ(CD−CA)=(1−λ)CA+23λCB．

又CP=mCA+49CB，则1−λ=m49=23λ，解得m=13，

所以CP=13CA+49CB，令|CA|=x，|CB|=y，

则S△ABC=12|CA|×|CB|×sin∠ACB=34xy=3，

所以xy=4，且x>0，y>0．

所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+1681y2+1627≥219x2×1681y2+1627=18.【答案】(Ⅰ)由正弦定理及bsinC=3sinC+3cosC，A=π3得csinB=3sinC+3cosC，

∴csin(C+A)=23(12sinC+32cosC)，

∴csin(C+π3)=23sin(C+π3)，

∵C∈(0,2π3)，∴C+π3∈(π3,π)，∴sin(C+π3)≠0，

∴c=23．

(Ⅱ)以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

则A(0,0)，B(19.【答案】(1)z=a−i1+i=(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−a+12i，

因为z为纯虚数，所以a−12=0，且−a+12≠0，则a=1．

(2)由(1)知，20.【答案】(1)因为函数f(x)=3sin2x+1−2cos2x=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

所以函数f(x)的最小正周期T=π．

令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)，得−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z．

(2)因为f(A)=3，所以2sin(2A−π6)=3，即sin(2A−π6)=32，

又A∈(0,π2)，所以2A−π21.【答案