福建省龙岩市长汀县涂坊中学高三数学理测试题含解析

福建省龙岩市长汀县涂坊中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是公差不为0的等差数列，14，则A．0

B．7

C．14

D．21

参考答案：D2.图1是根据随机抽取的120名年龄在的市民而得到的样本的频率分布直方图如图所示；图2是求所抽取的年龄在范围内的市民的平均年龄的程序框图，则判断框中应填

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化．【专题】创新题型；函数的性质及应用．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．4.（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，f（1）==0，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．【点评】：题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．5.阅读程序框图，若输入，，则输出分别是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A6.如图，正方体AC1中，，点P为平面EFGH内的一动点，且满足，则点P的轨迹是A、抛物线B、圆C、椭圆D、双曲线参考答案：C7.北京某大学为第十八届四中群会招募了30名志愿者（编号分别是号），现从中任意选取6人自按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时人选并被分配到同一厅的选取种数是（

）A．25

B．32

C．60

D．100参考答案：8.已知函数y=f（x）对于任意的满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==，∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则②g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴＜，即f（﹣））＜f（﹣），故B正确；③g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故③正确；④g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（），故④正确；由排除法，故选：A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．9.设复数z满足，其中i为虚数单位，则z=

（

）

A．-1+2i

B．-1-2i

C．1+2i

D．1-2i参考答案：B略10.“直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是

A．直线l与平面内的任意一条直线垂直

B．过直线l的任意一个平面与平面垂直

C．存在平行于直线l的直线与平面垂直

D．经过直线l的某一个平面与平面垂直参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图像的一条对称轴为,则以为方向向量的直线的倾斜角为

参考答案：略12.一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .参考答案：13.某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为

．参考答案：5014.已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线y=x对称，直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点，且，则圆C的标准方程为:___________.参考答案：略15.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，﹣2），则sin2α=．参考答案：﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义，求出sinα和cosα，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：由三角函数的定义，可得：sinα==，cosα==，那么sin2α=2sinαcosα=×2×=﹣．故答案为：．16.在极坐标系中，以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是．参考答案：ρ=2cosθ【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：以点（1，0）为圆心，1为半径的圆为（x﹣1）2+y2=1，把代入即可得出．【解答】：解：以点（1，0）为圆心，1为半径的圆为（x﹣1）2+y2=1，把代入可得ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．故答案为：ρ=2cosθ．【点评】：本题考查了直角坐标化为极坐标方程，属于基础题．17.若直线l1：ax+y+2a=0与l2：x+ay+3=0互相平行，则实数a=．参考答案：±1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】把直线方程化为斜截式，利用相互平行的直线与斜率、截距之间的关系即可得出．【解答】解：直线分别化为：y=﹣ax﹣2a，y=﹣，∵两条直线互相平行，∴，解得a=±1．故答案为：±1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.（1）

求曲线C的方程；（2）

动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。参考答案：【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想.高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.19.在极坐标系中，已知曲线C1：和曲线C2：，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值.参考答案：(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为，∵，∴过点，设直线的参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，当且仅当时取等号，所以线段长度的最小值为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.20.如图，已知椭圆的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.（1）求圆C2的标准方程；（2）已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆C1于P，M两点.（i）求证：；（ii）试探究是否为定值.参考答案：（1）；（2）（i）详见解析；（ii）是定值.【分析】（1）由已知可得：直线的方程为：，利用四边形的内切圆为可求得内切圆的半径，问题得解。（2）（i）设切线，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得，所以，问题得证。（ii）①当直线的斜率不存在时，，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得：，同理可得：，问题得解。【详解】（1）因为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，可得直线的方程为：则原点O到直线的距离为，则圆的半径，故圆的标准方程为.（2）（i）可设切线，将直线的方程代入椭圆可得，由韦达定理得：则，又与圆相切，可知原点O到的距离，整理得，则，所以，故.（ii）由知，①当直线的斜率不存在时，显然，此时；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：代入椭圆方程可得，则，故，同理，则.综上可知：为定值.【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的几何关系，还考查了点到直线距离公式，考查了韦达定理及向量垂直的数量积关系，考查分类思想及计算能力，属于难题。

21.已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．参考答案：由题意知a≠0，若命题p正确，由于a2x2＋ax－2＝(ax＋2)(ax－1)＝0.∴x＝或x＝－.若方程在[－1，1]上有解，满足－1≤≤1或－1≤－≤1，解之得a≥1或a≤－1.若q正确，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.则有Δ＝0，即a＝0或2.若p或q是假命题．则p和q都是假命题，有所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．

22.（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半