江西省赣州市2023届高三下学期3月一模试题、数学（文）、含答案

赣州市2023年高三年级摸底考试

文科数学试卷

2023年3月

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4=｛引(1+1)(%-2)<0｝,8=｛犬|&<2｝,则4门8=()

A.(-l,4)B.(O,2)C.[(),2)D.(-l,2)

2.已知i为虚数单位，若空■=i+i,则实数a的值为()

2-i

A.-lB.lC.2D.3

3.已知命题p:VxeR,cos^,1；命题+/&<2,则下列命题中为真命题的是()

A.pcqB.(「p)AqC./?A(-U7)D.(^p)vq

4.某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收

额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是()

/11.60%7.00%

35.17%//华

中6.19%

20.48%地

区729%

1934%

13.41%

华南地区^J西南地区华中地区

A.该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%

B.该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多

C.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多

D.该公司2022年营收总额约为30800万元

5.若a为锐角，tana=-------，则tana=()

cos2a+1

A.；B.lC.2—GD.G

6.若等比数列｛%｝的公比为q,其前〃项和为S“，前〃项积为北，并且0<%<1</，则下列正确的是

()

A.<7>1B.0<q<1

c.Sn的最大值为S8D.7；,的最大值为7；

7.古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图

形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面

积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积“，即V=S/（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S表示平面

图形的面积，/表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知R/AACB中，AB±AC,AB=2,AC=4,贝1]

△ACB的重心G到AC的距离为()

42

A.-B.-C.lD.2

33

8.已知4=1080.70-3,6=1080,3。7。=0.5,则()

A..a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

一+1

(X<0),

9.已知函数/(x)=(J

则方程f（x）-/（x）-6=0的实根个数为)

X-1

(x>0).

A.3B.4C.5D.6

10.已知函数/（无）=cos[s-?J+Wy>0）的最小正周期为T,m<T<7T,且y=/（X）的图像关于点

学』）中心对称,

若将V=/（x）的图像向右平移优（加>0）个单位长度后图像关于N轴对称，则实数旭的

最小值为（）

re37r741\7i

A.—B.—C.D.----

10101010

11.已知棱长为3的正四面体S-A8C的内切球球心为O,现从该正四面体内随机取一点尸，则点P落在球

。内的概率为（）

A6兀R2百△兀n6兀

6371183

12.M为双曲线二—2=l（a〉0,b>0）右支上一点，耳、马分别是双曲线的左、右焦点，且

ab'

MFiMF2=0,直线加工交了轴于点N,若的内切圆半径为力，则双曲线的离心率为（）

A.72B，V3C.2D.3

第n卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23

题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知忖=4,恸=3,且a_L（a+b）,则向量。在向量上的投影为.

14.已知函数/（力=!/一/，（2）/+；（:-|,则曲线丁=/（同在（2,/（2））处的切线方程为.

15.已知函数丁=1+108“（2-力（。>（）且。。1）的图像恒过定点p,且点尸在圆X?+y?+如+/〃=（）外，则

符合条件的整数加的取值可以为.（写出一个值即可）

16.已知锐角；ABC的内角4、8、C的对应边依次记为a、0、c,且满足c-匕=2Z?cosA,则

sin（C+3）+2cos2（A—3）的取值范围为.

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（本小题满分12分）

双减政策落地后，五项管理原则出台.某学校为了加强落实其中的“读物管理”，鼓励优质读物进校园，营造学

校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野、陶冶情操、增长知识、启迪智慧、塑造良好品质和健

康人格等方面的积极作用，决定举办“阅读经典•收获未来”知识竞赛.

班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲、乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲、乙两人

5次模拟大赛的成绩，统计结果如下茎叶图：

（1）你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由：

（2）据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、

《水浒传》及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对1个的概率.

18.（本小题满分12分）

已知数列｛a,,｝是等差数列，｛2｝是等比数列，且满足q=4=1,34-%=机.

（1）若数列｛〃｝是唯一的，求实数加的值；

（2）若机=0,%=鲂2,求数列｛a,也｝的前〃项和。.

19.（本小题满分12分）

71

如图，在四棱锥P—ABC。中，平面PC£>_L平面==—,底面ABC。是平行四边

3

形，DC=PC=2AD=2,且点M、N分别是棱PZXAO的中点.

p

（1）证明：4），平面CMN；

（2）求点P到平面ABC。的距离.

20.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=e*+cosx-/nr,xe（（）,+8）.

（1）若函数〃x）在（（）,左）上单调递减，求实数团的取值范围；

（2）若证明：函数“X）有两个零点•

nn

参考数据：/。4.81,e3a2.85,e"。23.14

21.（本小题满分12分）

已知抛物线（7：/=2内">0）］为其焦点，点加（2,%）在。上，且S8“=4（。为坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若A,B是C上异于点O的两个动点，当/4。8=90时，过点。作QN_LA5于，问平面内是否存在

一个定点。，使得|NQ|为定值？若存在，请求出定点。及该定值：若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程

'-拒cos6

在直角坐标系xOy中，已知曲线£:『'一"C°（。为参数），曲线。2：0=，（->0），以坐标原点。为

y=sin。

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）曲线G的极坐标方程及曲线的普通方程；

（2）已知A、8是曲线G上的两个动点（异于原点），且/AO8=90，若曲线。2与直线AB有且仅有一个

公共点，求厂的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数/（%）=卜+2。|+2x~—（"0）.

(I)a=l,解不等式/(x),,6；

(2)证明：〃x)..2.

赣州市2023年高三年级摸底考试

数学（文科）参考答案

一、选择题

题号123456789101112

答案cDCABDBDABCA

03

8.解:因为log。70.3>log070.7=l,log03l<log030.7<log030.3,0<O.7<0.7°,即

«>1,0<Z?<1,0<C<1,又log()30•7<log()3而=g<^/5?7=0・7°5<0.7°3,

所以b<c<a,故选D.

12.由MR.9=(),所以.6MN为直角三角形，故内切圆半径

/——

22

\MF\+\MN\-\MN\-\MF\\MF]-\MF^\

------]--------------------------2-------------------ci—hz1

22

、

13.——14.x-y-3=015.5（取加＞4的整数即可）lo.z,

2J

16.解：由正弦定理，c-b=2bcosA,B|^sinC-sinB=2sinBcosA,

即sin(A+-sinB=2sinBcosA,展开整理得sin(A_5)=sinB,

因为锐角,ABC中，O.],A+B>m，A—Be

7171

所以A-B=3，即4=28,一<8<一.

64

又sin(C+3)+cos2(A-3)=sinA+2cos?8=sin2B+cos2B+l

TTTTTLTT

夜sin2B+?+1,因为2<3<一,所以一<2B<一,

6432

,77T713兀

所以一<2B+-<--所以范围为

1244

三.解答题

70+78+84+85+93℃

17.解：（1）甲的平均成绩为%=--------------------二82

5

73+74+81+90+92℃

乙的平均成绩为马=--------------------二82

5

2

甲的成绩方差s；=：[(70—82『+(78-82)2+(84_82)2+(85-82)+(93-82了]=58.8

2

乙的成绩方差为s；=；[(73-82)2+(74—82)2+(81—82)2+(90,82)+(92-82>]=62

由于％=电,5；<$，甲的成绩较稳定故派甲参赛比较合适

（2）记四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》的作者依次记为A3CD,则游戏互动

中，观众丙随机连线的结果有：

ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB-,BCDA,BCAD,BDAC,BDCA,BACD,BADC-,

CABD,CADB,CBDA,CBAD,CDAB,CDBA-,DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCBA,DCAB.

共24种连法

其中恰好连对1个的结果有：ACDB,ADBC；BDCA,BCAD-,CABD,CBDA；

DACB,QBAC共8种

Q1

所以观众丙恰好连对1个的概率为一=—

243

18.解：（1）由数列｛"｝是等比数列，4=1,设其公比为。，

由题设30-4=〃2,得3q2-q=m,BP3^2-q-m=0（*）

因为数列｛"｝是唯一的，所以对于方程（*）,

①若方程（*）有一个根为0,另一个不为0,把0代入方程，得，%=0,

当加=0时，＜7=；或0（舍去），故q=；,满足唯一性

②若方程（*）有两个相等的实根，且根不为0,则△=（-1）2+12机=（）,解得加=一」-,

12

代入（*）式，解得“=!，又瓦=1,所以｛4｝是唯一的等比数列，符合题意

6

所以，m=0或---

12

（2）由机=0,所以34-d=0,得%2-q=0,

解得q或0（舍去），此时

Q1

所以为=9为=3,所以等差数列｛a,,｝的公差d=幺二5=二=1,

3—13—1

（1、〃T

所以a”=1+（〃-1）x1=〃，即〃/〃二"一

I(1V<1丫一,

所以，=lxl+2x—+3x-+.+〃x-①

3⑴⑶

^=lxr2x(S+3x(S+,+(〃-陪+唱②

21r1丫32〃+3<1\

①-②得*7；=1+上+上+---------------------X一

3313,22⑴

92〃+31

所以---x----

4

7T

19.解：（1）因为DC=PC=2,NPDC=一

3

所以是正三角形，所以。。=2

又AD=1,ZPDA=—,由余弦定理得AP=+22-2xlx2xcos—=百

3V3

71

则AT>2+”2=£>尸，所以/D4P=］，即AD_LAP

因为点M是PD的中点.所以CM_LDP，点N是A£)的中点，所以MN〃AP,

所以ADJ_MV

又平面PCDJ_平面APD，平面PCDn平面APD=。尸,CM口平面PCD

所以Q0_L平面APD，因为40=平面AP0，所以。0_LA£>

因为CMcMN=M,CM、MNq平面CMN

所以A£>_L平面CMN

(2)由(1)得加，平面42。,0^=25足工=0,^^7=,4尸=且

322

在直.角.CMN中CN=,(J5)2+1立］=叵,

\22

设点P到平面ABCD的距离为〃，由VP_ACD=VC_APD

即丁xh=­x—xlx

32

解得h=2些，所以点P到平面ABCD的距离为名叵

55

20.解：⑴因为函数/(x)在(0,%)上单调递减,

所以/'(x)=e*-sinx-〃品()在((),4)上恒成立

又/ff(x)=ex-co&x>1-co&x..0,所以/'(x)在(0,+8)上单调递增

要使得/'(x)=e"-sinx—%,0在(0,4)上恒成立，

则/'(»)=e'—%,(),解得机.e"

即所求的实数加的取值范围为［e",+”)

(2)由(1)知.f'(x)=e*-sinx-m在(0,+力)上单调递增，

因为——，所以广e2一1一加<0,7'（万）=e"-m>0,

所以函数/'(x)在(0,+纪)上存在唯一零点re)，即/'⑺=0,

又X。为了（X）的极值点，即（为）=0,

所以I=%，此时机=e"-Sim；）

所以当刀40,毛）时，r（x）＜0,/（x）单调递减；

XG伉,+纥）时，/'（X）＞O,/（X）单调递增

又=+COSA^-mx0=e*°+©0雷一/（6飞—sinx（J

=（1一天）e%+cosx0+jQ）sinx0,

t己g（x）=（1-%）e*+cosx+xsinx,xe，乃），

则g，（x）=-xex+xcosx=-x（eA-cosx）＜-x（l-cosx）,,0,

所以g（x）在上递减，

127

所以g（"g|XHl-5-+台（1-等卜481+芋＜0，

所以〃无0）＜。

又/（0）=2＞0,/（2"）=e?"+1—2〃vr＞e2ff+l-2局=e"—2%）+1＞0,

所以函数“X）在（0,天）及伍,2%）上各存在一个零点，

即函数/（x）在（（）,+e）上有两个零点

1n

21.解：⑴因为点M（2,%）在。上，则y；=4p,而=3勺帆|=4

所以|%|=3

P

16,“

—=4p,所以〃=4

P

•••该抛物线的方程为＞2=8x

（2）法一：设4（内,％）,3（々,%）,玉々。（），不妨设X＞。，

•；/BQ4=90，则g+X%=去今+X%=0,

oo

解得y%=-64

①当AB与x轴不垂直时，%+%工°，玉#*2，

此时直线AB的方程为：尸"（X7J+M,

8X|Xy2

整理得y=

y+%M+%

8/c、

乂%=-64,;.AB的方程为：y=----7（%一8）,

y+%

则直线AB恒过定点“（8,0）

ONLAB,即ON_LNM,

r.N在以。M为直径的圆上，

该圆方程为（％-4）2+丁=16

即当。为该圆心（4,0）时，|N@=4为定值

②当AB_Lx轴时，乂=一%=8,

此时玉=々=8,ONLAB,：.N（8,0）；

当Q（4,0）时，也满足|N9=4

综上，平面内存在一个定点Q（4,0）,使得|QN|为定值4

法二：设直线AB的方程为》=阳+”,人（玉,乂）,3（9,%）

x=my+n,,

联立<2=>y-Smy-8n=0

y=8x,

由题意△=64机2+32〃>0

由韦达定理得：%+%=8"，X•%=一8〃

22

由26OA=90,即04.08=工］*2+y%=0

解得乂％=-64

即yt-y2=-8〃=-64="=8,直线AB恒过定点M（8,0）

下同法一

22.解：（1）由曲线£：《“一C°（。为参数），

[y=sin，

得+y2=cos2^+sin2^=1,

2

所以曲线C1的普通方程为y+/=l

又由x=0cosy=psin。得p2cos26,+2p2sm20=2,

所以曲线G的极坐标方程为夕2cos4+2p2sin26>=2

又曲线。2：2=广，得0?=/,即/+〉2=厂2

所以曲线。2的普通方程为一+/=/（「>0）

（2）由题意NAQB=90，设A（g,a）,则3（夕2，。+90）,

又曲线G与直线A8有且仅有一个公共点，

故「为点。到直线AB