高中数学-正弦函数余弦函数图象教学设计学情分析教材分析课后反思

“正弦函数、余弦函数的图象”●教学目标知识与技能：1．理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．过程与方法：通过简谐运动实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点.情感态度与价值观：体会数形结合、化归转化的数学思想.●教学重点用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象以及五点法画正弦函数、余弦函数的图象．●教学难点用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．●教学方法：讲授、启发、诱导发现教学．●教具：多媒体、实物投影仪教学实录：一．课题导入师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值也随之确定，这样，任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数).师:正弦函数和余弦函数的定义域是多少？生：定义域为R.师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图像来研究它的性质.师:在研究正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理实验.（多媒体展示“简谐运动的位移和时间关系”图象，让学生经历从“生活世界”到“科学世界”，感受三角函数变化的特定规律，并从直观上认识正弦函数和余弦函数图象.）生：专心观察纸板上形成的曲线形状.师:通过刚才的物理实验，我们对正弦函数和余弦函数图象已经有了一个直观的认识，但这是从物理实验中得到的，在数学中，我们如何利用所学过的数学知识来作出正弦函数和余弦函数图象呢？（教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）二．讲授新课1．利用单位圆中的正弦线作函数的图象师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？生：列表、描点、连线．师:在列表的时候，我们一般在定义域内任意取一些自变量的值，然后计算出相对应的函数值.但是，对于正弦函数来说，它具有“周而复始”的变化规律，根据诱导公式一——终边相同的角同名三角函数值相等，我们总可以把任意角的三角函数化成[0,2p]内的三角函数来研究，因此，我们先来研究y=sinx在[0,2p]的图象．（让学生清楚为什么先研究y=sinx在[0,2p]的图象，而不像研究其它函数的图象那样，直接在整个定义域上研究）教师引导学生列表，师生共同讨论总结描点法的弊端,当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.师:（进一步提出问题）如何作出比较精确的正弦函数的图象？教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把“列表”中的点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。因为在前面已经学习过三角函数线——三角函数线从“形”的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的三角函数线来表示点的的纵坐标——正弦值．（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．）多媒体演示利用正弦线作正弦函数y=sinx，xÎ[0,2p]的图象，边演示，边讲解，并不时的提问学生，与学生交流．……师:在刚才的作图过程中，我们同样是利用了描点法，所不同的是，在描点的时候，我们利用了三角函数线，使得描出来的点比较精确．（对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性）师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0,2π]上的图象．提出问题：如何由y=sinx，xÎ[0,2p]的图象得到y=sinx，xÎR的图象．2．由函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象得到函数y=sinx，x∈R的图象教师结合图形，引导学生继续研究[2π,4π]上的图象，让学生观察，发现：[2π,4π]上的图象和[0,2π]上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，[2π,4π]上的图象和[0,2π]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同，即要得到[2π,4π]上的图象只需把[0,2π]上的图象像右平移2π个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到．师生形成共识:把函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象.师：多媒体演示由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程．师:（小结）由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程中，我们实际上根据的是诱导公式一：sin(x+2kp)=sinx,kÎZ．（先让学生从直观上感受[2π,4π]上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上解释、认识，学生较容易接受，如果一下就利用诱导公式一来解释由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）师:以后要作正弦函数的图象，关键先作出哪个区间上的图象？生:先作[0,2π]的图象，然后沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象．3．用“五点法”作正弦函数的简图师:在以后的学习中，我们将不断作出正弦函数的图象，同学们想一想，如果每次作正弦函数的图象都用这种方法的话，麻烦不麻烦？生:虽然精确，但很麻烦．师:（进一步提出问题：）在精确度要求不太高时，如何作正弦函数的图象呢？师:引导学生观察与思考：观察我们用单位圆中的正弦线作出的函数y＝sinx，xÎ[0，2p]的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？生:观察、思考、发现：在确定图象的形状起着关键作用五个点：(0,0)、(,1)、(π,0)、(,-1)、(2π,0).师:（小结：）讲解“五点法”，在精确度要求不太高时，要作y＝sinx，xÎ[0，2p]的图象，只需先描出五个关键的点，再用光滑的曲线把它们连接起来.这种作图的方法称为“五点法”，这五个关键的点分别是：最高点，最低点以及与x轴的交点，每个点的横坐标的取值是有规律的——每隔取一个值．由正弦函数的图象得到余弦函数的图象师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题——正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？生:可以，但比较麻烦．师:要求学生课后用余弦线作余弦函数的图象，并提出问题：以正弦函数的图象为基础，你能不能很快作出余弦函数的图象？探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得余弦函数的图象吗？（教师组织学生讨论、交流引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程．）由y＝sinx的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象．（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）．用“五点法”作余弦函数的简图师：同样，以后我们要作余弦函数的图象，关键也是先作出[0，2p]上的图象．师：（探究：）类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？生：通过观察类比，确定余弦函数图象的五个关键点(0,1)、(,0)、(π,-1)、(,0)、(2π,1).下面我们就一起用“五点法”来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象.三.运用新知示例1:（1）用“五点法”作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]上的简图；（2）用“五点法”作函数y=-cosx,x∈[0,2π]上的简图.教师个别指导，学生列表,描点,师点评，并及时纠正学生作图过程中存在的问题.师：（进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度出发，利用y=sinx，xÎ[0,2p]的图象，得到y＝1＋sinx,xÎ[0,2p]的图象？同样的，如何利用y=cosx，xÎ[0,2p]的图象，得到y=-cosx，xÎ[0,2p]的图象？（教师多媒体演示，学生观察图象间的关系.在课堂教学中，教师在教学中的主导作用必须以确定学生主体地位为前提，注重学生与教师相互交流、共同参与，鼓励学生质疑、探究，让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程.）四、总结提升这节课的研究学习就到这里了,请大家回顾一下这节课的探索和收获.五、课后作业课本第46页习题A组第1题.●教材分析三角函数是基本初等函数之一,它是中学数学的重要内容之一,也是学习高等数学的基础,研究办法主要是代数变形和图象分析,因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了.本章的知识既是解决实际生产问题的工具,又是学习后继内容和高等数学的基础.三角函数是数学中主要的数学模型之一,是研究度量几何的基础,又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具．课后反思：比较成功的地方：1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．2．教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线——“描点法”作图，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌.因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础.这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．3．利用正弦线作出y＝sinx在[0,2p]内的图象，再得到正弦曲线，这里借助角周而复始的变化，体会后面性质“周期”，这样的设计由局部到整体，符合探究的一般方法．4．对于“五点法”老师让学生通过观察、学生讨论、进一步合作交流得到“五点法”作图，也是本节课中一大的亮点，充分体现以学生为主的教学思路．5．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣．6．在得到正弦函数的图象后，通过一个探究，引导学生利用诱导公式，结合图象变换研究余弦函数的图象，体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念，有利于培养学生主动探究的意识．需要改进的地方：1．不太敢放手给学生．2．在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动——在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．3．语言仍需要锤炼。“正弦函数、余弦函数的图象”学生已经学习了三角函数的定义，诱导公式，并且刚学习了三角函数线，这为几何作图法奠定了基础，但还不能也不太会应用三角函数线画图，也不太知道三角函数线的用处，需要老师的进一步指导和引领。学生学习数学的兴趣较高，他们已经掌握了一次函数，二次函数，指数函数，对数函数等一些基本初等函数的图象和性质，并了解一些函数图象的画法，已具有较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的合作交流能力。“正弦函数、余弦函数的图象”李老师：整堂课注重了知识的形成过程，各个环节目标性强，难点的处理层次清晰，重点知识突出，学生通过参与思考、探究、感悟、动手等活动，真正成为了课堂的主人。通过例题示范，规范展示了“五点法”作图的步骤，通过学生练习作图，达到了熟练作图的教学目标。最后师生共同总结，强化数形结合的数学思想，使学生的理论达到发展和升华，能力得到了提高。通过调动学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”，使学生真正成为教学的主体。通过分层练习和分层作业，实现了分层教学的课标要求。徐老师：本节课采用多媒体的教学方式，将教学的主要内容、图像等呈现在幻灯片上，以辅助教师的讲解，从而达到知识的高质量的传播。教师通过多媒体课件，将教学内容的重点、难点、作图过程，通过动画的方式表现出来，有利于学生的理解和接受，从而达到知识的有效传播。同时，它能够有效地激发学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学习欲望，从而形成学习动机。教师语言表达必须规范准确，主体突出，详略得当，层次分明，逻辑严密。

王老师：在授课模式上，根据教材内容的特点与学生的实际情况，本节课采用了问题导引式的教学方法。通过提出问题-思考问题-讨论问题-解决问题的方式，把一些抽象的概念、难以理解的作图方法，通过若干个问题把难点一一分解，让学生感到知识的形成是如此的顺其自然，从而层层推进授课内容。本节课教学目标明确，符合课程标准，切合学生实际。教学内容正确，课堂容量适当，讲解准确、指导到位。本节课作图的思维方法和前面学生所学的作图方法有所不同，作图时，让学生在观察和实践中发现问题、解决问题，这样印象深，记得牢。本节课通过问题导引式的教学，使学生有思考问题、发现问题、解决问题的要求，使学生成为学习的主人。“正弦函数、余弦函数的图象”●教材分析三角函数是基本初等函数之一,它是中学数学的重要内容之一,也是学习高等数学的基础,研究办法主要是代数变形和图象分析,因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了.本章的知识既是解决实际生产问题的工具,又是学习后继内容和高等数学的基础.三角函数是数学中主要的数学模型之一,是研究度量几何的基础,又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具．“正弦函数、余弦函数的图象”问题1：（1）请利用正弦线作出函数上的图象（2）如何由的图象能得到x的图象?（3）请画出正弦曲线的图象（4）在作出正弦函数图像时，应抓住那些关键点？问题2：（1）能否利用余弦线画余弦函数的图象（2）你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?（3）类似于正弦函数图象的5个关键点,请找出余弦函数的5个关键点,并填入下表,然后作出的简图例1.利用五点作图法画出下列函数的简图:y=1+,x（2）y=,x思考.你能否再从函数图象的变换角度出发,考虑利用函数,的图象怎样来得到y=1+sinx,x的图象?同样,怎样由,图象得到,的图象。“正弦函数、余弦函数的图象”课后反思：比较成功的地方：1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．2．教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线——“描点法”作图，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝