湖南省衡阳市祁东县白地市中学2021年高二数学理联考试题含解析

湖南省衡阳市祁东县白地市中学2021年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若，则

A.-l

B．-2

C．-3

D．-4参考答案：D2.焦距为，离心率，焦点在轴上的椭圆标准方程是

（

）

参考答案：D略3.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是

（

）A． B．

C． D．参考答案：A略4.有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣ C．2 D．参考答案：C【考点】循环结构．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=4时，不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为2．【解答】解：执行程序框图，可得i=0，s=2满足条件i＜4，i=1，s=满足条件i＜4，i=2，s=﹣满足条件i＜4，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为2．故选：C．6.如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在曲线是(

)A．直线的一部分

B．圆的一部分

C．双曲线的一部分

D．抛物线的一部分参考答案：D略7.是的（

）A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略8.已知集合，则的元素个数为（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C9.若函数在区间上有，在区间上有，则

有（

）

A.区间上单调递减，在区间上单调递增

B.区间上单调递减，在区间上单调递减

C.区间上单调递增，在区间上单调递增

D.区间上单调递增，在区间上单调递减参考答案：D略10.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ()A．28

B．76 C．123

D．199参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.指出三段论“自然数中没有最大的数（大前提），是自然数（小前提），所以不是最大的数（结论）”中的错误是____。参考答案：小前提错误【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析三段论不难得到结论．【详解】大前提是：“自然数中没有最大的数”，是真命题，小前提是：“是自然数”，不是真命题，故本题的小前提错误，故答案为：小前提错误【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．12.某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.参考答案：15

10

2013.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

．参考答案：432【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，剩下一名女生记作B，将A，B插入到3名男生全排列后所成的4个空中的2个空中，问题得以解决．【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，将A，B插入到3名男生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有C32A22A42A33=432种，故答案为：432【点评】本题考查排列组合的运用，当题目中有限制的条件有两个，注意解题时要分清两个条件所指．14.若函数，则不等式的解集为______________.参考答案：【分析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案．【详解】由题意，当时，令，解得，当时，令，解得，所以不等式的解集为．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知直线l截圆所得的弦AB的中点坐标为，则弦AB的垂直平分线方程为

.参考答案：16.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得PO=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可知|PO|=|F1F2|判断出∠F1PF2=90°，直线OP的斜率为，可求出出|PF2|=c，则|F1P|=c，进而利用双曲线定义可用c表示出a，最后可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|PO|=|F1F2|，∴|OF1|=|OF2|=|OP|∴∠F1PF2=90°，∵直线OP的斜率为，∴tan∠POF1=，∴cos∠POF1=由余弦定理可得|PF1|2=c2+c2﹣2c2?=c2，即|PF1|=，同理可得|PF2|=，∴﹣=2a，∴=∴e=．故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．17.凸四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=CD=1，AB=2。以它的一边为轴旋转，所得旋转体的体积最大可达到

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|?|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）将直线l和椭圆C的转化为普通方程，左焦点F在直线l上，求解出直线1方程与椭圆C联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|FA|?|FB|的值．（也可以利用参数的几何意义做）．（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4sin（θ+φ），可得答案．【解答】解：（1）由椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，可得x2+3y2=12，即．其左焦点为（﹣2，0）．直线l消去参数t可得：x﹣y=m，∵左焦点F在直线l上，∴直线l方程为：x﹣y=﹣2．联立，解得A（，），B（，）那么|FA|?|FB|=2．法二：几何法：∵左焦点为（﹣2，0）．左焦点F在直线l上，带入参数方程可得：，将直线参数方程带入椭圆x2+3y2=12，可得：t2﹣2t﹣2=0．那么|FA|?|FB|=|t1t2|=2（2）设椭圆在第一象限上一点P（2cosθ，2sinθ），（）内接矩形周长为：L=8cosθ+8sinθ）=16sin（θ+），∴当时，周长取得最大值为为16．∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为16．19.（本小题满分13分）已知函数。（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的最小值为，求证：.参考答案：（1）由已知得，的定义域为，.根据题意，有，即，解得或.……………………4分（2）.（i）当时，由及得；由及得.所以当时，函数在上单调递增，在（）上单调递减.（ii）当时，由及得；由及得.所以当时，函数在（）上单调递减，在（）上单调递增.……8分（3）证明：由（2）知，当时，函数的最小值为，故.，令，得.当变化时，，的变化情况如下表：+0－↗极大值↘所以是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.所以当时，最大值，即当时，.……………………14分20.数列满足。（Ⅰ）计算；（Ⅱ）猜想通项公式，并用数学归纳法证明。参考答案：解：（Ⅰ）…4分

（Ⅱ）猜想，…6分

证明：1

当n=1时，a1=1猜想显然成立；………7分2

假设当n=k)时，猜想成立，即，那么，，………11分综合①②，当时猜想成立。………12分略21.若函数，当时，函数f(x)有极值.（1）求函数的解析式及函数在点处的切线方程；（2）若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围．参考答案：（1）,由题意得，解得故所求函数的解析式为.

（3分），，在点处的切线方程为：，即.

（6分）（2）由(1)可得，令，得或.当x变化时，，的变化情况如下表：因此，当时，有极大值，当时，有极小值，所以函数的图象大致如图所示．若有3个不同的根，则直线与函数的图象有3个交点，所以.

（12分）22.（本小题满分12分）已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．（Ⅰ）确定与的关系；（II）若，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）证明：．参考答案：解：（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴（2）由（1）得∵函数的定义域为ks5u

∴当时，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，令得或