2021年湖南省益阳市长塘镇中学高一数学理月考试题含解析

2021年湖南省益阳市长塘镇中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若不论取何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略2.的一个充分但不必要的条件是()A.

B.

C.

D.参考答案：B由不等式，可得，解得，由此可得：选项A，是不等式成立的一个充要条件；选项B，是不等式成立的一个充分不必要条件；选项C，是不等式成立的一个必要不充分条件；选项D，是不等式成立的一个既不充分也不必要条件，故选B.3.若，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A4.函数的图象的一部分如图所示，则、的值分别为（

）A．1， B．1，C．2， D．2，参考答案：D∵最小正周期为，∴，得，∴．∵点在图象上，∴，得，得．又∵，∴令，得．故选“D”．5.已知函数的值域为R,则的取值范围是（

）A.

B

C.或

D.或参考答案：C略6.已知、、为平面上不共线的三点，若向量，，且·，则·等于()A．－2

B．2

C．0

D．2或－2参考答案：B7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．1040参考答案：D【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体．【解答】解：由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040，故选：D．9.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面

的距离为（

）A．B．

C．

D．

参考答案：B略10.（5分）如图，等腰梯形中位线的长和高都为x（x＞0），则它的面积表达式为（） A． S（x）=x2 B． S（x）=x2 C． S（x）=2x2 D． S（x）=x2参考答案：B考点： 函数解析式的求解及常用方法．专题： 计算题．分析： 利用梯形的面积等于中位线与高乘积直接求解．解答： ∵等腰梯形的中位线的长为x，高为x，设梯形的上下底边长分别为a、b，∴等腰梯形的面积S（x）=×x=x2．故选B．点评： 本题考查了利用梯形的中位线定理及梯形的面积公式求函数的解析式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为_________.参考答案：(1,+∞)【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．【详解】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．12.函数，则其周期为________。参考答案：略13.化简_________参考答案：－1【分析】直接利用诱导公式求解即可。【详解】【点睛】本题的关键是熟练的使用诱导公式进行化简。可以使用诱导公式一实现“大化小”，比如14.设，则满足条件的所有实数a的取值范围为

；参考答案：15.已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据题意，利用S△ADF：S△BFE≥1时，可得≥，由此结合几何概型计算公式，即可算出使△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率．【解答】解：由题意，S△ADF=AD?AF，S△BFE=BE?BF，当S△ADF：S△BFE≥1时，可得≥，∴△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率P=．故答案为：．【点评】本题给出几何概型，求△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率．着重考查了三角形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．16.向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．参考答案：【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由已知向量的坐标求得m+与﹣2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）?（﹣1）﹣4（3m+2）=0，解得：m=﹣．故答案为：．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是基础题．17.函数的单调减区间是参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=2x2﹣1．（1）用定义证明f（x）在（﹣∞，0]上是减函数；（2）求函数f（x）当x∈时的最大值与最小值．参考答案：考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明．专题： 综合题；函数的性质及应用．分析： （1）利用定义证明函数单调性的步骤是：取值、作差、变形定号、下结论；（2）确定函数的单调性，从而可得函数f（x）当x∈时的最大值与最小值．解答： （1）证明：设x1＜x2≤0，则f（x1）﹣f（x2）=2（x1+x2）（x1﹣x2）∵x1＜x2≤0，∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x）在（﹣∞，0]上是减函数；（2）f（x）在上是减函数，在上是增函数∴x=0时，函数取得最小值为﹣1；x=2时，函数取得最大值为7．点评： 本题考查函数的单调性与最值，考查定义法证明函数的单调性，属于中档题．19.（12分）已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，其图象上一个最高点为M（，2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求其单调减区间；（Ⅱ）当x∈时，求f（x）的最值及相应的x的取值，并求出函数f（x）的值域．参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；再根据正弦函数的单调性求得f（x）的减区间．（Ⅱ）当x∈时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．解答： （Ⅰ）由题意可得A=2，T==π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x+φ）．由题意当x=时，2×+φ=，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得，k∈z．（Ⅱ）当x∈时，2x+∈，故当2x+=时，函数f（x）取得最小值为1，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2．故f（x）值域为．点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．20.（12分）设f(x)=+m，x∈R，m为常数．（1）若f（x）为奇函数，求实数m的值；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义予以证明；（3）求f（x）在（﹣∞，1]上的最小值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）法一：由函数f（x）为奇函数，f（0）=0求出m．法二：利用函数f（x）为奇函数，通过f（﹣x）=﹣f（x），化简求解可得m=﹣1．（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，利用单调性的定义，证明f（x1）＞f（x2）即可．（3）利用函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，求解函数的最小值．【解答】解：（1）法一：由函数f（x）为奇函数，得f（0）=0即m+1=0，所以m=﹣1…（4分）法二：因为函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0…（2分）∴=，所以m=﹣1…（4分）（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2…则有…（8分）∵x1＜x2，∴，∴，∴，f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）…（9分）所以，对任意的实数m，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数…（10分）（3）∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，…（11分）∴当x=﹣1时，…（12分）【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（2）三棱锥P﹣CED的体积VP﹣CED=VC﹣PDE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC?平面BDE，OE?平面BDE，∴PC∥平面BDE．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E