高中数学-椭圆离心率习题课教学设计学情分析教材分析课后反思

《高三习题课——椭圆离心率的求法》教学设计（一）、教学内容分析解析几何属高考必考内容，考题涉及图形的几何性质及计算，主要考察数形结合思想，方程思想，对应和运动变化思想等数学思想，既要求学生的理解能力、分析问题的能力，同时对计算能力要求很高。椭圆又是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有考查题型因此，本节课的教学重点是：根据题目条件进行“形”与“数”的相互转化，体会利用题目中隐含的几何特征解题比代数运算更简便。（二）、教学对象分析我所教的班级为高三理科生，学生已学完高中数学的全部内容，初步掌握解析几何的基本概念、基本题型、基本方法，但他们的抽象思维能力比较差，不善于挖掘条件的几何特征，计算能力有待提高，优化计算意识不强。因此，本节课的教学难点是：将条件进行“形”与“数”的相互转化（三）、教学目标分析通过几道解析几何题目的处理，在“形”与“数”的相互转化过程中，进一步体会几何问题代数化的解析思想，强化充分挖掘题目中隐含的几何特征的意识，优化解题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。因此确定本节课的教学目标为：1、能利用椭圆的基本量之间的关系求椭圆的离心率值2、能利用椭圆的几何性质，构造关于离心率的齐次式求值或取值范围3、体会焦点三角形与离心率的特殊关系，寻找最美椭圆。教学重难点：重点——求一类含焦点三角形的椭圆离心率难点——当直角三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形正余弦定理结合函数单调性求解椭圆离心率；突破方式——通过数形结合、师生讨论、“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解决问题的线索，逐个突破，以点带面，达到教学目标。（四）、教学过程分析教学内容设计意图通过椭圆的复习，大家初步体会几何问题代数化的解析思想，这节课，将以椭圆为背景的题目中进一步体会这种解析思想。一、引入话题：椭圆中的重要的量是什么？椭圆中的最重要的量是什么？我选择了一道问题作为引入话题，学生从最熟悉的椭圆知识入手，联想椭圆的基本量椭圆中各个量之间的关系：然后结合这些基本量的思维导图加强对离心率重要性的认识，这样能激发他们学习的兴趣，同时达到强化挖掘几何特征解题的意识的目的教学内容设计意图二、题型分类深度剖析题型1：直接利用椭圆的基本量a、b、c之间的关系求离心率的值例1：例AUTONUM．已知椭圆(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________.(2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________.解析（1）由题设可知，且，故，即，即，所以.（2）由题设可知，且，故，即，所以可得，，解得或（舍去）所以.变式1椭圆的左右顶点分别是，左右焦点分别是.若成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.变式2已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是___________.题型2：构造焦点三角形巧求离心率的值例2过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析解法一：（定义法）令，则在中，由，可知，由椭圆定义得，，所以.故选B.解法二因为，再由，所以，得，，故所以.故选B.解法三同解法二，因为，在中，得，即，故有,,所以或.故选B.变式1已知正方形，以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______.变式2已知椭圆的左右焦点分别为，且，点在椭圆上，且垂直于轴，，则椭圆的离心率等于（）A.B.C.D.变式3已知椭圆的左右焦点分别为，焦距，若直线与椭圆的一个交点满足，则椭圆的离心率等于_________.变式4设是椭圆的两焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为，若直线与圆相切，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.题型3：利用几何性质求离心率取值范围例3、椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上存在点使，则椭圆的离心率的取值范围为_________.解析解法一：由知识点精讲中结论知，当为椭圆的短轴端点时，取得最大值，而由题意可知，若在椭圆上存在点使得，即，只需要焦点三角形的顶角最大值即可，故只需保证当点落在椭圆短轴端点处情形时的即可，所以，又因为，故所求的椭圆离心率的取值范围是解法二：由椭圆的定义知，在中，，由勾股定理得，，将上式化简得，根据韦达定理，可知是方程的两个根，则，即，又因为，故所求的椭圆离心率的取值范围是变式:已知是椭圆的两焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.题型4：关于型离心率范围问题的求法探究例4椭圆的两个焦点若为其上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围为____________解析解法一，由，得，，又，即，得，故离心率的取值范围为.变式1椭圆的两个焦点，椭圆上存在使得椭圆方程可以是（）A.B.C.D.变式2已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则椭圆的离心率的取值范围为_________.巩固练习1、椭圆的两焦点为，为椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，求椭圆离心率？2、椭圆的两焦点为，是椭圆上一点，且，求椭圆离心率的取值范围？选择了这一道作为1，让学生学生从最熟悉的题目入手，主要强化椭圆基本量的运算和几何意义的认识，这样能激发他们学习的兴趣。（1）求离心率的过程就是探求基本量的齐次式间的等量关系，常见的离心率公式应熟悉：①；②（椭圆）③（双曲线），另外，在求解离心率过程中要有以下意识：①利用定义的意识（定义中有，且）②获得了中的任意的两个参数间的数量关系都可以求解离心率.(2)本题用条件中隐含的几何特征解决非常简便，这和我设计引例的目的是一致的；变式2因为几何特征不明显，所以可以选择通过代数运算才能解决。这也是我这节课的教学目标。在处理第二问时，我让学生自由发挥，最后归纳总结解题方法。(3)通过此题，感受当几何特征不明显时，还是要通过坐标运算解决问题，进一步体会几何问题代数化的解析思想。（4）通过法1和法2的对比，突出用几何法解题比坐标法简便。通过法3，进一步突出对题目条件的几何特征挖掘的越深刻，运算越简便。通过此题强化充分挖掘几何特征解题的意识。本题试图让学生用运动的观点，承接例2与变式1的解题思路获得动点在椭圆上时，进而得到的结论。例2和它的两个变式构成一个体系——所要求离心率的椭圆内含直角三角形，且该直角三角形均是以两焦点所在线段为斜边，为直角。解决此类椭圆的离心率，最快捷的方法就是通过圆的半径与椭圆的短半轴长的大小比较获得答案。此处的教学过程最好结合多媒体辅助教学，让学生从直观上感受到圆半径与椭圆短半轴长的不等量关系，数形结合能让抽象的量化计算变得生动、易懂。此题的解决过程是本节课的高潮部分，学生的讨论和教师的分析、引领应该采用开放的方式进行，让学生在讨论中自己走出陷阱，灵活调用知识框架的知识点，进一步认识椭圆的定义在解题中的作用，并总结出这一类若椭圆上存在点，使得，则问题的规律，真正达到提高探究能力的目的。通过本题使学生加深对与椭圆焦点三角形有关的问题的认识，以及利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的关系、面积公式、基本不等式等，其中包含关于的等量关系和不等关系的解题能力，，并通过师生互动，总结解题方法，逐步剖析问题本质，找到解决问题的线索，逐个突破，以点带面，达到教学目标。总结发现：1.归纳本节课所讨论的椭圆离心率求解方法的共性——抓定义，抓直角三角形边的关系；2.归纳本节课的探究中所利用到的辅助知识点——三角形余弦定理、基本不等式、而函数单调性；3.归纳本节课的学习中，易出现的失误——没有利用运动的观点看待椭圆上的直角点，解题过程中思维惯性限制了解题方法的灵活运用。本节课在解题过程中，转化的思想贯穿于始终。解析几何是用代数方法解几何问题，解题时要能深入挖掘条件中的几何特征，并进行合理有效的转化是优化解题的关键，这样能优化解题过程。但是当几何特征不明显时，还是要通过坐标运算解决问题。【说明】此处的归纳教师均要通过将学生的回答加以总结得出，不仅可以将具体的习题教学上升到解题通法的高度，也可以及时检验教学目标的达成程度。比较困难的地方在于放开以后的收回，需要比较高的课堂驾驭能力。课后思维提升椭圆的两焦点为，是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且,求椭圆离心率.《椭圆的离心率习题课》学情分析1．能力分析我所教的班级为高三理科生，学生已学完高中数学的全部内容，初步掌握解析几何的基本概念、基本题型、基本方法，但他们的抽象思维能力比较差，不善于挖掘条件的几何特征，计算能力有待提高，优化计算意识不强。因此，本节课的教学难点是：将条件进行“形”与“数”的相互转化2．认知分析①学生已经了解椭圆离心率的定义和基本公式方法②学生已经学习了解一些椭圆的几何性质。③学生已经学习过方程思想、分类讨论思想的应用3．情感分析在情感上具有积极的学习态度，充满对新知识的渴求。多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性，强烈的探究欲望，能主动参与研究。课前准备：1.学生预习导学案上的内容，认真填写知识复习部分，学习情境引入中相关的材料，完成预习作业。2．教师课前准备导学案，上课用课件；针对学生的学情，制定相应的教学设计和教学方法。测评方法1：通过课堂观察谈本节课的教学效果评测工具：投影仪项目123说明：1=好2=中3=差观察学生知识、技能掌握情况（解答问题的情况、学生的表情状态）√观察学生操作技能掌握情况（能判断操作的正误、独立准确有条理地进行操作）√观察学生的注意力（整堂课集中注意、大部分时间集中注意、该集中注意时能够集中、有时候集中注意、注意力涣散）√观察学生学习的参与情况（课堂提问回答的主动性、课堂讨论参与的积极性）√观察学生的合作性(听别人意见、积极表达自己的意见)√观察学生的思维状况（能有条有理地表达自己的意见、用不同的方法解决问题、解决问题的过程清楚、独立思考、做事有计划）√总评：学生课堂表现积极性高，取得良好效果√

说明：根据学生课堂学习时表现的行为特质程度选择适当的数字。测评方法2：通过评测练习成绩看课堂教学效果评测工具：多媒体软件统计为进一步检测学生对新知识的学习与掌握情况，特命制评测练习，依据《新课程标准》命制原则：基础性、有效性、合理性。试题重点关注离心率中基本量的应用，大部分习题是对课本的例习题进行了加工、组合、延伸与拓展，保证绝大部分考生能获得一定的基础分数，对学生学习数学有着积极的导向作用，注重考查学生的基本技能。命题时注重层次性，关注数学学习的各个方面，反映了学生的数学学习状况；试卷的结构考虑了学生的心理习惯和认知行为。通过对全班同学的评测批改发现，学生对公式记忆熟练，能够对公式的基本量进行灵活运算，对于公式的变式应用合理。对于答题及运算技巧也上升一定的层次。对数学建模思想、函数与方程思想等思想方法也有更高层次的认识，思维得到了提升，学生成绩普遍较高。（附评测成绩统计表）《椭圆离心率习题课》教材分析（一）、教学内容分析解析几何属高考必考内容，考题涉及图形的几何性质及计算，主要考察数形结合思想，方程思想，对应和运动变化思想等数学思想，既要求学生的理解能力、分析问题的能力，同时对计算能力要求很高。椭圆又是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有考查题型因此，本节课的教学重点是：根据题目条件进行“形”与“数”的相互转化，体会利用题目中隐含的几何特征解题比代数运算更简便。（二）、教学对象分析我所教的班级为高三理科生，学生已学完高中数学的全部内容，初步掌握解析几何的基本概念、基本题型、基本方法，但他们的抽象思维能力比较差，不善于挖掘条件的几何特征，计算能力有待提高，优化计算意识不强。因此，本节课的教学难点是：将条件进行“形”与“数”的相互转化（三）、教学目标分析通过几道解析几何题目的处理，在“形”与“数”的相互转化过程中，进一步体会几何问题代数化的解析思想，强化充分挖掘题目中隐含的几何特征的意识，优化解题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。因此确定本节课的教学目标为：1、能利用椭圆的基本量之间的关系求椭圆的离心率值2、能利用椭圆的几何性质，构造关于离心率的齐次式求值或取值范围3、体会焦点三角形与离心率的特殊关系，寻找最美椭圆。教学重难点：重点——求一类含焦点三角形的椭圆离心率难点——当直角三角形勾股定理无法适用时，如何根据三角形正余弦定理结合函数单调性求解椭圆离心率；突破方式——通过数形结合、师生讨论、“陷阱”构造等方法，逐步剖析问题本质，找到解决问题的线索，逐个突破，以点带面，达到教学目标。《椭圆离心率习题课》评测练习一、命题依据依据教育部印发的《高中数学教学大纲》及《全日制普通高中数学新课程标准》：解析几何属高考必考内容，考题涉及图形的几何性质及计算，主要考察数形结合思想，方程思想，对应和运动变化思想等数学思想，既要求学生的理解能力、分析问题的能力，同时对计算能力要求很高。椭圆又是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有考查题型同时，结合本节课的教学目标和重难点，特此命题。二、命题说明（一）命题范围：椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解（二）命制原则：1.基础性考查内容依据《标准》，突出对学生基本数学素养的评价，体现基础性。试题重点关注等比数列前n项和中基本量的应用，大部分习题是对课本的例习题进行了加工、组合、延伸与拓展，保证绝大部分考生能获得一定的基础分数，对学生学习数学有着积极的导向作用，注重考查学生的基本技能。2.有效性试卷有效的考查学生对本节课内容的掌握情况，命题时注重层次性，关注数学学习的各个方面，反映了学生的数学学习状况；试卷的结构考虑了学生的心理习惯和认知行为，利于学生临场发挥。3.合理性试卷的结构合理，题量适中，让学生有必要的思考时间，不出“偏”、“怪”、“繁琐”、脱离实际和死记硬背的试题，合理地考查了考查了分类讨论的思想方法的应用。高三数学一轮复习《椭圆离心率习题课》评测练习选择题(每小题4分，共40分)1、椭圆和一定具有（）A．相同的离心率 B．相同的焦点C．相同的顶点 D．相同的长轴长2、已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．3、已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．4、过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5、已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（）A． B． C． D．6、已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的的离心率为（）A．B．C．D．7、已知椭圆的离心率，则的值为（）A． B．或 C．D．或8、椭圆的长轴为，为短轴的一个端点，若∠，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9、椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A． B．C． D．10、设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在（其中），使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．11、椭圆上一点看两焦点的视角为直角，设的延长线交椭圆于，又，则椭圆的离心率（）A． B． C． D．12、如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①；②；③；④．其中正确式子的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④《高三习题课——椭圆离心率解法》教学反思我所教的班级为高三理科科生，他们的抽象思维能力比较差，不善于挖掘条件的几何特征，对于一些题目有比较繁琐的计算，学生在计算时，通常是一算纠错，导致部分学生畏惧解析几何，做题时不敢想，不敢做。这就要求教师在备课时考虑不同层次的学生，题目设计要由浅入深，层层递进，课堂上要留给学生思考和做题的时间。在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，提高学生在课堂上45分钟的学习效率，这对于每个教师来说，也是一个很重要的课题。要达到课堂高效，除了教师要对教材有整体的把握和认识外，还要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教。于是我选择了一道作业题作为引例，学生从最熟悉的题目入手，这样能激发他们学习的兴趣，同时达到强化挖掘几何特征解题的意识的目的。本节课的教学过程基本上按照教学设计的预设走了下来，通过小结的讨论和归纳反馈，获悉学生的掌握情况尚可，基本达到教学目标。但是在具体教学过程中仍有诸多不足和思考，主要有以下几个方面——1.课堂探究过程不足课堂中通过学生的讨论，教师的和学生的共同分析、引领是帮助学生走出失误的主要手段，也是最重要的手段。它是“陷阱式”教学方式的核心内容。而本节课的教学过程中体现得稍显不足，尤其在例1变式2的教学中，学生提供了一种对该类问题的通解通法，而教师没有把握住这个机会让学生上黑板演示一下，只是粗略地肯定了这种解题方法的正确性就急切地给出了利用圆去解决的方法，没有形成足够的对比，优越性体现得略有不足。在后面例2的变式分析中，学生的讨论参与度不高，造成对是否掉入陷阱的情况不甚了解，只是到最后发现无法获得椭圆离心率的范围，这是教师教学过程比较严重的失误，偏离了“陷阱式”教学方式的主体思路。以上两处不足之处反映出教师教学思路仍然留有灌输式的烙印，需要时刻注意自己的教学行为必须以新课程理念为指导，课堂中充分发挥学生的主体性和积极性。2.导学稿的编制过于简洁在导学稿的“剖典型”部分只给出了例1和例2两个例题，变式全都在课堂教学中通过多媒体课件展示出来。由于