全书课件第二章第六章8讲

第8讲 函数的应用最新考纲1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理函数的零点定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零

，即

f(α)＝0

，则α叫做这个函数的零点．变号零点：如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴

有交点 函数y＝f(x)有

零点

．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值

异号，即

f(a)f(b)<0

，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数

y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个4.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调

递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与

y轴

平行随x的增大逐渐表现为与

x轴

平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax诊断自测判断正误(在括号内打“√”或“×”)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(×)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件为ac＜0.(

√)幂函数增长比直线增长更快.(

×

)当x＞0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.(

√

)2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题中正确的是(

)A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点

C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点解析

由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0，2)内，故一定不在[2，16)内.答案

C623.已知函数f(x)＝x－log

x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

)A.(0，1)

B.(1，2)

C.(2，4)

D.(4，＋∞)解析

由题意知，函数

f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又

f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝6－log

4＝3－2

1＜0，由零点存在性定理，可4

2

2

＝－2知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点，故选C.答案

C4.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，2（x－2）

，x＞2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(

)A.2

B.3

C.4

D.5解析

由已知条件可得

g(x)＝3－f(2－x)＝|x－2|＋1，x≥0，23－x

，x＜0，函数y＝f(x)－g(x)的零点个数.即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2

个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，选A.答案

A5.(人教B必修1P52例2改编)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为

元.解析

设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)，则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.当x＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.答案

11.5考点一 函数与方程[微题型

1]

函数零点所在区间的判定【例1－1】(1)(2015·鞍山一模)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(

)A.(－1，0)

B.(0，1)

C.(1，2)

D.(2，3)(2)(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

)A.(a，b)和(b，c)内C.(b，c)和(c，＋∞)内B.(－∞，a)和(a，b)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内解析

(1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数

f(x)在R

上单调递增，对于A

项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A

不正确；同理可验证B，D

不正确，对于C

项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故f(x)的零点位于区间(1，2).(2)令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)·[2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a＜b＜c作出函数y1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.答案

(1)C

(2)A规律方法

判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时，

就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断，当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.[微题型

2]

判断函数零点个数121x【例

1－2】

(1)函数

f(x)＝x2－

的零点个数为()A.0

B.1

C.2

D.3(2)(2015·青岛一模)函数f(x)＝ln

x－x2＋2x，x＞0，4x＋1，x≤0的零点个数是

.121x解析

(1)因为y＝x

2

在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝

在x∈R121x上单调递减，所以

f(x)＝x

2

－

在

x∈[0，＋∞)上单调递增，12121x又

f(0)＝－1＜0，f(1)＝

＞0，所以

f(x)＝x

2

－

在定义域内有唯一零点.：(2)当x＞0

时，令g(x)＝ln

x，h(x)＝x2－2x.画出g(x)与h(x)的图象如图故当x＞0

时，f(x)有2个零点.1当x≤0

时，由4x＋1＝0，得x＝－4，综上函数f(x)的零点个数为3.答案

(1)B

(2)3规律方法

函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且

f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察

其交点个数即得零点个数.[微题型

3]

根据函数零点的存在情况，求参数【例

1－3】(2015·湖南卷)若函数

f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数

b

的取值范围是

.解析

由

f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b

的图象，如图所示.则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b

有两个零点.答案

(0，2)规律方法已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.【训练1】(1)(2016·济南一模)已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数

f(x)＝ax＋x－b

的零点所在的区间是(

)A.(－2，－1)

B.(－1，0)

C.(0，1)

D.(1，2)(2)(2015·

安

徽

皖

北

四

校

联

考

)

已

知

函

数

f(x)

＝2x－a，x≤0，2x－1，x＞0(a∈R)，若函数f(x)在R

上有两个零点，)则a

的取值范围是(A.(－∞，－1)C.[－1，0)B.(－∞，1]D.(0，1]解析

(1)∵a＞1，0＜b＜1，f(x)＝ax＋x－b，1∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，则由零点存在a性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点.(2)当x＞0时，由f(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝1.2当x≤0

时，由题意可得f(x)有一个零点，故a＝2x，因为x≤0，所以2x∈(0，1]，所以a

的取值范围为(0，1]，所以选D.答案

(1)B

(2)D考点二

二次函数的零点问题【例2】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解

(1)因为不等式

f(x)≤0的解集为[1，2]，所以

a＝－3，于是

f(x)＝x2－3x＋2.由

f(x)≥1－x2，得

2x2－3x＋1≥0，2解得x≤1

或x≥1

，所以不等式f(x)≥1

－x2的解集为

1xx≤2

或x≥1

.(2)函数

g(x)＝2x2＋ax＋3

在区间(1，2)上有两个不同的g（1）＞0，g（2）＞0，a零点，则1＜－4＜2，2Δ＝a

－24＞0，a＋5＞0，2a＋11＞0，即－8＜a＜－4，a＜－2

6或a＞2

6，解得－5＜a＜－2

6.所以实数

a

的取值范围是(－5，－2

6).规律方法

解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关

系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.【训练2】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解

法一

设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.法二

函数图象大致如图，则有

f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2＜0，∴－2<a<1.故实数a

的取值范围是(－2，1).考点三

函数模型的应用[微题型1]

二次函数模型的应用【例3－1】A，B两城相距100

km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度.求x的取值范围；把月供电总费用y表示成x的函数；核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解

(1)x

的取值范围是[10，90].5(2)y＝5x2＋2(100－x)2(10≤x≤90).25

15(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝

2

x2－500x＋25000＝

2

x－

3

＋15

1002

500003100，所以当

x＝

3

时，ymin＝500003.3故核电站建在距

A

城100

km

处，能使供电总费用

y最少.规律方法在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域的位置关系讨论求解.[微题型

2]

分段函数模型的应用【例3－2】某旅游景点预计2015

年1

月份起前x

个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x

的关系近似地满足2+1p(x)＝

x(x＋1)(39－2x)(x∈

N

，且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x

的近似关系是q(x)35－2x

（x∈N+，且1≤x≤6），＝160

x（x∈N+，且7≤x≤12）.写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；试问2015年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解

(1)当

x＝1

时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N+时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝1

122x(x＋1)(39－2x)－2(x－1)x(41－2x)＝－3x

＋40x，验证x＝1

也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N+，且1≤x≤12).(2)第x个月旅游消费总额为g(x)＝（－3x2＋40x）（35－2x）（x∈N+，且1≤x≤6），160（－3x2＋40x）·

x

（x∈N+，且7≤x≤12），即g(x)＝6x3－185x2＋1

400x（x∈N+，且1≤x≤6），－480x＋6

400（x∈N+，且7≤x≤12）.①当1≤x≤6，且x∈N+时，g′(x)＝18x2－370x＋1

400令g′(x)＝0，解得x＝5

或x＝140

舍去).9

(当1≤x＜5

时，g′(x)＞0，当5＜x≤6

时，g′(x)＜0，∴当x＝5

时，g(x)max＝g(5)＝3

125(万元).②当7≤x≤12，且x∈N+时，

g(x)＝－480x＋6

400

是减函数，∴当x＝7

时，

g(x)max＝g(7)＝3

040(万元).综上，2015年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3

125

万元.规律方法(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.【训练3】(1)(2016·武汉检测)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元

B.11万元

C.43万元

D.43.025万元(2)某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不

超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣