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文档简介

3.2均值不等式

知识回顾3、已知函数

，（1）利用函数的单调性定义判断其在区间

上的单调性；（2）求其最小值及相应的

值.解：设

是

上的任意两个不等的实数，且

则

，

，

，

所以

所以函数在区间

上是减函数，同理可证函数在区间

上是增函数。（2）由（1）可知，

。定理的生成引例：

有甲乙两个超市同时对一商品（价格相同）进行降价活动，分别采用两种降价方案：甲超市第一次按m折销售，第二次按n折销售；乙超市两次都按

折销售。哪个超市的价格更优惠？

解：第一种方案：设原价是1，两次降价后的价格是mn

第二种方案：原价是1，两次降价后的价格是

作差

所以

甲超时市更优惠；

时，两个超市价格一样定理内容均值定理：如果,那么

当且仅当时，等号成立.问题1：如何证明均值定理？几何解释。问题2：“任意两个同号的数的算术平均值不小于它们的几何平均值”的说法正确吗？

问题3：均值不等式与不等式

关系如何？定理的变形：定理应用例1、已知ab>0，求证：

，并推导出式子中等号成立的条件。变式：已知

，求证：

证明：因为，所以（当且仅当“

”时“=”

成立）

同理：（当且仅当“

”时“=”成立）

（当且仅当“

”时“=”成立）

又因为三个等号同时成立

所以

即成立定理应用判断下列均值不等式的应用是否正确，如果不对，请说明理由。（1）已知

因为

，所以

的最小值为2（2）已知

因为

，又因为当

，即

时等号成立

所以

，因此

的最小值为2（3）已知

因为

，所以

因此定理应用例2、（1）已知一个矩形的面积为36，问其长宽各为多少时，矩形的周长最小？

（2）已知一个矩形的周长为36，问其长宽各为多少时，矩形的面积最大？

巩固练习：利用均值不等式求函数的最小值。

归纳小结，布置作业课堂小结：

（1）均值定理；（2）均值定理的简单应用：证明不等式，求最值（一正、二定、三

相等）作业：练习A3、4，练习B2、3、4

思考：知识回顾3中，条件做如下改变，如何求值域？

①将

改成

呢？

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