江西省吉安市永和中学高三数学理测试题含解析

江西省吉安市永和中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数

则（

）A．有最大值

B．有最小值

C．是增函数

D．是减函数参考答案：2.若tanθ+=4，则sin2θ=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．3.已知全集U=R，集合，则等于(

)A．(－1,2)

B．(－2,－1]

C．(－2,－1)

D．(2,3)参考答案：C4.已知则的取值范围是（

）A.[－6,2]

B.[－6,4]

C.[－2,4]

D.[－2,6]参考答案：A由，则表示直线在轴上截距的相反数.如图，易知当直线过点时直线在轴上的截距最小为－2，取最大为2；当直线过点时直线在轴上的截距最大为6，取最小为－6.所以，的取值范围是[－6,2].故选A.5.已知直线、，下列命题中的真命题是

（

）

A．如果、；

B．如果、；

C．、；

D．、；参考答案：D6.设a，b∈R，函数f（x）=ax+b（0≤x≤1），则f（x）＞0恒成立是a+2b＞0成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若f（x）＞0，则满足，即a+2b＞0，即充分性成立，反之不一定成立，即f（x）＞0恒成立是a+2b＞0成立的充分不必要条件，故选：A7.函数的值域为，则点的轨迹是如图的（

）A．线段AB，线段BC

B．线段BC，线段CO

C．线段CO，线段OA

D．线段OA，线段AB参考答案：A略8.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.已知函数则

(A)2013

(B)2014

(C)2015

(D)2016参考答案：C10.已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足约束条件，则的取值范围是 参考答案：[－1，1]12.复数1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第象限．参考答案：四略13.中，角所对的边成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则__________.参考答案：略14.定义某种运算若函数，则的最小值为

。参考答案：15.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为_________.参考答案：略16.在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．参考答案：π【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=π故答案为：π【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．17.4cos50°﹣tan40°=

．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，（1）当且时，证明：对，；（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（3）数列，若存在常数，，都有，则称数列有上界。已知，试判断数列是否有上界．参考答案：解：⑴当且时，设，，……1分，解得。当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取最大值，即，，即（2）若，=所以因为函数存在单调递减区间，所以在上有解所以在上有解所以在上有解，即使得令，则，研究，当时，所以（3）数列无上界，设，，由⑴得，，所以，，取为任意一个不小于的自然数，则，数列无上界。19.已知数列{xn}按如下方式构成：xn∈（0，1）（n∈N*），函数f（x）=ln（）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴交点的横坐标为xn+1（Ⅰ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞2x（Ⅱ）证明：xn+1＜xn3（Ⅲ）若x1∈（0，a），a∈（0，1），求证：对任意的正整数m，都有loga+loga+…+loga＜?（）n﹣2（n∈N*）参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到xn+1=ln（﹣1）+xn，从而证出结论即可；（Ⅲ）得到bk=＜a=bk﹣1＜bk﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，则g′（x）=，故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；（Ⅱ）由f′（x）=+=，故曲线在点（xn，f（xn））处的切线方程是：y=（x﹣xn）+f（xn），令y=0，则xn+1=xn+f（xn）（﹣1），则xn+1=ln（﹣1）+xn，由（Ⅰ）及﹣1＜0得：xn+1＜（2xn）?（﹣1）+xn=xn3；（Ⅲ）令=bk，（k=0，1，2，…，m），∵xn+k＜，且a∈（0，1），xn∈（0，1），∴logaxn+k＞loga，从而bk=＜a=bk﹣1＜bk﹣2＜…＜b0，∴loga+loga+…+loga=b0+b1+…+bm＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，要证loga+loga+…+loga＜?（）n﹣2（n∈N*），只需b0＜，即证b0＜?a＜?xn＜，由（Ⅱ）以及x1∈（0，a）得：xn＜＜＜…＜＜，故原结论成立．20.（本小题满分12分）编号分别为A1，A2，…，A16的16名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间[10,20)[20,30)[30,40]人数

（2）从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．参考答案：（1）4，6，6（2）【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．K2解析：（1）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6………4分（2）①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13。从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种； ………8分②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种；所以P(B)＝． ………12分【思路点拨】（1）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（2）①根据（1）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果