空间曲线及其方程

关于空间曲线及其方程第1页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三

x2+y2=1

x+y+z=2.yxz0例5:

柱面x2+y2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是第2页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三2.空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.第3页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例6:

如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2

上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解:

取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM第4页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三

(1)动点在圆柱面上以角速度

绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM

=t.从而x=|OM|·cosAOM

=acosty=|OM|·sinAOM

=asint

(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而z=MM

=vt得螺旋线的参数方程x=acosty=asintz=vt注:

还可以用其它变量作参数.xyzAOMtM第5页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三yxzAOMtM例如:

令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acosy=asinz=b当从

0变到

0+

是,z由b

0变到b

0+b,即M点上升的高度与OM转过的角度成正比.特别,当=2

时,M点上升高度h=2b,

h在工程上称h=2b为螺距.第6页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三3.空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程组(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5)方程(5)表示一个母线平行于z轴的柱面,曲线C一定在柱面上.xyzooC空间曲线C在xOy面上的曲线必定包含于:投影H(x,y)=0z=0第7页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三注:

同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.第8页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例7:

已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2=1和x2+(y1)2+(z1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:

联立两个方程消去z,得两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为椭圆柱面第9页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解:

半球面与锥面的交线为由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21于是交线C

在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21例8:圆柱面)(第10页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三研究方法是采用平面截痕法.§6二次曲面的标准方程1.定义由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,…,i,j

为常数且a,b,不全为零.c,

d,e,

f第11页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c

时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.2.几种常见二次曲面.(1)椭球面1用平面z=0去截割,得椭圆第12页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三

3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:特别:

当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2

,表示球心在原点o,半径为a的球面.第13页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三(2)椭圆抛物面:1平面z=k,(k0)截割,截线是平面z=k上的椭圆.k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2用平面y=k去截割,截线是抛物线第14页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三3类似地，用平面x=k去截割,截线是抛物线.第15页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三第16页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三一、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11a22－a12a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)副对角线主对角线1.定义1a12a21a22(＋)(－)§1n阶行列式的定义第17页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三当

a11a22－a12a210时，得唯一解对于a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)2、二元一次方程组的求解公式第18页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三记方程组(1)的解可以表示为：——克莱姆(Gramer)法则(2)a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2第19页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三引进记号：(+)(+)(+)(－)(－)(－)称为对应于数表(3)的三阶行列式二、三阶行列式1.定义2设有数表(3)主对角线副对角线第20页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例如：第21页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三易证：对于线性方程组(4)当第22页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三方程组有唯一解，记则方程组(4)的解为：——克莱姆法则第23页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三三、排列与逆序数<1>由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1,i2,…,in称为一个n级排列。例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，它们是n级排列的总数为n!个。定义3321;123;132;213;231;312;第24页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三<2>一个排列中，若较大的数is排在较小的数it的前面(is>it)时，称这一对数isit构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1,i2,…in)，简记为。132(123)=0,(312)=2,(45213)=7,例如：213312第25页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三(3)逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列(4)将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。653124623154(=11)(=8)12341432例如：(=0)(=3)第26页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三定理1每一个对换改变排列的奇偶性结论：在n(2)级排列中，奇偶排列各有个。第27页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三四、n阶行列式的定义分析：=0=2=2=3=1=1第28页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三类似地：第29页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三n阶行列式定义4第30页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1

计算下列n阶行列式000第31页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三0第32页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三0第33页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三行排列列排列213(=1)132(=1)(=0)123(=2)312考察：第34页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三定理2

n阶行列式的定义也可写成推论：第35页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例2：选择i和k，使成为5阶行列式中一个带负号的项解:其列标所构成的排列为：i52k3若取i=1，k＝4，故i=4，k=1时该项带负号。可将给定的项改为行标按自然顺序，即则

(15243)=4，是偶排列，该项则带正号，对换1，4的位置，则45213是奇排列。第36页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三一、行列式的性质性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：D=DT行列式DT称为行列式D的转置行列式。§2行列式的性质则第37页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三证：显然有bij=aji(i,j=1,2,…;n)则设行列式DT中位于第i行，第j列的元素为bij第38页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三性质2

互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号则D=－M第39页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三证：在M

中第p

行元素第q

行元素—=–D第40页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。证明:交换行列式这两行，有D=－D，故D=0第41页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三性质3

若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数k，等于该行列式乘以数k，即：第42页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三证明：推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。第43页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三性质4

若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。即:第44页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三证明：+第45页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三性质5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。即：第46页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三用ri表示D的第i行cj表示D的第j列rirj表示交换i、j两行ri×k表示第i行乘以kri+krj表示第j行乘以k加到第i行rik表示第i行提出公因子k记号：第47页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例1

计算行列式解：第48页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例2

计算行列式解：Dc1c2r2－r1第49页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三r4＋5r1r2r3r3+4r2r4－8r2第50页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例3：计算解：x+xx+xx+x第51页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三第52页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三在n阶行列式余下的元素按原来顺序构成的一个n－1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij

，中，划去元素aij所在的行和列，(－1)i+j称为aij的代数余子式，记作余子式带上符号§3行列式按行(列)的展开与克莱姆法则1.定义1一.拉普拉斯展开定理第53页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例如：在四阶行列式中，a23的余子式M23和代数余子式A23，分别为：第54页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三考察三阶行列式其中：A11,A12，A13分别为a11,a12,a13

的代数余子式.三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。第55页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三考察三阶行列式其中：A11,A12，A13分别为a11,a12,a13

的代数余子式.三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。第56页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三再考察二阶行列式二阶行列式也可由其子式的组合表示.第57页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例3.

计算三阶行列式解：D=第58页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三还可看出+0=8412=72=D,+36=24+60=72=D,第59页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三+84=1224=72=D.以及第60页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三定理1(Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。或即：第61页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三证明步骤：<1>

证第62页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三<2>

证第63页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三<3>第64页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三解：r2－r1r4+5r1按c2展开r1+4r2r3－8r2例4

用Laplace展开定理求例2§2第65页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三按c1展开第66页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三例5

证明四阶范德蒙行列式第67页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三证：D4r4－x1r3r3－x1r2r2－x1r1按c1展开第68页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三r3－x2r2r2－x2r1按c1展开第69页，讲稿共80页，2023年5月2日，星期三推论：n阶范德蒙(Vandermonde)行