考点59坐标系与参数方程备战2020年高考数学理一轮复习导练案纸间书屋

59..取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)M是平面上的任Mθ.有序数对(ρ，θ)MM(ρ，θ)．把直角坐标系的原点作为极点，xM

或 00

πM(a,)2M(ρ0，θ0)α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sinθ0－α)．πM(b,)且平行于极轴：ρsin2若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).这是直线的参数方程,其中t有明显的几何意义. 基本思路是消去参数,常用的消参方法有①代入消元法②加减消元法③恒等式(三角的或代数的)消元法等,.成(t为参数),交点A,B对应的参数分别为t1,t2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t1+t2,t1·t2,得到|AB|=|t1-t2|=.考向一

2y'1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换2y'A12经过变换A B经过变换B'31B 2 求直线l:y6x经过变换后所得直线l 求双曲线C:x 1经过变

后所得曲线C的焦点坐标（2）（3）（4）x'

x'（1）A'(xy，由伸缩变换2yA12，

得y1y x311y1(2)1A的坐标为(11 x'

x1xB(xy，由伸缩变换2y

，得到 y2yB'31x1(31y211 2 B的坐标为(1,1设直线lP'(xyx1x 由（2）可知，将 ，代入y6x得2y'63x'，所以y'x'，y2y 所以直线lyx

x1x 设曲线C'上任意一点P'(x',y')，将 ，代入x2

1x'y

y2y

1为曲线C'的方程 可得C仍是双曲线，且该双曲线的焦点坐标分别为(50),(50【名师点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换的应用，其中解答中熟记图形的伸缩变换的，代入x2已知曲线C的参数方程为y3sin（为参数Cx1 y

得到曲线Cy求曲线CA在曲线CB20AB倾斜角的取值范围考向二 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要对方程进行合理变典例 π处的切线为直线4M2 4 l 设直线l与x 1的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程4【答案（1）2xy20（2） ∴2cos22sinCy1x2yx2 π4又M2 （2，24 ∴ky|x22C在点（2，2）y22(x2l的直角坐标方程为2xy20 2

x

xx（2）由x

解得y

或y2

为 22k12y+11x1

2 2 4sin（1）（2）由中点坐 得到中点坐标为1,1，直线斜率为k1,进而得到直线方程 xOy中，曲线C的方程为x32y4225.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极求曲线C直线l:πR，直线l:πR，若l，l与曲线CAB 点，求△AOB的面积 xy的取 x 典例3在平面直角坐标系xOy中，曲线C

2（ y 2

y参数，若曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，则 443

x2y

22

2

x2y

2

y1xy1

y2

，得到：3x2﹣4x=0，解得：x=043

4,3

，所以 =4244 13 34故答案434xOy中，已知曲线C、C的参数方程分别为C：x2

，Cx1tyt

y

P10，若曲线C1与曲线C2ABPAPB1（1）x2y2x1；（2）34.1 x2x

1 曲线C2xsinycossin0或：当πkπ，kZ时，曲线Cytanx1xtantan 当=πkπ，kZ时，曲线Cx x1t

x2y2

sin23t26tcos9（将2：yt

为参数代入1

1化简整理得 则36cos236sin231440t

,t

，t 21 t 21PAPBttt

sin2PAPB3,4题由sin2cos21PAPBt1

t1t2从而得解xOy中，曲线C的参数方程为x22cos为参数)，曲线C1x2y12t(t为参数

y 若曲线C与曲线C交于P，Q两点，且A2,1，求 的值 参数方程与极坐标方程在高往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标5xOy中，曲线C的参数方程为x

(为参数)，以原点Ox y

3sin2正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos() 2 P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，求|PQ|P

xy6 12【答案（1）x 23

（2）

P的直角坐标为(,)2

x2

y)2

3（1）由3y

3sin

，即x 1， 故曲线1的普通方程为x 3222由cos() 可得2cos 2sin ，即2x 2y222

xy60 故曲线C2xy60（2）P的直角坐标为(cos,3sin，因为曲线C2是直线，2所以|PQ|Pxy60的距离的最小值，Pxy60的距离为d|cos3sin6|2

2|sin( )3|，62当且仅当2k(kZd取得最小值，即|PQ|取得最小值，最小值为23

P1坐标为(,)2x12xOyC的参数方程为y1

半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2π(RlCM，N3CMNPOPy参数方程x3cosyx3y1C．x3y102x

x3y1D．x3y102xxOyCx2y2＝1经过伸缩变换x2xC

y' 为 y y 已知曲线C2cos4sinP为曲线COPO的最大值 55 D．55已知曲线C的极坐标方程为：22cos2sin0，直线l的极坐标方程为：π（R4曲线C与直线lBAB223D．3y2txOy中，曲线Cx2y216，直线l的参数方程为：x1y2t数，若直线l与曲线CMNMN的中点坐标为12 D． 极坐标方程cos2sin10化为直角坐标方程，

3（为参数P为曲线Cysin线的方程为：xy4，则点P到该直线的距离d的最小值 x53xOy中，已知直线的参数方程为

(t为参数)，以Ox4y3 为极轴建立极坐标系，直线与圆5交于B、C两点，则线段BC中点的直角坐标 yx y已知直线ly

232

t为参数)，曲线Cxcos（为参数设l与C1ABAB若把曲线C1倍，纵坐标压缩为原来的3倍，得到曲线C P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l3 cos3

y1sinx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0求曲线C1 1

1x41 l的参数方程为y 3

（t为参数xC2cos若直线πRCA（不同于原点lBAB6 x2xOyl的参数方程为

（t为参数O为极点，xy 2 1sin2OPP（0，−1，OPsin1，曲线C的参数方程为x2

（为参数2求C1与C2

y2已知直线lxy20P在曲线C2P到l的距离的最大值xtxOy中，已知曲线C1ytsin（t为参数，且t00π．在以Ox轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C22sinC323cos求C2与C3AB 4cos求曲线C2MMNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标．x1【2019年高 卷理数】已知直线l的参数方程为y24t（t为参数），则点（1，0）到直线

【2018年高 卷理数】在极坐标系中，直线cossina(a0)与圆=2cos相切，则 【2017年高考 卷理数】在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标 1tx1t【2019年高 Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y

1t

（t为参数）．Oxl的极坐标方程为2cos3sin110ClCl【2019年高考 Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．（1）当

l （2）当M在C上运动且P段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程【2019年高 Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,)，D(2,) 所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1,)，曲线M是 ，曲线M是

(1,2

M3是弧CDM1M2M3MM1M2M3PM上，且|OP

3P7．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点A3B2，直线l的方程为 4 2sin3

4 【2018年高 2x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C22cos302求C2若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1y4sin【2018年高 Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xy4sin

x1tcosα线l的参数方程 y2tsinα

为参数求C和l若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(12，求l【2018年高 Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为xcos，过点0

2且倾斜角为的直线l与⊙OA，B

ysin

为参数求ABP【2018lsin(π)2C64coslCx3cos【2017年高 Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为ysin

xal的参数方程为y1t（t为参数若a1ClCl距离的最大值为17a【2017年高考Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1cos4． 段OM上，且满足|OM||OP|16，求点P的轨迹C2的直（2）A的极坐标为(2B在曲线C上，求△OAB 【2017年高考Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy中，直线x2

x的参数方程为ykt,（t为参数）线l2的参数方程为 y

C2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3:cossin 0，M为2CMx8y【2017xOyy

（t为参数2曲线C的参数方程为y2

（s为参数）．P为曲线CP到直线l1（2） 5π，πx1

6

,,y1 yxcos，消去得Cx2y（2）当AB与圆相切时，∠ABO30（O为坐标原点k

3或—3 ∴直角AB倾斜角的取值范围为0,π 5π，π 6

（1）（1）6cos8sin（2）122534（1）曲线C的普通方程为x32y4225x2y26x8y0曲线C6cos8sin（2）AπBπ16 23 把π6cos8sinOA433 A433,π 6 把π6cos8sin

343 B343,π 3 1sin 21 2 2 122534

x

y

x2y2（1）的极坐标方程（把π，π分别代入曲线COA，OB的长，A B的坐标以及AOB，最后代入三角形面积

1sinAOB，即可得到△AOB的面积（1）x2y24x0（2）2559

21（1）因为曲线C的参数方程为x22cos（为参数 y2sin所以其普通方程为x22y24x2y24x0x2

x2

3曲线C2的参数方程y12t（t为参数）可化为

（t为参数 y 1代入曲线Cx2y24x0，可得t21

4t3所以tt3,tt 41 2 2所以

11

，所以t1t2 则

11 可将曲线C（2）将曲线C的参数方程为x2

(t为参数)1x2

3

y1的参数方程y

t3【答案（1）222cosπ2（2）OP3 4 x12（1）曲线C的参数方程为y1曲线C的普通方程为(x1)2y1)222xysin22cos2sin2曲线C222cosπ2

（为参数 4 3（2）联立2π22cos2sin2，得2333设M1,,N2,，则12 312由OP ，得OP31122

1)20.求解时（1消参得(x1)2y1)222

xcos,x2y2y3（2）联立2π和22cos2sin223112

1)20

1OP

代入即可3 3【解析】因为1cos1，所以2x4ycoscosyx3cos1x3y10x3y102x4【答案】【解析】因为圆

x2y21，经过伸缩变换x2xy'x

22，代入圆2

x2y21，得到x

y2y

4

1， 4

1C项x2xxy的表达式，然后代入到C中，从而得到曲线Cy' 2cos4sin22cos4sinx2y22x4y即(x

（y

（1，−2， ，因为点O到圆上的最大距离等于点O55圆心的距离d加上半径r，且d ，所以55程，通过最大距离【答案】

r求得答案【解析】因为曲线C22cos2sin0Cx2y22x2y0，即(x1)2+（y-122，这是以（1，1）圆心，半径r 2的一个圆因为直线l的极坐标方程为：π（Rlyx.yx4（1，1

22AB经过圆点，从而AB为直径.AB过圆心，则AB2rx1t 【解析】把y2tsinx

16t2(2cos

11

2cos

4sin因为(12MNtt02cos4sin0tan1k1 x2y1

0【解析】cos

x,sin

2sin)1

2sin

∴x2y10y，可得到直线的直角坐标方程22P(3cos,sinPxy4023cossin23cossin2sin(π3)2

)1时，d取最小值，d 2d 2525【答案】442525 x53【解析】直线的参数方程为

4

y114x y3 5x2y225将直线方程代入圆的方程中，整理得25x288x1040xx0

x1x22544 114x114yy1y2 3

32112x

33 2525BC中点的直角坐标为44332525 变形，如两边同时平方或同时乘以，再代入 【答案（1）1（2）3 6 （1）ly

3x1C1x2y21y

3(x1A10B13x2y2

2(11)2(11)2(0232x1

（2）曲线C2y

23

（为参数 设所求的点为P1cos 3sin 316316π22433333322 33

) 当cos(π)1时，d取得最大值3 6 （1）程的参数t，求得直线l的普通方程.消去曲线C1参数方程的参数，求得曲线C1l和曲线C1的方程求得交点A,B的坐标，再根据两点间的距离求得AB.（2）根据坐标变换求得曲到直线l的距离的最大值.23410【答案（1）223cos2sin30（2） , 33 cos,消去参数，得x3

y1sinxcosysin223cos2sin30（2）依题意有

0,π 3 将0代人曲线C223cos2sin30 P11,0P22,01223cos02sin0123所以

111223cos02sin04

π

3因为

0,π

1 3所以

ππ,2π 34sin

π23,4 3 3 1所 1

的取值范围为234 3 （1）方程.（2）将0代入曲线C的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解.3【答案（1）x2y22x0，3cossin43（2） 3（1）∵2cos∴22cosCx2y22x0x41 l的参数方程为y 3

（t为参数3∴3xy 3l的极坐标方程为3cossin43（2）将π代入曲线C的极坐标方程2cos得 36∴A点的极坐标为

3,π6 将πl31

3433 ∴B点的极坐标为43π 6 ∴AB33C，将直线参数方程化为普通方程，再化将πlCA，B到原点的距离，作差得出6（1）l的普通方程

yx

222，曲线C的直角坐标方程为xy1（2） 22 x2（1）l的参数方程为

（t为参数tlyx1.

y 2 2

1sin2

22sin24x2y2y24x22y24222Cxy1 （2）lx22y243t222t20，设两根为tt则ttM，N对应的参数，且t

42 MNQt1t222 OPOQOPOQPQ23（1）

2ty2

2ttl2 x2（2）

22

4y

22OP3t222t20，利用根与系数的关系及参数的意义可 OP22,11π 2【答案（1）C1与C2交点的极坐标为 6与2,6π（2）点P到l的距离的最大值为2

2 （1）由题意得Cy1Cx2y224y

3333由x2y224，解得y1或y1 ∴曲线C1与C2的交点为33212 3,3733636

3,1,

3,π2,11π 所以C1与C2的交点极坐标为 6，2,6π 222（2）由（1）可得圆C的圆心0,2到直线l:xy20的距离为d22 222P到l的距离的最大值为

222（1）将曲线C1C2的方程分别化为直角坐标方程和普通方程，用解方程组得到两曲线的（2） 2 （1）曲线C22sinC323cos可得曲线

:x2y22y0，

:x2y223x03y3

3xx0或32A00B33 2 xt（2）曲线C1ytsin（t为参数，且t0，可得曲线C1π，则曲线CAB （1）A，B（2）x2【答案 （2）

，M45,5y

55 5（1）4cos24cos2x2 将cos

代入，整理得曲线C1的普通方程为x

y24设曲线C1上的点为xy'，变换后的点为xx=x'

x'=x由题可知坐标变换为y1y，即y2y 代入曲线C的普通方程，整理得曲线Cx2y21曲线C的参数方程为x2

(为参数 y（2）MNPQ的周长为lM2cos

0π2

cos

sin45sin，且cos ，sin 2515152525151525 02，+022sinπsin 5 ，且当πl取最大值，此时π5 45152cos2sin sincos M4554515 5 M2cos,

0π则l8cos4sin，利用辅助 化简周长2M的坐标

x y

4x13y204x3y20 42所以点（1，0）到直线ld|402|4252【答案】12

1

2．故答案为：1 2122122【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为

x2y22x4y40，整理为标准方程x12y221，所以圆心为C12，又点P是圆外一点，所以APPCr211．故答案为：1．

的最小值就是 ：2x2y2,ysin,xcos将极坐标化为直角坐标7（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化，研究极坐标系下图形的性质时，可7

1(x1l的直角坐标方程为2x4

3y110 2【解析】（1）因为112

y1，且x2

1t2

1，所以C x 1(x1)4

1t

2 1t2

1t2l的直角坐标方程为2x 3y110xcos（2）由（1）可设C的参数方程为y2sin

（π4cosπC上的点到l的距离为|2cos23sin

3 7 777当2π时，4cosπ11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值 7 3 【答案】（1）23，lcos2 3（2）4cos

,【解析】（1）M0

在C上，当

4sin233由已知得|OP||OA|cos23设Q(,为l上除P的任意一点．在Rt△OPQcos|OP|2 3 cosP(2,)3

3 所以，lcos2 3 （2）P(,，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos

即4cos 因为 段OM上，且APOM，故的取值范围是, 42所以，P4cos

,【答案（1）M2cos0π，M2sinπ3π 4 4 M2cos3ππ

3π或

3π或

32π或

3,5π 6 3 3 6 【解析】（1）ABBC,CD2cos2sin2cosM2cos0π，M2sinπ3π 4 4 2cos3ππ （2）P(,，由题设及（1）3若0π，则2cos ，解得π34π3π，则2sin

3，解得π或2π 3ππ，则2cos4

3，解得5π6

3π或

3π或

32π或

3,5π 6 3 3 6 【答案】（1）52 2【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，4

，232(2)232(2)2232cos( 5（2）因为直线lsin(34 则直线l过点(32,)，倾斜角 B(2,，所以点B到直线l的距离为(3

2)

3

)222【答案】（1）C的直角坐标方程为(x1)2y24；（2）Cy4|x|2 【解析】（1）xcosysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24（2）由（1）知C2A(10)，半径为2两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．k2当l与CA到l所在直线的距离为2，所以|k2|2，故k4或kk2 经检验，当k0时，l与C没有公共点；当k4时，l与C只有一个公共点，l与C k2当l与CA到l所在直线的距离为2|k2|2，故k0或kk2 经检验，当k0l与C没有公共点；当k4l与C 综上，所求Cy4|x|2 【答案】（1）曲线C的直角坐标方程

1，lx1；（2）l的斜率为2 2【解析】（1）曲线C2

y y 当cos0lytanx2tan，当cos0lx1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t(13cos2)t24(2cossin)t80因为曲线C截直线l所得线段的中点(12在C内，所以①有两个解，设为t1t2，则t1t20又由①得tt4(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2 13cos2

x

2

的取值范围是( y 2 2cos 【解析】（1）Ox2y2当l与O2

当时，记tank，则lykx221kk1或k1，即,