导数的应用之不含参数的函数单调性

导数的应用之不含参数的函数单调性【知识导图】【例题精讲】一、一次型导数1、标准一次型例1：求下列函数的单调区间.（1）；（2）.【分析】求出，分别令，，即可解出的单调递增、递减区间.【详解】（1）,令，所以在上单调递增，在单调递减.（2）的定义域为，，所以在区间和，递减；在区间，递增.所以的减区间为：和，增区间为.变式训练：1．已知函数，求函数的单调区间；【详解】（1），时，，的单调增区间为，时，，的单调减区间为，所以函数单调增区间为，单调减区间为.2、指数一次型例2：已知函数，求函数的单调区间.【详解】，令，所以在上单调递增，在单调递减.3、对数一次型例3：求下列函数的单调区间.（1）.（2）【详解】（1）的定义域为，，所以在区间递减；在区间递增.所以的减区间为，增区间为.（2）由得，令，即，得，从而，令，即，得，此时为增函数，又，得增区间为，令，即，得，此时为减函数，减区间为.二、二次型导数1、标准二次型例1、设函数，求函数的单调区间；【详解】，令，则或，列表如下：－31＋0－0＋单调递增单调递减单调递增∴的增区间为；减区间为；变式训练：1．设函数，求函数的单调区间.【分析】求得，根据和的解集，得到函数的单调区间。【详解】由函数，可得，令，即，解得或；令，即，解得，所以函数的单调递增区间为，递减区间为，2．已知函数．求的单调区间；【详解】的定义域为，，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；3.已知，函数时，求函数的单调区间；【详解】当时，，则令，得；令，得；所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．2、高次函数型例2.已知函数，求函数的单调区间及最小值.【分析】根据导函数即可求解单调区间.【详解】由题意，函数的定义域为.令，得或，或，当时，或；当时，或，所以函数的单调递增区间为,，单调递减区间为，3、指、对数二次型例3.已知函数，曲线在点处切线方程为.(1)求实数的值；(2)求的单调区间.【详解】（1），曲线在点处的切线方程为，，解得.（2）由（1）可知：，.由解得，或，此时函数在单调递增；由解得，此时函数在单调递减.例4.已知函数．求函数的单调区间；【详解】定义域，，令，即，解得当，时，，当，时，，所以的单调增区间，，单调减区间，．例5.已知函数．当时，讨论的单调性；【详解】由题意可得，当时，令，则即由，得，由，得或，则在上单调递减，在，上单调递增．在上单调递减，在，上单调递增．变式训练：1．已知函数，当时，求函数的单调递增区间【详解】当时，，则，令，在R上单调递增，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，故，所以恒成立，仅当时取等号，即的单调递增区间为三、综合型1、三角函数导数型例1.（1）设函数．求的单调区间；（2）已知函数.求函数的单调区间和极值.【详解】（1）因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为，，所以，令，则或，所以当或时，；当时，.所以在上递增，在上递减,在上递增，例2．（1）已知函数.求的单调区间；（2）已知函数.求函数的单调区间；（3）已知函数，求的单调区间；【详解】（1）由，得，令，则恒成立，所以在上单调递增，且，所以当时，，即当时，，即，综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为（2），函数定义域为R，则且，令，，在上单调递增，所以，所以的单调递增区间为，，，所以的单调递减区间为.（3）对函数求导可得：，令则.

当单调递减，单调递增.

所以，，所以，在上单调递增.

故的单调递增区间是，无递减区间.变式训练：1.（2023·陕西西安·统考一模）已知.若时，求的单调区间；定义域为，当时，，令，则，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增.所以恒成立.由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.2.已知函数.当时，求的单调递增区间；【详解】当时，，，设又，∴在上单调递增，又，∴当时，当时，∴的单调递增区间为.3.已知函数．讨论在上的单调性；【详解】，，则；，则，所以在单调递增，在单调递减．【巩固练习】1．求函数的单调区间．【详解】由题得函数的定义域为，则令，得，即（），此时单调递增；令，得，即（），此时单调递减，故所求函数的单调递增区间为（），单调递减区间（）．2．已知函数.当时，求的单调区间【详解】当，定义域为，，在上单调递减，又所以当时，单调递增，当时，，单调递减，所以的递增区间是，递减区间是.3．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知函数.若，求函数的单调区间；【详解】当，则，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以函数的单调减区间为，单调增区间为；4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数．当时，求的单调区间；【详解】当时，，所以，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以的单调递增区间是没有单调递减区间．5．已知函数，其图象在处的切线过点．(1)求a的值；(2)讨论的单调性；【详解】（1）因为函数，所以，，则，所以函在处的切线方程为，又因为切线过点，所以，即，解得；（2）由（1）知；，则，令，则，当时，，当时，，所以，即当时，，当时，，所以在上递增，在上递增；6．已知函数.求的单调区间.【详解】，令，易得或，令，易得，所以函数在和上递增，在上递减，即的单调递增区间是和；单调递减区间是.7．已知函数．求的单调区间；【详解】由定义域为又令，显然在单调递减，且；∴当时，；当时，．则在单调递增，在单调递减8．已知函数．求函数的单调区间；【详解】函数的定义域为R，求导得：，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．9．已如函数.当时，求函数的单调区间；【详解】，，则，设，则恒成