第十四讲导数“保温”专题复习

第十四讲：导数“保温”专题复习【目标】掌握常见的求导公式和运算，导数的切线问题，单调性问题，极值和最值问题，零点问题，恒成立与能成立问题，不等式问题等；利用导数解决函数的相关问题.【题型目录】考点一：导数的概念考点二：导数的运算考点三：切线方程考点四：单调性问题考点五：极值问题考点六：最值问题考点七：零点问题考点八：恒成立与能成立问题考点九：不等式问题【典题探究】考点一：导数的概念1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（） A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率 C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度【答案】D【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.2．已知函数，则在上的平均变化率为（） A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：C3．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，即，，，又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，故.故选：A.4．如图，函数的图象在点处的切线是，则（） A． B． C．2 D．1【答案】D【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，，，.故选：D．5．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】故选：A6．已知函数的一个极值点为1，则（） A．6 B． C．3 D．【答案】D【详解】求导得因为的一个极值点为1，所以，解得当时，，则1是函数的一个极值点.所以，此时.因为而所以故选：D考点二：导数的运算1．下列求导运算正确的是（） A． B． C． D．，则【答案】ACD【详解】A选项，，故A正确；B选项，，故B错误；C选项，，故C正确；D选项，，则，D正确.故选：.2．下列求导正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】ABD【详解】对于，的导数为，故选项正确；对于，的导数为，故选项正确；对于，的导数为，故选项错误；对于，的导数为，故选项正确，故选：.3．下列求导运算正确的是（） A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,,故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，，故D错误，故选：BC4．下列选项正确的是（） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则【答案】ABD【详解】对于A选项，若，则，A对；对于B选项，若，则，故，B对；对于C选项，若，则，C错；对于D选项，若，则，D对.故选：ABD.考点三：切线方程切线方程的求解步骤（1）求导； （2）求切线或设切线；（3）求斜率； （4）点斜式.1．已知函数.(1)求函数的导函数；(2)求曲线在点处的切线方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据求导法则，可得答案；（2）求出函数在处的导数值和函数值，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】（1）因为,所以.（2）由（1）知，又，曲线在点处的切线方程为，即.2．已知函数的图像过点，且在点处的切线方程为.求函数的解析式；【答案】；【分析】根据题意列方程组解出b、c、d，函数的解析式；【详解】的定义域为R，因为函数的图像过点，且在点处的切线方程为，所以，即，解得：，所以.3．已知函数的导函数是，且．（1）求的解析式；（2）求经过点且与曲线相切的直线方程．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可求出，进而求出结果；（2）该切线的切点坐标为，结合导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程即可求出切点横坐标，进而求出结果.【详解】解：因为，所以，则，解得，所以．设该切线的切点坐标为，因为所以该切线方程为，将代入方程整理得，解得，当时，切线方程为；当时，切线方程为，所以经过点且与曲线相切的直线方程为或.4．若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），求到直线的距离最小值.【答案】【分析】根据题意可知，当点处切线方程与直线平行时，距离最小，利用导数的几何意义可得点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】解：设，，设与平行且与相切的直线与切于，所以．所以，则到直线的距离为，即到直线的距离最小值为.5．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．(1)求a，b，c的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；(3)若曲线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）公共点的坐标代入两个函数式，两个函数式求导，在时，导数值相等，联立方程组解得；（2）由（1）写出切线方程，求得其与坐标轴交点坐标后可得三角形面积；（3）求出函数导数值为2的点的坐标，即为点坐标，然后由点到直线的距离公式可得距离.(1)两函数和的导数分别为和，由题意，解得；(2)由（1）知公切线方程为，即，令得，令得，所以所求面积为；(3)由（1）函数为，，由得，,所以，最短距离为.6．已知函数在处取得极小值-4.（1）求实数a，b的值（2）若过点是否可作曲线的三条切线，并说明理由【分析】（1）对函数求导，由函数在处取得极小值可得到该点处导数值为0，再由该点的函数值为-4.两个方程联立求解可得a，b.（2）设过点切线的切点为，由导数的几何意义可得斜率，进而得到切线方程，只需证明方程有三个实数根，即可得出答案.【详解】（1）∵在处取得极小值-4，可得，解得a=1，b=3.则，对求导，，则在，处取得极值点，.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得极小值-4.所以a=1，b=3.（2）设过点切线的切点为，则切线的斜率，所以切线的方程为，若切线过点，则方程为①，将代入①，则，∴，∴，∴，，所以切点有3个，所以过点可作曲线的三条切线.7．设函数，.若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值，并写出切线的方程.【答案】，；.【分析】先求导数，再根据导数几何意义列方程组，解得，的值，即得切点与斜率，最后根据点斜式得切线方程.【详解】∵，，∴，.∵曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，∴，且，即，且，解得，，得切点坐标为.∴切线方程为，即.考点四：单调性问题函数单调性步骤（1）求导，找导函数的有效部分（定义域）；（2）令，求根；（3）令，得到的单调递增区间；令，得到的单调递减区间.1．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间.【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解.【详解】函数的定义域为，，求导，.由点斜式得切线方程为：，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）由（1）知，，令，得，.当x变化时，，的变化情况如下表：x30单调递减极小值单调递增所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.2．设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.依题设，即解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.由及知，与同号.令，则.所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，.故的单调递增区间为.3．已知函数．(1)若实数，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）时，，，，所以切线的斜率为，切线方程为即.（2）的定义域为，，若，则恒成立，则在单调递增，若，令解得，令解得，所以则在单调递减，单调递增.4．已知函数，．(1)若函数在处取得极值，求的值．(2)讨论函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，验证后得到答案；（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分，，与分类讨论，得到函数的单调区间.【详解】（1）定义域为，，因为在处取得极值，所以，解得：，经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；（2），当时，恒成立，令得：，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，故令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，恒成立，故的单调递增区间为；当时，，令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；5．已知函数；讨论的单调性；【答案】见解析；【详解】试题分析：讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；试题解析：的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.6．已知函数.（1）求函数的极值；（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值为；极小值为；（2）【详解】（1），令，得或.当时，或；当时，.随的变化，变化如下表所示：1+00+单调递增极大值2单调递减极小值单调递增因此，当时，有极大值，且极大值为2；当时，有极小值，且极小值为.（2），则.因为在上是单调增函数，所以在上恒成立，即不等式在上恒成立，也即在上恒成立.设，则.当时，恒成立，所以在上单调递减，.所以，即实数的取值范围为.7．已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间内单调递增，求的取值范围；（3）若存在单调递减区间，求的取值范围．【答案】（1）的增区间是，减区间是；（2）；（3）．【分析】（1）由解析式确定，令、求x的范围，即可知单调区间；（2）由在内单调递增，则在上恒成立，令，即，进而求参数范围；（3）由存在单调递减区间，则在有解，可求参数范围.【详解】（1）当时，且定义域为，即，∴若，得；若，得，∴的增区间是，减区间是．（2）由题意知：在内恒成立，则恒成立，令，则即可，而在内的最小值为．∴．（3）依题意，在区间内有解，即在区间内有解，而对称轴为且开口向上，∴必有，即．8．已知函数（1）若函数在上递减，在上递增，求实数的值.（2）若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）或.【分析】（1）由题意可得是函数的极大值点，由即可得解.（2）根据恒成立思想先求出在定义域上单调时的的取值范围，取补集即可得解；（3）分离常数可得，转化为函数和的图像有两个交点，通过求导即得函数的图像与性质，结合图像即可得解.【详解】（1）由于函数函数在上递增，在上递减，由单调性知，，，经验证成立.（2）假设函数在定义域上单调，则有或在上恒成立故只有使在上恒成立即在上恒成立令，当两函数图像相切时，可得由图形（数形结合）可得：考点五：极值问题1、求函数极值或已知极值求参求函数的单调性，并利用单调性，求解函数的极值，并求解参数.2、极值点及极值点个数求参通过求导，将极值点个数转化为导函数变号零点个数，进行函数零点个数的求解3、极大值点或极小值点求参（1）若函数在处取得极大值，则且.（2）若函数在处取得极小值，则且.4、双极值和单极值范围求解将极值点表达出来，并转化为唯一的变量，进行求解5、极值点偏移利用函数的对称性，构造函数或利用对数均值不等式：进行求解1．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线(1)求的值.(2)求函数的单调区间与极值；【答案】(1)(2)增区间为,减区间；极小值,没有极大值.【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值；（2）由（1）的结果知,于是可用导函数求的单调区间与极值；【详解】（1）对求导得，由在点处切线垂直于直线，知解得；（2）由（1）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；所以函数在时取得极小值,没有极大值.2．已知函数.(1)已知时函数的极值为3，求和的值；【答案】(1)【分析】（1）时函数的极值为3，有，可解和的值；【详解】（1），，依题意有：，解得；3．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；(2)若函数在内存在极值，求的取值范围；【答案】(1)1；(2)【分析】（1）对函数求导，根据在点处的切线与轴平行，得出导函数为0，即可求出的值.（2）对函数求导，由函数在内存在极值，得出导函数为0，转换成，构造新函数，求其取值范围，即可得到的取值范围.【详解】（1）由题意在中，∵曲线在点即处的切线与轴平行，∴解得：（2）由题意及（1）得在中，函数在内存在极值∴当时，解得：在中，∴函数单调递减，∴∴的取值范围为：4．已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若的极大值小于2，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题意恒成立，从而可得出答案.（2）先求出，当时，在上单调递增，不满足题意，当时，求出其单调区间，得出其极大值，根据条件得出关于的不等式，解出答案.（1）由题意可知，.因为为奇函数，所以，即对任意的恒成立，所以.（2）由（1）可得，则，当时，恒成立，则在上单调递增.则不存在极大值，与题意不符合.当时，由得或由得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以为的极大值点，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.5．已知函数.（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）函数在处有极大值，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出导函数，由确定单调性得极小值，从而得最小值；（Ⅱ）求得导函数，设，再求导数，分类讨论的正负，得的单调性，要求在的左侧有，在的右侧有．由此可得的范围．【详解】解：（Ⅰ），，当时，；当时，；在上递减，在上递增.∴的极小值也是最小值为．（Ⅱ）.设，则.当时，，在上单调递增，时，；时，在上递减，在上递增，是的极小值点，与题意矛盾当时，在上是增函数，且①当时、时，.从而在上是增数，故有.所以在上是增函数，与题意矛盾②当时，若，则，从而在上是减函数，故有，所以在上是增函数，若，由（1）知，，则又，所以，存在使得.从而当时所以，在上是减函数，从而，在上减函数，故是的极大值点，符合题意.综上所述，实数a的取值范围为.6．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程.（2）若，证明：存在极小值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据函数表达式求出切点坐标，再由点斜式即可求出切线方程；（2）通过二次求导得到的单调区间，从而可以证明存在极小值.【详解】（1）当时，，所以.所以，.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）由，得.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为，所以，.因为在上单调递增，所以存在，使得，在上，，在上，，即在上，，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，故存在极小值.7．已知函数有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求，即求有两不相等的正根，转化为一元二次方程有两个不等地正根，利用根的判别式以及韦达定理，即可求解；（2）由（1），，设，可求出，，运用韦达定理求出，构造函数，通过求导，求出在单调性，即可得出结论.【详解】（1）.因为有两个不同的极值点，且，，所以有两个不同的正根，，解得，的取值范围；（2）因为，不妨设，由（1）得，时，，时，或，的递增区间是，递减区间是，所以，，所以.令，则，所以在上单调递增，所以，即的极大值与极小值之和的取值范围是.9．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；（2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.【详解】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）［方法一］：【通性通法】消元由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即.［方法二］：【通性通法】消元由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时．欲证不等式成立，只需证．因为，所以，只需证．令，所以，在区间内单调递减，且，所以，即证．［方法三］：硬算因为，所以有两个相异的正根（不妨设）．则且即．所以．而，，所以．设，则．所以在上递减，，问题得证．［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用由（1）知，存在两个极值点当且仅当．由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于．由对数平均不等式可得，即．故．10、．已知函数且.（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）a=1；（2）见解析.【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），从而可得结论；（2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．【详解】（1）解：因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a．则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0，所以h（x）min＝h（），又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，所以1，解得a＝1；另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，所以解得a＝1；（2）证明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，令t′（x）＝0，解得：x，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，由x0可知f（x0）＜（x0）max；由f′（）＜0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．11、．已知函数.(1)讨论的极值点的个数；(2)若函数有两个极值点，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）的极值点的个数等价于的解的个数，分离参数得，构造函数，求导分析，作出其图象，数形结合可得的极值点的个数；（2）由（1）可知，设，则，由得，取对数得，同理，进一步分析可得.最后利用分析法与换元法，将问题转化证明，即可.【详解】（1）解：由题意得，，即，故令，所以函数的极值点的个数的等价于与的交点个数.，得；得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，所以的大致图象如图：由图可得，当时，恒成立，函数单调递增，极值点的个数为0；当时，与的交点个数有两个，分别设为且，当时，，时，，故函数有两个极值点；当时，与的交点个数有两个，不妨设为，则当，，当时，，故函数有1个极值点.（2）证明：因为函数f（x）有两个极值点，由（1）可知设，则，显然，所以，由极值点的概念知，，故，所以，同理，两式相减得，即.另一方面，要证，只需证，即因为，所以，故上式可化为，即令，则，上式即为，.令，则，故为减函数，所以，即，原命题得证.考点六：最值问题1、求函数最值或含参最值.利用导函数，求解函数在已知区间的单调性，并求解出函数的最大，最小值.2、含参函数最值求解利用导函数，讨论函数在已知区间的单调性，求解出最大值，最小值.3、区间存在最大值或最小值求参开区间时，函数的最值在极值点处取得，闭区间时，函数的最值在极值点或端点处取得.及讨论函数的单调性，然后再求取最值.1．已知的一个极值点为2.(1)求函数的单调区间.(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)的递增区间为，递减区间为(2)函数在区间上的最大值为，最小值为.【详解】（1）由题意可得：，则，解得，当时，，，令，解得或，则的递增区间为，递减区间为，可得为极小值点，即符合题意，故的递增区间为，递减区间为.（2）∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，则函数在区间上的最大值为，又∵，即，则函数在区间上的最小值为，故函数在区间上的最大值为，最小值为.2．已知函数．(1)若函数在处取得极值，求实数的值；(2)当时．求函数的最大值．【答案】(1)；(2)答案见解析【分析】（1）求出导函数，由得的值，并检验是极值点；（2）由的根分类讨论，然后列表表示的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．【详解】（1）由题意可知，所以，即3-3a=0解得a=1，经检验a=1，符合题意．所以a=1．（2）由（1）知，令，，当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：x－21＋0－0＋－7+6a单调递增单调递减单调调增2－3a，由上可知，所以的最大值为．当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：x－21＋0－－7+6a单调递增单调递减2－3a，由上可知，所以f（x）的最大值为．当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，综上所述，当时，f（x）的最大值为；当时，f（x）的最大值为－7+6a．3．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2)或.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.4．已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间(2)若函数在的最小值为，求的最大值．【答案】(1)单调递增区间为；(2)．【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．【详解】（1）当时，，则，令，在R上单调递增，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，故，所以恒成立，仅当时取等号，即的单调递增区间为（2）当时，时，，时，，则在取得最小值，符合题意；当时，时，，时，，时，，因为最小值为，所以得，即；当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；当时，时，，时，，时，，则有，不合题意；综上可得，的最大值．5．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.所以，设函数，求导当时从而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.6．已知函数．(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；(2)若在上有最大值，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由已知可得，即可求得实数的值；（2）分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用函数的最值与极值的关系可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：函数的定义域为，，由已知可得，解得.（2）解：因为，令.①当时，对任意的，恒成立，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；②当时，在上单调递减，则，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；③当时，方程的两根分别为，，由可知，列表如下：增极大值减所以函数在处取得最大值，综上所述，实数的取值范围是.7．已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值.【答案】（1）的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）时，的最大值为【详解】（1）令得：得：在上单调递增得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）得①当时，在上单调递增时，与矛盾②当时，得：当时，令；则当时，当时，的最大值为考点七：零点问题1、零点个数利用函数的单调性，求解函数的极值和最值（注意端点取不到时用极限），进行与零进行比较，然后讨论出零点的个数.2、零点个数求参（1）参变分离的方法，转化为两个函数的交点问题，利用函数的图象，找到参数取值范围（注意区间端点处的极限值）（2）利用分类讨论的方法，求解函数的极值和最值，与零进行比较，从而求解出参数的取值范围.3、证明零点个数利用函数的单调性，通过求解函数的极值，最值，或者试数的方法，找到与零之间比较的数字，从而判断出区间上的零点的个数4、隐零点求解函数相关问题当令无法求解出对应的函数值时，则用隐零点代替对应的函数值，并判断函数的单调性，求解出对应的函数相关问题（注意，之间的转化）5、零点偏移根据两个零点的比较，构造出一个函数，利用构造函数的单调性，进行对应的证明，也可以利用对数均值不等式，进行式子变形证明.1．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的最小值；(3)求函数的零点个数，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)只有一个零点，理由见解析【分析】（1）求导，求得切线斜率，再由点斜式得解；（2）判断函数的单调性，进而可得最小值；（3）结合零点存在定理和单调性，即可得出结论．【详解】（1）函数的定义域为，，则，又，由点斜式可得，所求切线方程为，即；（2）令，解得；令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以；（3），，则，令，解得；令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，则在上无零点，在上单调递增，，，则在只有一个零点，综上在定义域只有一个零点．2．已知函数.(1)求的单调区间；(2)讨论方程零点的个数.【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)答案见解析(1)解：，令，则.所以当时，，单调递增，又，，所以当时，，单调递增；当时，，显然，当时，.故当时，，单调递减.综上：的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)由得：，令，.令，，故，在为增函数.又，.故存在使得，此时，故，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增..又知，；，.所以，当时，函数没有零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.3．已知函数在时有极值0．(1)求函数的解析式；(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由可得，因为在时有极值0，所以，即，解得或，当，时，，函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去，当，时满足题意，所以常数a，b的值分别为，，所以．（2）由（1）可知，，令，解得，，∴当或时，，当时，，∴的递增区间是和，单调递减区间为，当时，有极大值；当时，有极小值，要使函数有三个零点，则须满足，解得．4．设函数.(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个零点，，求实数a的范围.【答案】(1)当时，在区间上单调递减；当时，单调递减区间，单调递增区间.(2)【详解】（1）由于，则定义域为，可得：，当时，∵，∴，故在区间上单调递减；当时，∵，∴由可得，由得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2），，，当时，，为单调函数，不可能有两个零点，舍去;当时，由得或(舍去).当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以当时取得最小值，要使有两个零点，，需要，即，解得，又，且，所以在上有唯一的零点，令，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以当时取得最小值，故，即（当且仅当时取等号），，且，所以在上有唯一的零点，综上:当时，有两个零点.5．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)当时，在上单调递减

当时，在单调递减，在单调递增．(3)【详解】（1）当时，，则所以曲线在点处的切线方程为：即．

故答案为：（2）的定义域为，（ⅰ）若，则，所以在上单调递减

（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增．

故当时，在上单调递减

当时，在单调递减，在单调递增．（3）（ⅰ）若，由（2）知，至多有一个零点，不满足条件．（ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为①当时，由于，故只有一个零点，不满足条件；

②当时，，即，故没有零点，不满足条件；③当时，，，即．又，故在有一个零点．设正整数满足，则．由于，因此在有一个零点．

综上，的取值范围为．6．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最小值；(3)证明函数只有一个零点．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案；（2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.【详解】（1）的定义域为，故，，所以曲线在点处的切线方程为：，化简得：（2）令，，当时，，所以在上单调递减，且，，所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，又因为所以函数在区间上的最小值为.（3），，若，，所以在区间上单调递增，又，，结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，若，则，则，若，因为，所以，综上，函数在有且仅有一个零点.7．已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.[方法二]：构造差函数由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．构造函数，求导数得．当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．由于，当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．所以，实数a的取值范围为．[方法三]分离法：一曲一直曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．①当时，与只有一个交点，不符合题意．②当时，取上一点在点的切线方程为，即．当与为同一直线时有得直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所当且时有．综上所述，实数a的取值范围为．[方法四]：直接法．因为，由得．当时，在区间内单调递减，不满足题意；当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．故实数的范围为．8．已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将有两个零点变为有两个根，构造函数，利用导数求其最值，列出不等式，解得参数的范围；（2）不妨设，由（1）可知，则，将要证明的不等式转化为证明，然后构造函数，利用导数证明其单调性，即可证明结论.(1)由题意得有两个零点等价于有两个根；令，则，令，，故单调递减，且，故当时，,递增，当时，,递减，故，要使有两个根，需满足，即，即a的取值范围为；(2)设是的两个零点，则，不妨设，由（1）可知，则，又因为在时递减，故要证明，即，只需证明，即；设，则，而当且仅当时取等号，故，即，故单调递增，因为，故，即成立.考点八：恒成立与能成立问题1.，，成立2.，，成立3.，，成立1．已知函数（为常数）.(1)讨论函数的单调性；(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增(2)【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；（2）分离参变量得在上恒成立，令，问题转化为求函数的最大值的问题，求解即可．【详解】（1）定义域为，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.（2）由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立，令，则，由，得，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，只需，所以实数的取值范围是.2．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，求得，，利用导数的几何意义，即可写出切线方程；（2）对分离参数，构造函数，利用导数求得其单调性和最值，即可求得参数的范围.【详解】（1）当时，，，又，，故在点处的切线方程为：，即：.（2）因为，若，即，.令，则，当，，单调递减，故.若在区间内至少存在一个实数x，使得成立，故,则实数a的取值范围为.3．已知函数(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数单调增区间；(3)若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.【答案】(1)(2)单调增区间为(3)【详解】试题分析：（1）求导得，又切线方程为；（2）由（1）得在上是增函数，又不等式的解集为故函数的单调增区间为；（3）将原命题转化为当时，只要即可．再利用导数工具，结合分类讨论思想和数形结合思想求得的取值范围为．试题解析：（1）因为函数，所以，，又因为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由（1），，因为当，时，总有在上是增函数，又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为．（3）因为存在，使得成立，而当时，，所以只要即可．又因为，，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．因为，令，因为，所以在上是增函数．而，故当时，，即；当时，，即．所以，当时，，即，函数在上是减函数，解得．当时，，即，函数在上是减函数，解得．综上可知，所求的取值范围为．4．设函数．(1)讨论的单调性；(2)设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)详见解析；(2)【分析】（1）利用导数来研究函数的单调性，注意对参数进行讨论.（2）恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理.【详解】（1）因为函数，所以函数定义域为：，且①当时，，令，令,所以当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，，因为，所以当时，，令，令或，所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；当时，，所以当时，在上单调递减；当时，，令，令或，所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；③当时，令，令，所以当时在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，在上单调递增，所以，所以原问题，使得成立，使得成立.设，则，所以上单调递减，所以.所以即.5．已知函数，函数.（1）求函数的最小值；（2）若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求的