门头沟2020届高三一模数学试题及答案解析

门头沟区2020年高三年级综合练习

高三数学2020.3

考

1.本试卷共8页。请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。

生

2.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。

须3.请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。

4.考试时间150分钟，试卷满分150分。

知

ー、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有

ー项是符合题目要求的。）

1.复数万（1+0的模为

A.-B.1C.2D,272

2

2.集合ス={x|x>2,xeR},5={x|x2-2x-3>0}.则スハ8=

A.(3,+oo)B.(-00,-1)U(3,4-oo)C.(2,4-oo)D.(2,3)

3.已知双曲线C:ゴーと=1,则C的渐近线方程为

94

9432

A.y-+—xB.y=±—xC.y=+—xD.y-+—x

4923

4.若等差数列{し}的前〃项和为S”,且S|3=0，%+ム=21，

则57的值为

A.21B.63C.13D.84

5.某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三

角形和边长为1的正方形,则该几何体中最长的棱长为

A.V2B.>/3C.1D.V6

6.设非零向量a,b,c,满足同=2,同=1。且み与々的夹角为凡则“ルーイ=け”是“6=色”的

A,充分非必要条件B,必要非充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

高三年级综合练习数学试卷第1页（共15页）

7.已知函数/(x)=12。4°),且关于X的方程/(x)+x—a=0有且只有一个实数根,则实数。的

Inx(x>0)

取值范围

A.[0,4-00)B.(l,+oo)C.(0,4-oo)D.[-00,1)

TT

8.若函数/(x)=sin2x的图象向右平移ー个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间［0,0

6

上单调递增,则。的最大值为

A.—B.—D.——

2312

9.已知点/(2,0),点尸在曲线ヅ2=4ス上运动,点ド为抛物线的焦点,则的最小值为

W-i

A.V3B.2(V5-1)C.475D.4

10.ー辆邮车从ス地往8地运送邮件,沿途共有〃地,依次记为4,4，…ん(4为ス地,ん为台地)。

从4地出发时,装上发往后面〃ー1地的邮件各1件,到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件,同

时装上该地发往后面各地的邮件各1件,记该邮车到达4,4，…4,各地装卸完毕后剩余的邮件数记为

%(4=1,2,•一,〃)。则知的表达式为

A.k(n-k+T)B.左(〃ーん—1)C.n(n-k)D.k(n-k)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分.)

11.在二项式(X?+2)6的展开式中，的系数为。

12.在中,AB=®BC=l,NC=g则スC=。

13.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协カ，特别是全体ー线医护人员的奋カ救治，二月份“新

冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月

13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下:

高三年级综合练习数学试卷第2页(共15页)

根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对,通过比较,把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白

处。

①〇

②«

14.已知两点4(7,0),8(1,0),若直线x-y+a=0上存在点尸(x,y)满足万•丽=0

则实数。满足的取值范围是。

15.集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0),B={(》,刈回|+1=国+曲,

若スnB是平面上正八边形的顶点所构成的集合,

则下列说法正确的为_________________________

①a的值可以为2；

②。的值可以为ノ5；

③。的值可以为2+J5；

本题给出的结论中,有多个符合要求,全部选对得5分，不选或有选错得0分,其它得3分。

三、解答题:(本大题共6小题,满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明)

16.(本小题满分为13分)已知函数./"(X)=sin(ox+(p)(co>0,\(p\<エ)满足下列3个条件中的2个条件:

①函数,/'(X)的周期为万;

②x二ユ是函数/(x)的对称轴;

6

③./"(7)=0且在区间(工,1)上单调。

(I)请指出这二个条件,并求出函数./'(X)的解析式;

7T

(II)若xe[0,§],求函数，(x)的值域。

17.(本题满分15分)在四棱锥尸—Z8CZ)的底面ス8CZ)中，

BC//AD,CDLAD,尸。丄平面ス8CO,。是スO的中点，且

PO=AD=2BC=2CD=2

(I)求证:46//平面尸。。；

(II)求二面角。ーPCーク的余弦值;

(111)线段尸。上是否存在点E,使得ス8丄。£,

若存在指出点E的位置,若不存在，请说明理由。

高三年级综合练习数学试卷第3页(共15页)

18.（本小题满分13分）十八大以来,党中央提出要在2020年实现全面脱贫,为了实现这一目标,国家

对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政,各级财政提高了对“新农合”的补助标准。

提高了各项报销的比例,其中门诊报销比例如下:

表1:新农合门诊报销比例

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

门诊报销比例60%40%30%20%

根据以往的数据统计,李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下:

表2:李村一个结算年度门诊就诊情况统计表

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

ー个结算年度内各门诊

就诊人次占李村总就诊70%10%15%5%

人次的比例

如果ー个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100

元、200元、500元。若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次。

（I）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中,60岁以上的人次占了80%,从去三甲医院门

诊就诊的人次中任选2人次,恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少?

（II）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率,求李村这个结算年度

每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望。

19.（本小题满分15分）

已知椭圆G:ち+ら=1（。>6>0）,上顶点为8（0,1）,离心率为［「,直线ハヅ=ほー2交ッ轴于，点,

ciu2

交椭圆于/5,。两点,直线8R制分别交x轴于点A1,N。

（I）求椭圆G的方程;

（H）求证：为定值

高三年级综合练习数学试卷第4页（共15页）

20.(本小题满分15分)已知函数/。)=5抽ス+11Iスー1。

(I)求/(X)在点(エ,/(5))处的切线方程;

(H)求证:/(x)在(0,4)上存在唯一的极大值;

(III)直接写出函数/(x)在(0,2万)上的零点个数。

21.(本小题满分14分)已知见〃均为给定的大于1的自然数,

n

设集合"={1,2,3,---,q},T={x[x=苞+x2q+---+xnq~',xt&M,i-\,2---,n]

(I)当り=2,〃=2时,用列举法表示集合T

(II)当り=200时,/={q,め,…,《〇〇}1"，且集合ス满足下列条件;

①对任意l<z<；<100,q+。产201；②)メ,=12020

/=1

证明:(ハ若Vqw/,则201-aベス(集合ス为集合ス在集合A/中的补集)

(ii)为ー个定值(不必求出上此定值)；

;=1

2nx

(III)设s,/e7,s=优+b2q+b3q+•••+bnq"~\t=c1+c2q+…+cttq~,

其中如£.€收,，=1,2/ー,〃,若b”<c",则s<，

高三年级综合练习数学试卷第5页(共15页)

门头沟区2020年高三综合练习评分标准

数学2020.3

ー、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有

ー项是符合题目要求的。)

1.复数万(1+i)的模为()

A.-B.1C.2D,272

2.集合ス={X|X>2,XGR},5={X|X2-2X-3>0}.则ス口8=()

A.(3,+8)B.(―〇〇,一1)U(3,+℃)C.(2,-Foo)D.(2,3)

3.已知双曲线。:こーと=1,则C的渐近线方程为

()

94

9432

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±—xD.y=±—x

4923

4.若等差数列{ム}的前〃项和为S“,且S|3=0，/+%=21,则Sア的值为

A.21B.63C.13D.84.

)

5.某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长

为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,

则该几何体中最长的棱长为

A.V2B.C.1D.V6_____正血

解:由题意可知，此几何体如图所示，底面为ー个「、、

直角三角形，高

七匕

为1,最长的棱为正方体的主对角线,长为けX

]

一k_______门ri

6.设向量4,6满B足!/?|=2,|«|=1,且う与£的夹角为6。则[みーマ=6”

日“の/7T，，的

3

A,充分非必要条件B,必要非充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解:レー4=6=4+1-2のわ=3〇4力=1〇。=と选じ【利用向量几何运算更易】

3

高三年级综合练习数学试卷第6页(共15页)

7.已知函数/(x)=1204°),且关于x的方程/(x)+x-a=O有且只有一个实数根,则实数。的

Inx(x>0)

取值范围

A.[0,-Foo)B.(l,+oo)C.(0,4-oo)D.[-00,1)

解:/'(x)+x-Q=0o/(x)=a-x作图可得:B

8.若函数/(x)=sin2x的图象向右平移7T丄个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[〇,0

6

上单调递增,则。的最大值为

A.—B.—C.—D.-----

231212

解:g(x)=sin(2x-y),g(“)为最大值,。的最大值2a—q==包,选C

9.己知点/(2,0),点尸在曲线ザ=4ス上运动，点ド为抛物线的焦点，

则J—；•——的最小值为

阳ー1

A.GB.2(V5-1)C.475D.4

解:设尸(スノ)是抛物线上任一点，

\PM^(x-2)2+y2x2+44.

抛物线的焦点为ド(1,0),掠ホ=----こー=丁=イ+或

io.ー辆邮车从ス地往6地运送邮件，沿途共有〃地,依次记为ル,ん,…4,(4为ス地,ん为8地)。

从4地出发时，装上发往后面〃ー1地的邮件各1件,到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同

时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达4,4,…ん各地装卸完毕后剩余的邮件数记为

a,(k=1,2,…,〃)。则ak的表达式为

A.厶(〃ーん+1)B.k(n-k-l)C.n(n—k)D.k(n—k)

12345678910

DADBBCBCDD

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分.)

11.在二项式(f+2)6的展开式中，ザ的系数为。60

高三年级综合练习数学试卷第7页(共15页)

解:加==。产,2,=尸=2,60

12.在A/1BC中,AB=®BC=1,NC=——，则スC=01

3

解:由余弦定理得:AC=\

13.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协カ,特别是全体ー线医护人员的奋カ救治,二月份“新

冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份从2月7日到2月

13日ー•周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：

根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对,通过比较,把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白

处。

①。

②。

开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低;甲省比乙省的方差要大:

从2月10日开始两个省的新增人数都在下降;2月10日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值;

等等。至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差,并且给出的两个数据信息都是正确,给满分5分;若

两个结论都没有涉及到平均数或方差,两个数据信息都正确也要扣2分。

14.已知两点ズ（—1,0）,8（1,0）,若直线x—y+a=0上存在点尸aノ）满足スP80=0

则实数a满足的取值范围是。

解;设尸（x,シ）,则万•丽=0=ギ+ザ=1e[-V2,V2]

15.集合ス={(x,y)料+レ|=a,a>0},8={(x,y)|回|+1=国+レル,

若スn3是平面上正八边形的顶点所构成的集合,

则下列说法正确的为②③

①a的值可以为2；

②。的值可以为ノラ；

③。的值可以为2+J5；

高三年级综合练习数学试卷第8页（共15页）

本题给出的结论中,有多个符合要求,全部选对得5分,不选或有选错得〇分,其它得3分。

解:（1）若〇＜aWl时，不可能构成正八边形;

（2）若1＜。＜2时，设正八边形边长为/,如图1i.

—+/cos45°=1=>/=2V2—2=>a=l+—=

22

(3)若a=2时，不合题意;

(4)若。>2时・,此时正八边形边长为2,

故a=1+y/2.+1-2+y/2,如图2

1112131415

601甲省比乙省的新增人数的平均数低；[-V2,V2]②③

甲省比乙省的方差要大；等

13.开放性试题,如甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大;

从2月10日开始两个省的新增人数都在下降；2月10日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；

等等。至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差,并且给出的两个数据信息都是正确,给满分5分；若

两个结论都没有涉及到平均数或方差,两个数据信息都正确也要扣2分。

三、解答题:（本大题共6小题,满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）

16.（本小题满分为13分）已知函数,/"（X）=sin（ox+の（の＞〇,|同＜ム）满足下列3个条件中的2个条件:

①函数/（x）的周期为万;

②X=ユ是函数ハX）的对称轴;

6

③吗）=0且在区间弓,令上单调

（I）请指出这二个条件,并求出函数/（X）的解析式；

7T

（II）若xe[0,§],求函数/（x）的值域。

解:（I）由①可得,---=7T=＞CO=2............1分

co

由②得:——+（p=k兀キー=（p=k7t+-------,た€Z............2分

6226

高三年级综合练习数学试卷第9页（共15页）

7tCO710))

——ヤ(p=m7r=(p=mTi-----,加£Z

由③得,44

4分

T、冗冗冗2だ、2だへ

—>-----=—=>—>—=0<co<3

226333

7TTT

若①②成立,则の=2,ジ=—,/(x)=sin(2x+—)5分

6,6

若①③成立,则タ=ル万-----=m7i,m€Z,不合题意........6分

42

若②③成立,则k"上一ギ・=1n兀ー黑・=(0-12(加一ん)—626,m,keZ

与③中的〇＜。＜3矛盾,所以②③不成立....................8分

jr

所以,只有①②成立,/(x)=sin(2x+-)......................9分

6

(II)由题意得,04ス＜クつク＜2イ+々4"=＞一＜/(イ)41……12分

36662ノノ

所以,函数/(x)的值域为［;』］...............................13分

17.(本题满分15分)在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中,BCHAD,CO丄ス。,尸。丄平面ス8C。,

。是スO的中点,且PO=AD=2BC=2CD=2

(I)求证:48//平面尸。。;

(II)求二面角。ー尸Cー。的余弦值:

(111)线段尸。上是否存在点E,使得ス6丄。£,

若存在指出点E的位置,若不存在,请说明理由。

解:(I)连结。C,BC=AO,BC//AD

则四边形ス8C。为平行四边形.....1分

AB//OC

＜AB(Z平面尸。。=＞AB〃平面产。。…4分

。。＜=平面尸。。

(II)「。丄平面ス8。。

CDLAD

つ四边形。8。ハ为正方形

OD=BC=CD

所以,。民。ハ,。P两两垂直,建立如图所示坐标系,...........6分

则。(1,1,0),尸(0,0,2),力(0,1,0)1(1,0,0),设平面尸。つ法向量

高三年级综合练习数学试卷第10页(共15页)

一n-CD=0一

为〃]=（x,y,z）,贝/__x___.n〃]=（0,2,1）,................8分

吗•PD=0

连结80,可得8。丄。C,又3。丄PO所以,8。丄平面尸。C,

平面POC的法向量第=前=（-1,1,0）（其它方法求法向量也可）……10分

设二面角。ーPCーク的平面角为6,则cos0=^]=巫……11分

咄〃25

（III）线段尸C上存在点E使得ス8丄クE12分

方法一:设E(x,y,z),PE=APC=>(x,y,z-2)=2(1,1,-2)=>E(A,A,2-22)

〇=>2=g­••14分

。£=(2,2—1,2—22),48=(1,1,0),ABLDEnABDE=

所以,点E为线段尸。的中点.........15分

方法二:设E是线段尸。的中点，BDHOC^M,

EMIIPOnEM丄平面ス8。ハ

（OCIBD十三

4つ。。丄平面8Eハ=。。丄£。

OCLEM

ABHOC,所以スル丄£75........15分

18.（本小题满分13分）十八大以来,党中央提出要在2020年实现全面脱贫,为了实现这一目标,国家

对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政,各级财政提高了对“新农合”的补助标准。提高了各项

报销的比例,其中门诊报销比例如下：

表1：新农合门诊报销比例

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

门诊报销比例60%40%30%20%

根据以往的数据统计,李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下:

表2:李村一个结算年度门诊就诊情况统计表

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

一个结算年度内各门诊

就诊人次占李村总就诊70%10%15%5%

人次的比例

如果ー个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100

元、200元、500元。若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次。

高三年级综合练习数学试卷第11页（共15页）

（I）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中,60岁以上的人次占了80%,从去三甲医院门

诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少?

（II）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率,求李村这个结算年度

每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望。

解:（I）去三甲医院门诊就诊的人次为100人次,其中60岁以上老人为80人次,设这2人次都是60

岁以上老人这ー事件为ス…1分

则P（Z）=?=と2...................5分（没有设出事件,但有答也不扣分）

C495

（II）X可取20,60,140,400,........................9分分布列为

每人次门诊实2060140400

付费用X

P0.70.10.150.05

..............................11分

期望为=20x0.7+60x0.1+140x0.15+400x0.05=61...............13分

19.（本小题满分15分）

已知椭圆G:キ+キ=l（a>b>0）,上顶点为8（0,1）,离心率为g,直线七ヅ=任一2交ア轴于ク点,

a'b'2

交椭圆于尸,0两点,直线即,80分别交x轴于点”,N。

（I）求椭圆G的方程;

（II）求证:S.（ベ刖为定值

19解:（1）有条件可知:b-1,—==>a=J5,c=1................2分

a2

r2

所求椭圆方程为:—+/=1.........................................4分

2

（II）设尸（あ,凹）,。（ち,必）为直线/与椭圆的交点,贝リ

ハ〉〇=>ん一>ー

2

ど2

2,びードギ_ほ+可得:<8k

=>（2+1）86=0,宀=行6分

y-kx-2

6

斗“对!

直线8尸:y="二!・》+1n"（上匸,0）

8分

る1ー凹

高三年级综合练习数学试卷第12页（共15页）

同理得:N（^-,0）............................................................9分

1ー必

凹+%=ホフ'乂ル=す11分

6

3ー々ー32F+!し

x14分

ネ(1一乂)(1一%)—41+4十4—2公ー2

2んユ+12んユ+1

所以，SM°M・SMCN为定值.....................................15分

20.（本小题满分15分）已知函数/Xx）=sinx+lnx-l0

（I）求/（X）在点（エ,/（チ））处的切线方程:

（H）求证:/（x）在（0,万）上存在唯一的极大值:

（III）直接写出函数/（x）在（0,2万）上的零点个数。

解:(1)/(—)=l+ln一一l=ln-............................................1分

222

/(x)=cosx+—nf(一)=—............................3分

X271

所以,/（X）在点（エ,/（、））处的切线方程

为ダ_[n—=—（x——"）=＞ブ=一x+ln-----1.......................5分

2712冗2

（II）证明:/'（X）=cosX+丄,

X

、1/.1

设g（x）-/（x）=cosx+—=g（x）=-sinx——-＜0..............7分

xx

,JT2